高等数学基本公式.docx

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高等数学基本公式

导数公式:

高等数学公式

（tgx）=sec2x

（ctgx）=-esc2x

（secx）=secxtgx（escx）--cscxctgx

X*x

（a）=aIna

（logax）—

xIna

（arcsinx）"=1

/一x2

1

（arccosx）

占—x2

（arctgx）I

1+x

（arcctgx）

1+x

基本积分表:

三角函数的有理式积分:

arshx=In（x■x?

-1）

:

2

archx=In（x■x-1）

11+x

arthx=—In

21-x

三角函数公式:

•诱导公式：

、函数角卜、

sin

cos

tg

ctg

-a

-sina

cosa

-tga

-ctga

90°a

cosa

sina

ctga

tga

90°a

cosa

-sina

-ctga

-tga

180°a

sina

-cosa

-tga

-ctga

180°+a

-sina

-cosa

tga

ctga

270°a

-cosa

-sina

ctga

tga

270°+a

-cosa

sina

-ctga

-tga

360°a

-sina

cosa

-tga

-ctga

360°+a

sina

cosa

tga

ctga

-和差化积公式:

3

sin3:

=3sin:

-4sin:

3

cos3:

=4cos3cos:

-

3

3tga-tga

tg32—

1-3tga

•倍角公式:

sin2一=2sin：

cos:

-

2222

cos2y=2cos—1=1「2sincos一一sin

2

ctga-1ctg2:

.

2ctga

2tga

tg2—

1—tga

-半角公式:

•篇,',1-cos:

-

sin-

2:

2

:

-1-cos二1-cos:

tg7=-.icos：

二匚L

sin:

1-cos

:

1亠cos:

cos—=

22

.二“1-cos•二1-cos.篇sin:

■

ctg

21一cos：

•sint1-cos:

-正弦定理:

ab

sinAsinB

c

sinC

=2R

•余弦定理：

c?

=a亠b—2abcosC

反三角函数性质：

arcsinx=—-arccosx

江

arctgxarcctgx

2

2

高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：

n

（n）k（n上）（k）

（uv）CnUv

kz0

（n）（n4）n（n-1）（n/）...门⑴一1）（门—k1）（n丄）（k）...（n）

=uvnuvuvuvuv

2!

k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：

f（b）-f（a）=f「）（b-a）

f（b）-f（a）f（）

柯西中值定理：

-

F（b）-F（a）F牡）

当F（x）二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：

弧微分公式：

ds=1dx,其中y=tg二

空间解析几何和向量代数:

、、,|222

空间2点的距离：

d=MtM2=+；（x2-Xt）+（y2一yj+（z2-乙）

向量在轴上的投影：

PrjuAB=ABcos®,®是AB与u轴的夹角。

Prju佝亠a?

）=PrjaiPrja?

ab=|abcos日=axbx+ayby+azbz,是一个数量，

代表平行六面体的体积

平面的方程:

1、点法式：

A（x「x°）B（y「y。

）C（z「Zo）=0,其中n二{A,B,C},Mo（Xo,y°,Zo）

2、一般方程：

Ax亠By亠Cz亠D=0

3、截距世方程：

x•丄上=1

abc

平面外任意一点到该平面的距离:

二次曲面：

222

xyz

1、椭球面：

—22=1

abc

22

2、抛物面：

x■y^z,（p,q同号）

p2q

3、双曲面：

222

xyz

单叶双曲面：

—2-=1

abc

222

双叶双曲面：

—一牛•勺=1（马鞍面）

abc

多元函数微分法及应用

全微分：

dz二兰dx

dy

乱

du=——dx--

ex

:

y

；x

全微分的近似计算：

.■:

z

:

dz

二fx

（x,y）.：

xfy（

多元复合函数的求导法

:

dz

:

z

:

:

u

.z_:

v

Z=f[u（t）,v（t）]

—

*+

dt

；:

u

;:

t

:

vft

:

z

:

z

.:

u

；:

v

Z二f[u（x,y）,v（x,y）]

T——+

T

；:

u

.X

；X

当u二u（x,y）,v二v（x,y）时,

dudu

_:

v

：

:

v

du=——dx——dy

dv=

dx'dy

；:

x

:

x

；:

y

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,y）=。

，

dy

Fx

d2y

2-

dx

Fy

dx

；x

隐函数F（x,y,z）,

:

:

z

Fx

jz

Fy

.x

x,y）.：

y

竺dy^dz

；:

yz

Fz

:

yFz

Fx:

:

Fxdy

（-）+（-T

Fy；yFydx

微分法在几何上的应用:

曲面F（x,y,z）=。

上一点皿&。

』。

，乙。

）,则:

过此点的法向量：

Fx（x。

，y°,z。

）Fy（x°,y。

，z。

）Fz（x。

，y°,z。

）

方向导数与梯度:

设fx（Xo，yo）=fy（Xo，yo）=O,令：

fxx（xo，yo）=A,fxy（xo，yo）=B,fyy（xo，yo）=C

重积分及其应用:

f[f（x,y）dxdy=fff（rcos日，rsin0）rdrd日

DD*

f匸p

cz1

dz

2

曲面z=f（x,y）的面积A=+

li

——1+

dxdy

“V

D\

丿

e丿

平面薄片的重心:

IIX】（x,y）dc

D

!

