暨南大学经管类内招《高等数学》II期末考试题及练习题.docx

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暨南大学经管类内招《高等数学》II期末考试题及练习题

经,管学院内招生《高等数学》(Ⅱ)练习题

填空题

12

1.要使广义积分0(11x)k1dx收敛,必须k;2.差分(x22x)=

a

4.若连续函数f(x)在[a,a]上满足f(x)f(x),则f(x)dx=;a

11dx2

5.2dx=;6.2dx=;7.sintdt=

1x23x24dx0

8.f(x,y)xyxy5的驻点;

22

11.已知函数f(x,y)=xy,则df=;12.已知函数f(x,y)=exy,则fx(x,y)=,fx(1,2)=;

1x

13.exdx=;19.微分方程xdxydy0的通解是;

0

14.函数x2的全体原函数是;15.函数zln(1x2y2)的定义域为16.球心在(1,2,3)半径为2的球面方程是。

17.差分方程yx2yx12是阶的差分方程.计算下列不定积分或定积分

3

a2210.x(a2x2)2dx

21

11.设x2f(x)dxex1c,求f(1x)dx;12。

x2ln(x1)dx

exx03x

13.设f(x),求

(1)f(x2)dx;

(2)f(t)dt。

1xx011

三.用定积分计算面积或体积:

1

1.求由y,yx,y0,x2所围成的平面图形的面积。

x

1

2.求由y,(x0)及直线8x4y9所围成的平面图形的面积。

4x

3.求由yx4,x0,y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。

四.解微分方程和差分方程:

1.求方程dyex2y的通解.2。

求方程ydx(xy)dy0的通解.

dx

3.求方程dyyx的通解.4.求方程dyyex的通解.

dxyxdx

22

xydy(x2y2)dx0的通解及在初始条件

6.求方程dy2xy2x的通解及在初始条件

dx

求函数Q=Q(p),其中为p该商品的价格。

1p

8.某商品的需求量的变化率为Q(p)2000()pln4,该商品的最大需求量

4

Qp0=3000,求商品的需求函数Q=Q(p),其中为p该商品的价格。

2x

9.某商品的供给量y对价格x的供给弹性为,且价格x=1时,供给量y=2500,

x1

求供给量y对价格x的函数关系.

五.计算偏导数:

Q和Q

KL

3.设zu2ev,ux,vx2y,求z和z.yxy

uzz

4.设zarctg,uxy,vxy,求和。

5.

设zf(xy,xy),求

2z。

x2

2

22z

6.设zcos(xy2),求2x

7.

x

设zxy,求

(1)

z和

z;

(2)

2z。

y

x

y

xy

六.计算稳函数偏导数:

由方程

exxyz0确定zf(x,y)可导,求

x

ezz确定zf(x,y)可导,求z和z。

yxy

3.由方程ylnz确定zf(x,y)可导,求

(1)z和z;

(2)dz

zxxy

4.由方程xyxz1ez确定函数zf(x,y)可导。

(1)z和zxy

七.计算二重积分

面区域在第一象限部分。

在第一卦限部分的体积。

量,且KL400,问应如何确定K,L的值以使产出量Q最大?

4.用24米细钢管造一个长方体形状的框架的各条棱,问框架的长宽高各为多少米时,框架的内部空间最大?

九.求极限:

 

4.判别级数

(1)nln(13n)是绝对收敛还是条件收敛还是发散?

n1n

(1)n12n

5.求

(1)(x1)n的收敛半径和收敛区间.6.求nxn2的收敛区间及和函数。

n1nn1

2

7.把函数f(x)展开为x1的幂级数,并确定其收敛区间。

4x

8.把函数(x1)ex展开为(x1)的幂级数。

1kn

9.讨论k为何值时,级数3(k0)收敛,发散。

n1n

2003年度经管学院《高等数学》(Ⅱ)期末试题(A卷)

计算下列不定积分(每小题7分)。

计算下列定积分(每小题7分)。

n

四.求幂级数2nnxn1的收敛区间及和函数。

(8分)

n13n

五.由方程ylnz确定zf(x,y)可导。

(1)z和z;

