现代控制理论试题详细答案.docx
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现代控制理论试题详细答案
现代控制理论试题B卷及答案
2
1
0
cvcvx，
一、1系统x
2
xu,y01x能控的状态变量个数是
0
1
能观测的状态变量个数是cvcvx。
2试从高阶微分方程y3y8y5u求得系统的状态方程和输出方
程（4分/个）
解1．能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
⋯..（4分）
2．选取状态变量x1y，x2y，x3y，可得⋯..⋯.⋯⋯.
（1分）
x1
x2
x2
x3
⋯..⋯.⋯⋯.（1分）
x3
8x13x3
5u
y
x1
写成
0
1
0
0
x
0
0
1
x0u⋯..⋯.⋯⋯.（1分）
8
0
3
5
y100x⋯..⋯.⋯⋯.（1分）
二、1给出线性定常系统x（k1）Ax（k）Bu（k）,y（k）Cx（k）能控的定义。
（3分）
210
2已知系统x020x,y011x，判定该系统是否完
003
全能观？
（5分）
解1．答：
若存在控制向量序列u（k）,u（k1）,,u（k
N
1），时系统从第
k步的状态x（k）开始，在第N步达到零状态，即x（N）
0
，其中N是大于
0的有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。
若对每一个k，系
统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能
控。
⋯..⋯.⋯⋯.（3分）
2.
2
1
0
CA0110
2
0
023⋯⋯⋯..⋯⋯⋯.
0
0
3
（1分）
2
1
0
CA2
0230
2
0
049⋯⋯..⋯⋯⋯.（1分）
0
0
3
C
0
1
1
UO
CA
0
2
3⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯.（1分）
CA2
0
4
9
rankUO
2
n，所以该系统不完全能观⋯⋯..⋯.⋯⋯.（2
分）
三、已知系统1、2的传递函数分别为
g1
（s）
s21
g2
s
1
3s2
（s）
3s2
s2
s2
求两系统串联后系统的最小实现。
（8分）
解
g（s）g1
（s
1）（s
1）
s1
s
1
（s）g1（s）
1）（s
2）（s
1）（s2）
s2
4
（s
⋯..⋯.⋯⋯.
（5分）
最小实现为
x
0
1
0
⋯..⋯.⋯⋯.
4
x
u,y10x
0
1
（3分）
四、将下列状态方程x
1
2
x
1
u化为能控标准形。
（8分）
3
4
1
11
解UCbAb
17
71
⋯⋯..⋯⋯⋯⋯⋯.⋯⋯（.1分）
UC
1
8
8
⋯⋯..⋯⋯⋯⋯..⋯⋯.⋯⋯.（1分）
1
1
8
8
P1
1
1
⋯⋯..⋯⋯⋯⋯.⋯..⋯⋯.⋯⋯.（1
分）
8
8
P2
1
3
⋯⋯..⋯⋯⋯⋯.⋯...⋯⋯.⋯⋯.（1
分）
4
4
P1
1
1
8
8
P
P2
1
3
4
4
31
P1
8
4
8..⋯⋯⋯⋯.⋯...
⋯⋯.⋯⋯.（1分）
1
1
4
8
AC
PAP1
0
1⋯⋯⋯⋯.⋯...⋯⋯.⋯⋯.（1分）
10
5
1
1
1
0⋯⋯⋯.⋯...
bC
Pb
8
8
⋯⋯.⋯⋯.（1分）
1
3
1
1
4
4
0
1
0
⋯
x
x
u⋯⋯⋯.⋯...
10
5
1
⋯.⋯⋯.（1分）
五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统x
1
2
分）
1
x的稳定性。
（8
1
解
1
2
2
23
⋯⋯⋯⋯...
⋯⋯....
⋯
IA
11
⋯.⋯⋯.（3分）
特征根
1
2i⋯⋯⋯⋯...⋯...