!

^（x,y）d二

D

II'：

（x,y）d二

D

..;?

（x,y）d-

D

平面薄片的转动惯量:

对于

平面薄片（位于xoy平面）对

x轴Ix=y2「（x,y）d；「，对于y轴I

D

z轴上质点M（0,0,a）,（a-0）的引力：

2

y二xQ（x,y）d二

D

-…P（x,y）xda

Fx=fII孑，

D/2222

（xya）

柱面坐标和球面坐标：

-.”P（x,y）ydcr

Fy=f||3，

D222二

（xya）

Fz

F={Fx,Fy,Fz}，其中:

”P（x,y）xda

-fa3

D（x2-y2-a2）^

"x=rcos日

柱面坐标：

*y=rsin日,z=z

hif（x,y,z）dxdydz=F（r,v,z）rdrdvdz,hq

其中：

F（r,v,z）=f（rcosv,rsinj,z）

x=rsin申cos日球面坐标：

«y=rsindsin日,z=rcos护

2

IIIf（x,y,z）dxdydzmF（r,/）rsindrdQQ

_1_1

重心：

x=[[[xftlv,y=yPdv,

M3MQ

转动惯量：

lx：

III（yz）"dv,ly=

Q

■■:

■■:

r（J

2

g-drd「F（r,,v）rsindr

000

z1IIIz^dv,

M-

22

III（xz）:

-dv,

Q

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x=®（t）

设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：

丿,（oEt^P）,则：

J=^（t）

x=t

y=（t）

f（x,y）ds=f［「（t）,‘-（t）］」2（t）+屮*（t）dt（avB）特殊情况:

a

「x=®（t）

，则：

y=屮化）

P

P（x,y）dxQ（x,y）dy二{P[':

（t）/-;（t）^:

（t）■Q[^（t）^'（t）P'（t）}dt

L

设L的参数方程为

两类曲线积分之间的关

L上积分起止点处切向量

ot

系：

Pdx亠Qdy二（Pcos二亠Qcos!

*）ds，其中

LL

的方向角。

:

-和场分别为

格林公式：

（：

Q:

P

D

—）dxd^=■■-Pdx-Qdy格林公式:

;:

x-yL

D（，

；:

Q；:

P

）dxdy

=:

Pdx亠Qdy

L

1

dxdyxdy-ydx

2L

当P=_y,Q=x，即：

一^一土=2时，得至UD的面积:

&cy

平面上曲线积分与路径

无关的条件：

1、G是一个单连通区域;

：

P

——。

注意奇点，女口（0,0），应

jx:

y

减去对此奇点的积分,

注意方向相反!

二元函数的全微分求积

在：

：

Q-；：

P时，PdxQdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中:

jxjy

（x,y）

u（x,y）二P（x,y）dx■Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。

（xo,yo）

曲面积分:

对面积的曲面积分：

!

■22

f（x,y,z）ds二f[x,y,z（x,y）]1zx（x,y）Zy（x,y）dxdy

•丄.Dxy

对坐标的曲面积分：

P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy，其中:

±

IlR（x,y,z）dxdy

二R[x,y,z（x,y）]dxdy，

取曲面的上侧时取正

号;

z

Dxy

IIP（x,y,z）dydz

：

：

iiP[x（y,z）,y,z]dydz，

取曲面的前侧时取正

号;

z

Dyz

iiQ（x,y,z）dzdx

:

:

iiQ[x,y（z,x）,z]dzdx，

取曲面的右侧时取正

号。

z

Dzx

两类曲面积分之间的关系：

iiPdydz'Qdzdx'Rdxdy=（P

cos二

z

Z

Qcos,亠Rcos）ds

高斯公式:

cPcQ£R

ill（）dv=PdydzQdzdxRdxdy

=（Pcos很亠Qcos,亠Rcos）ds

z

x.:

y:

z-

高斯公式的物理意义

——通量与散度:

散度：

div-——,即：

单位体积内所产生

exeycz

的流体质量，若

divp”0,则为消失

通量：

IlAnds=Ands=（Pcos二：

卜Qcos“'Rcos）ds，zzz

因此，高斯公式又可写成：

illdivAdv=•Ands

Qz

斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：

cRcQ

cR

cQ

cP

|7（—）dydz+（

）dzdx

+（

-）dxdy

=qPdx

Qdy+Rdz

£eycz

&

&

ey

r

dydz

dzdx

dxdy

cosa

cosP

cos'/

上式左端又可写成：

II

g

=（（

ey

cz

S

ey

cz

P

Q

R

P

Q

R

空间曲线积分与路径无

关的条件：

cR<

9Q

即

cR

cQ

cP

ey

cz

cz

ex

ex

ey

ijk

旋度：

rotA=———exdygz

PQR

向量场A沿有向闭曲线〕的环流量:

常数项级数：

:

PdxQdyRdz=■Atds

rf

n

等比数列：

1亠.亠丄=——

i—q

等差数列：

1•2•3亠•亠n=—-^―

2

111

调和级数：

1是发散的

23n

级数审敛法:

1正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）

P<1时，级数收敛

设：

p=lim叮UT，则*p>1时，级数发散一环p=1时，不确定

2、比值审敛法：

设:

匸=limUn±

nF：

Un

jr-.：

：

i时，级数收敛

，则;P〉1时，级数发散

P=1时，不确定

3、定义法:

sn=比•u2——亠un；limsn存在，则收敛；否则发散。

n—Jpc

交错级数u1-u2u3_U4（或-u1u2-u3-■

un0）的审敛法——莱布尼兹定理:

un出十

如果交错级数满足丿，那么级数收敛且其和

limun=0

绝对收敛与条件收敛：

s^u,其余项rn的绝对值rnWun卡。

⑴q，u2亠•亠un•…，其中un为任意实数；

（2）uj+卜2|+匕|十一+un十一

如果

（2）收敛，则

（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;

如果⑵发散，而

（1）收敛，则称

（1）为条件收敛级数。

调和级数：

n

、1发散，而a上1U攵敛；

nn

级数:

1

、~2收敛；

n

p级数「+I”却时发散

n\p>1时收敛

幕级数:

/X£1时，收敛于——

1—X

_1时，发散

对于级数（3）a0亠a/-a2x亠•亠anx亠•，如果它不是仅在原点

收敛，也不是在全

数轴上都收敛，则必存

在R，使

求收敛半径的方法：

设

an1

函数展开成幕级数:

函数展开成泰勒级数:

（x

（n-1）!

x0=0时即为麦克劳林公式:

些函数展开成幕级数:

xCR时收敛

XaR时发散

，其中R称为收敛半径。

二R时不定

二二其中a

an1是（3）的系数，则

—-He

f（X）二f（X°）（X—X。

）•f

（n）

（X0）（x—X0）2•…」（X0）2!

n!

-x0）n",f（x）可以展开成泰勒级数的

n

（X—X。

）-■-

充要条件是：

limRn=0n_.

f（x）=f（0）f（0）xqx2.….

2!

Ax"…

n!

m（m—1）2亠m（m—1）…（m—n+1）n

（1x）1mxxx

2!

352n-1

X±X1ndX

sinx=x'（-1）

3!

5!

n!

（一1:

:

X:

:

1）

欧拉公式:

eiX=cosxisinx

三角级数:

+…

（2n—1）!

ix丄」xe+e

cosx=

2

ix_ix

e-e

sinx二

2

f（t）=A°•Ansin（n-■；）=

2

其中，a0二aA0,an二Ansin-:

n,bn正交性：

1,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分二

n=1

oO

a0T-

（ancosnxbnsinnx）

n=1

二Ancos」n，.'t二X。

sinnx,cosnx任意两个不同项的乘积

在［_兀，兀］

傅立叶级数:

C30

'、•（ancosnxg

n丄

余弦级数：

2兀a、，

bn=0,anf（x）cosnxdxn=0,1,2f（x）0、ancosnx是偶函数

兀02

n=1,2,3…f（x）=£bnsinnx是奇函数

周期为21的周期函数的傅立叶级数:

f（x）二a°•'「（anCOSn「：

x.sin“汝），周期“I

即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程:

P（x）dx_"P（x）dx

dx+C）eL

2、贝努力方程：

包P（x）y二Q（x）yn,（n=0,1）

dx

当Q（x）=0时,

为非齐次方程,

y=（Q（x）e

全微分方程:

如果P（x,y）dxQ（x,y）dy=0中左端是某函数的全微分方程，即:

du（x,y）=P（x,y）dxQ（x,y）dy=0,其中：

__u;u

P（x,y），Q（x,y）

;x;y

.u（x,y）=C应该是该全微分方程的通解

二阶微分方程:

d2ydyf（x）三0时为齐次

rp（x）Q（x）y=f（x），-

dxdx:

f（x）=0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

（*）y"■py'qy=0，其中p,q为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：

（A）r2•pr7=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是（*）式中y,y,y的系数;

2、求出（①式的两个根sa

r1，r2的形式

（*）式的通解

两个不相等实根（p2_4q>0）

「［X「2X

y=&e+c2e

两个相等实根（p2_4q=0）

rix

y=（S+c2x）e

一对共轭复根（p2_4q£0）

A=o（+iB，r2=ot-iP

仁2

p住"q—p

a=-，戸=

22

y=（qcosPx+c2sinPx）

二阶常系数非齐次线性微分方程

y•py•qy=f（x）,p,q为常数

f（x）=eXpm（x）型,札为常数;

f（x）=e%［p（x）cos•・x亠Pn（x）sin，x］型