(2)dz;zxxy

3)2z。

(8分)yx

六.设f(x,y,z)yz2ex,其中zg(x,y)是由xyzxyz0确定的隐函数,

(1)fx(x,y);

(2)fx(1,1)。

(7分)

两种要素各投入多少才能使得投入的总费用最少。

(8分)八.计算If(x,y)dxdy,其中D为x2y24,

D

3f(x,y)2x2y

22

xy1

22。

(7分)

1x2y24

x

九.若f(x)为可导函数,且f(x)2[costf(t)cost]dt,求f(x)。

(7分)

十.设某商品的需求量Q对价格P的弹性为3P3ln3,且市场对该商品的最大需求量为1400,求需求量Q对价格P的函数关系。

(7分)

十一.求位于x轴的上方,直线yxe的左侧,曲线yex的下方的区域绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。

(8分)

2004年度经管学院《高等数学》(Ⅱ)期末试题(A卷)

一.填空题(每小题2分,共20分)

2x

1.若f(x)dxxe2xc,则f(x)。

2.若f(x)dxF(x)c

,则cosxf(sixnd)x。

dx2

d3t2

3.sintdt。

4.

etdt。

dx0

dx1

n

5.级数的收敛区间是,它的和函数是。

n0n!

9.微分方程(y)25(y)4y5x70是阶的微分方程。

22z

由方程x2y22x2yz3ez确定函数zf(x,y)可导。

四.若f(x)为可导函数,且

x

f(x)12tf(t)dt,求f(x)。

(9分)

五.计算x2y22dxdy,其中D为x2y29。

(10分)

D

1

六.讨论级数n的敛散性(a0)。

(8分)

n11a

(1)n1n七.求幂级数

(1)xn的收敛区间及和函数。

(12分)

n1n

八.某公司通过电台和报纸两种方式做销售广告,根据统计资料,销售收入R(万元)

与电台广告费x1(万元)及报纸广告费x2(万元)之间的关系如:

22

R=1514x132x28x1x22x1210x22

(1)在公司的广告费用不受限制的情况下,求最优(即利润最大)的广告策略。

(2)若公司提供的广告费用为1.5万元,求最优(即利润最大)的广告策略。

(13分)xx

九.设f(x)在(,)内连续,且H(x)xf(t)dt2tf(t)dt,

证明:

若f(x)单调增加,则H(x)单调减少。

(6分)

得分

评阅人

暨南大学考试试卷答案

教师填写

2007-2008学年度第二学期

课程名称:

高等数学II(经管院内招生用)

授课教师姓名:

课程类别必修[√]选修[]

考试方式开卷[]闭卷[√]

考试时间:

2008年7月15日

试卷类别(A、B)

[A]共9页

学院(校)专业班(级)

填写

姓名学号内招[√]外招[]

 

题号

总分

得分

一、填空题(将题目的正确答案填写在相应题目划

yx22

线空白处。

共7小题,每小题2分,共14分)1.经过点(1,3),且其切线的斜率为2x的曲线方程为

dx22

2.(ln(1t)dt)=ln(1x2)。

dx0

222233.设D{(x,y)|x2y2a2},则a2x2y2dxdy=a

D3

24.微分方程xdyydx0在初始条件y|x12下的特解是y

x

5.函数zln(xy)2x2的定义域是

1x2y2

{(x,y)|x0,xy,x2y21}

7.设某产品在时刻t总产量的变化率是f(t)2t5(t0),则从t2到t4这

2.设曲线yf(x)在[a,b]上连续,则曲线yf(x),xa,xb及x轴所围成的图形的面积是(C)

3.下列广义积分发散的是(A)

 

11x

5.0dx0f(x,y)dy=(D)

11x

(B)0dy0f(x,y)dx

(C)3yxyx30

1111y

(C)0dy0f(x,y)dx(D)0dy0f(x,y)dx

6.函数f(x)1x按x幂展开的麦克劳林级数的前三项是(C)