⋯⋯.⋯⋯.（3分）
均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定⋯
...⋯⋯.⋯⋯.（2
分）
六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统
1
1
x
x是否为大范围
2
3
渐近稳定：
（8分）
解
P
p11
p12
p12
p22
ATP
PA
I⋯⋯⋯⋯...
⋯⋯....
⋯⋯.⋯⋯.（1分）
2p114p12
1
p11
4p122p220⋯⋯⋯...
⋯⋯....
⋯⋯.⋯⋯.（1分）
2p12
6p22
1
p11
7
4
p22
3
⋯⋯⋯...
⋯⋯⋯⋯....
⋯⋯.⋯⋯.（1分）
8
p12
5
8
p11
p12
7
5
4
8
...
⋯⋯⋯⋯....⋯⋯.⋯⋯.（1
P
p22
p12
5
3
8
8
分）
7
p11
p12
7
5
17
P11
det
det
4
8
0⋯⋯⋯...（1分）
0
p12
p22
5
3
64
4
8
8
P正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的
.⋯⋯⋯（1分）
2s
1
1
七、已知系统传递函数阵为
（s1）（s
2）
s
试
G（s）
1
3
2s
s（s1）（s
2）
s21
判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。
（6分）
解：
d10d20
----------
（2分）
E110，E101----------（2分）
1
0
非奇异，可实现解耦控制。
------
（2
E
1
0
分）
p11p12
P
p12p22
八、给定系统的状态空间表达式为
1
2
3
1
x0
1
1x
0
u,y010x，设计一个具有特征值为
-1，
1
0
1
1
-1，-1的全维状态观测器。
（8分）
解：
方法1
1
2
E1
3
I
A
EC
0
1
E2
1
------
1
分
1
E3
1
（2
21）E2
3
32
31333E2
2E1
E3E3
3
（E2
3）2
（2E2
E3
6）
6E3
4E2
E1
--2分
又因为
列方程
f*（）33231-------1分
6E3
4E2
E1
1
2E2
E36
3
-----2
分
E2
3
3
E12,
k2
0,
E3
3-----------1
分
观测器为
1
0
3
1
2
x?
0
1
1
x?
0
u
0
y-------1
分
1
0
1
1
3
方法2
1
2
3
IA
0
1
1
3
3
2
6
6
1
0
1
-------------------
1
分
f*（
）
3
3
2
3
1
-------------------
2
分
E1
5,
E2
3,
E3
0
-------------------
1
分
a2a11
TTTT2T
QCAC（A）Ca110
100
------------------2
分
E1
2,k20,E331分
观测器为
x
1
0
3
x
1
u
2
------
1
分
0
1
1
0
0
y
?
?
1
0
1
1
3
1
0
0
A1
O
1
0
九解A
0
1
0
，
A1
1,
A2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯..
O
A2
1
2
0
1
2
（1分）
At
eA1t
0
A1t
t
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯.（1
e
0eA2t
e
e
分）
s
1
0
1
1
0
A2）1
s1
⋯⋯⋯..⋯⋯⋯.（1分）
（sI
2
1
1
1
s
1
s2
s
1s
2
eA2t
L1
sI
A2
1
2tet
t
02t
⋯⋯⋯.⋯（1分）
e
e
e
1
et
0
0
eAt
L1
sI
A
0
et
0
⋯⋯⋯.⋯⋯⋯.（2分）
0
e2t
et
e2t
x（t）
eAtx（0）
et
0
0
1
et
0
et
0
0
0⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯.