112112

(A)1xx2(B)1xx2

2424

112112

(C)1xx2(D)1xx2

2828

7.二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)处可导(即偏导数存在)与可微的关系是

(B)

(A)可导必可微(B)可微必可导

(C)可导一定不可微(D)可微不一定可导

8.微分方程ylnxdxxlnydy0的通解是(A)

(A)ln2xln2yC(C为任意非负常数)

(B)lnx2lny2C(C为任意非负常数)

(C)lnx2lny2C(C为任意非负常数)

(D)ln2xln2yC(C为任意非负常数)

9.函数zyx在点(1,1)处的全微分是(C)

(A)dxdy(B)dx(C)dy(D)0

10.下列差分方程中,不是二阶差分方程的是(D)

(A)yx33yx2yx12(B)2yxyx0

(D)2yxyx0

1.

求不定积分xx1dx

t2t21dt

t1

2分

2t11dt

t1

2(t1t11)dt

4分

2(1t2tln|t1|)C

5分

2(1xxln|x1|)C

2

6分

 

2.

e

求定积分x3lnxdx

1

6分

3.

求定积分02(1

3

x2)2dx

 

 

23

解02(1x2)2dxxsint04(1

=04cos2tdt⋯⋯⋯⋯⋯4分

2

=4sec2tdt

0

=tant|04⋯⋯5分

6分

=1-0=1

4.

已知zxln(xy)exy,求偏导数z,zxy

x2

y

2z

xy

 

解zlnx(y)xyexy,

xxyzxxy

3分

xe,

yxy

1.求曲线yx2,yx2所围成的平面图形的面积

1

2.计算二重积分Isinydxdy,其中D是由y2x与yx所围成的区域

Dy2

 

3分

5分

222

02sinydy02ysinydy

222

=cosy|02(ycosysiny)|02

=12⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分

xn

3.求幂级数x的收敛域与和函数

n1n

1

解由lima|n1|limn|1|linm|⋯⋯|⋯⋯1⋯⋯⋯3分

nann1nn1

n

n

设和函数S(x)x,

n1n

6分

7分

S'(x)xn1=1n11x

S(x)=ln(1x)。

4.求微分方程xy'yx2ex的通解。

1x

解方程变为y'yxex,则通解为

x

p(x)dxp(x)dx

ye(q(x)edxC)

11

dxxdx

=ex(xexexdxC)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分

x1

=x(xexdxC)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分

x

5分

=x(xex1dxC)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x

=x(exC)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7分

得分

评阅人

五、应用题(10分)

某工厂生产甲、乙两种产品,

销售单价分别为100元和80元,已知生产x件

1000040x30y0.1(x2y2),如果要求两种产品共生产1000件。

问甲、乙两种产品各生产多少件时,所得利润最大?

解总收益函数R(x,y)100x80y⋯⋯⋯⋯⋯2分

总利润函数

L(x,y)R(x,y)C(x,y)0.1x20.1y260x50y10000

且xy1000

求L(x,y)在条件xy1000下的极值。

⋯⋯⋯⋯⋯4分构造拉格郎日函数

22

F(x,y)0.1x20.1y260x50y10000+(xy1000)⋯6分

求驻点,解联立方程组

Fx'0.2x60

Fy'0.2y50⋯⋯⋯⋯⋯8分

xy1000

得x525,y475

10分

因此,甲、乙两种产品各生产525、475件时,所得利润最大

得分

评阅人

六、证明题(4分)

x

设函数zf(u),方程u(u)yP(t)dt确定u是x,y的函数,其中f(u),

zz

(u)可微;P(t),'(u)连续,且'(u)1。

证明P(y)P(x)0。

xy

Ag×⅛

°OH^l(X)d÷ς~(A)d

ZeZg

t⅛

θ-

Il

WI勸

5?

z∙~^>

θ-

Il

⊃X

3心

1x1

(A)0dy0f(x,y)dx

14

=116(3e41)

122

02ysiny(yy2)dy

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