0
e2t
et
e2t
1
e2t
（2分）
《现代控制理论》复习题1
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确
的，则在其左边的括号里打√，反之打×。
（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
（×）2.若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。
（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
（√）4.对系统xAx，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A的特征值都具有负实部是一致的。
（√）5.根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。
二、（15分）考虑由下式确定的系统：
G（s）
s3
试求
3s2
s2
其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出
能控标准型的状态变量图。
解：
能控标准形为
x1
0
1
x1
0
x2
2
3
x2
u
1
y31
x1
x2
能观测标准形为
x1
0
2
x1
3
x2
1
3
x2
u
1
y0
1
x1
x2
对角标准形为
x1
1
0
x1
1
x2
0
2
x2
u
1
y2
1
x1
x2
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。
对系统
01
xx
23
求其状态转移矩阵。
解：
解法1。
容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是11,22，它们是不相
同的，故系统的矩阵A可以对角化。
矩阵A对应于特征值11,22
的特征向量是
11
1,2
12
取变换矩阵
因此，
从而，
T
12
1
21，则T1
11
1
1
1
2
D
TAT1
1
0
0
2
eAt
T1e
t
0
1
1
e
t
0
2
1
T
1
1
1
0
e2t
20
e2t
2et
e2t
et
e2t
2et
2e2t
et
2e2t
解法2。
拉普拉斯方法
由于
（sIA）1
s
s
1
2
3
s
3
（s
1）（s
2
（s1）（s
故
（t）
eAt
1
1
s3
1
1
adj（sIA）
det（sI
s（s3）
2
2
s
A）
1
2
1
1
1
2）（s1）（s2）
s1s2s1s2
s
2
2
1
2
2）（s1）（s2）
s1s2s1s2
L1[（sI
A）1]
2et
e2t
et
e2t
2et
2e2t
et
2e2t
解法3。
凯莱-哈密尔顿方法
将状态转移矩阵写成
eAta0（t）Ia1（t）A
系统矩阵的特征值是-1
和-2
，故
et
a0（t）a1（t）e2t
a0（t）2a1（t）
解以上线性方程组，可得
a0（t）
2e
因此，
（t）eAt
a0（t）Ia1（t）A
2e
2e
te2ta1（t）ete2t
te2tete2t
t2e2tet2e2t
四、（15分）已知对象的状态空间模型xAxBu,yCx,是完全能
观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。
解观测器设计的框图：
观测器方程：
~
~
Bu
L（y
Cx）
x
Ax
（A
~
Bu
Ly
LC）x
~
是观测器的维状态，L是一个n×p维的待定观测器增益矩阵。
其中：
x
观测器设计方法：
由于
det[I（ALC）]det[I（ALC）T]det[I
（AT
CTLT）]
因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵
L，使得
AT
CTLT具有给
定的观测器极点。
具体的方法有：
直接法、变换法、爱克曼公式。
五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定
性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。
解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：
线性时不变系统xAx在平衡点xe0处渐近稳定的充分必要条件是：
对任意给定的对称正定矩阵Q，李雅普诺夫矩阵方程ATPPAQ有
惟一的对称正定解P。
在具体问题分析中，可以选取Q=I。
考虑二阶线性时不变系统：
x1
0
1
x1
x2
1
1
x2
原点是系统的惟一平衡状态。
求解以下的李雅普诺夫矩阵方程
ATPPAI
其中的未知对称矩阵
p11
p12
P
p22
p12
将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得
0
1
p11
p12
p11
p12
0
1
10
1
1
p12
p22
p12
p22
1
1
0
1
进一步可得联立方程组
2p121
p11p12p220
2p122p221
从上式解出p11
、
p12和p22
，从而可得矩阵
p11
p12
3/2
1/2
P
p22
1/2
1
p12
根据塞尔维斯特方法，可得
3
02
5
0
1
detP
2
4
故矩阵P是正定的。
因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳
定的。
六、（10分）已知被控系统的传递函数是
10
G（s）
（s1）（s2）
试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1±j。
解系统的状态空间模型是
0
1
x
0
x
3
u
2
1
y10
0x
将控制器u
k0k1x代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环
系统状态方程
x
0
1
k0
3
x
2
k1
该闭环系统的特征方程是
期望的闭环特征方程是
通过
可得
从上式可解出
det（
I
Ac）
2
（3
k1）
（2
k0）
（
1
j）（
1
j）
2
2
2
2
（3
k1）
（2
k0）
2
2
2
3
k1
2
2
k0
2
k1
1
k0
0
因此，要设计的极点配置状态反
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