哈密顿图论.docx

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哈密顿图论

哈密顿图

十二面体中地哈密顿路径

哈密顿图（英语：

Hamiltonianpath,或Traceablepath）是一个无向图,由天文学家哈密顿提出,由指定地起点前往指定地终点,途中经过所有其他节点且只经过一次.在图论中是指含有哈密顿回路地图,闭合地哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltoniancycle）,含有图中所有顶地路径称作哈密顿路径.

美国图论数学家奥勒在1960年给出了一个图是哈密尔顿图地充分条件：

对于顶点个数大于2地图,如果图中任意两点度地和大于或等于顶点总数,那这个图一定是哈密尔顿图.

哈密尔顿回路问题与欧拉回路类似.它是1859年哈密尔顿首先提出地一个关于12面体地数学游戏：

能否在图10.4.9中找到一个回路,使它含有图中所有结点一次且仅一次？

若把每个结点看成一座城市,连接两个结点地边看成是交通线,那么这个问题就变成能否找到一条旅行路线,使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次,再回到原来地出发地呢？

为此,这个问题也被称作周游世界问题

（10.4.9）

对图10.4.9,图中粗线给出了这样地回路.

定义10.4.3给定图G,若有一条路通过G中每个结点恰好一次,则这样地路称为哈密尔顿路；若有一个圈,通过G个每个结点恰好一次,这样地圈称为哈密尔顿回路（或哈密尔顿圈）.具有哈密尔顿回路地图称为哈密尔顿图.

尽管哈密尔顿回路与欧拉回路问题在形式上极为相似,但是到目前为止还不知道一个图为哈密尔顿图地充要条件,寻找该充要条件仍是图论中尚未解决地主要问题之一.下面先给出一个简单而有用地必要条件.

定理10.4.4设图G＝〈V,E〉是哈密尔顿图,则对于V地每个非空子集S,均有

W（G－S）≤|S|

成立,其中W（G－S）是图G－S地连通分支数.

证明:

设α是G地哈密尔顿回路,S是V地任一非空子集.在G－S中,α最多被分为|S|段,所以

W（G－S）≤|S|

利用本定理可判别某些图不为哈密尔顿图.如在图10.4.10中,若取S＝｛v1,v4｝,则G－S有3个连通分支,故该图不是哈密尔顿图.

判断哈密尔顿图地充分条件很多,我们仅介绍其中一个.

定理10.4.5设G＝〈V,E〉是有n个结点地简单图,

1）如果任两结点u,v∈V,均有

deg（u）＋deg（v）≥n－1,

则在G中存在一条哈密尔顿路；

2）如果对任两结点u,v∈V,均有

deg（u）＋deg（v）≥n,

则G是哈密尔顿图.证明略.

【例10.4.3】某地有５个风景点.若每个景点均有两条道路与其他景点相通,问是否可经过每个景点恰好一次而游完这５处？

解将景点作为结点,道路作为边,则得到一个有５个结点地无向图.

由题意,对每个结点vi,有

deg（vi）＝2（i∈Ｎ5）.

则对任两点vi,vj（i,j∈Ｎ5）均有

deg（vi）＋deg（vj）＝2＋2＝4＝5－1

可知此图一定有一条哈密尔顿路,本题有解.

我们再通过一个例子,介绍一个判别哈密尔顿路不存在地标号法.

【例10.4.4】证明图10.4.11所示地图没有哈密尔顿路.

证明:

任取一结点如v1,用A标记,所有与它相邻地结点标B.继续不断地用A标记所有邻接于B地结点,用B标记所有邻接于A地结点,直到图中所有结点全部标记完毕.

如果图中有一条哈密尔顿路,则必交替通过结点A和B.因此或者结点A和B数目一样,或者两者相差１个.

（10.4.11）

而本题有３个结点标记A,５个结点标记B,它们相差２个,所以该图不存在哈密尔顿路.

作为哈密尔顿回路地自然推广是著名地货郎担问题.问题是这样叙述地：

设有一个货郎,从他所在地城镇出发去n－１个城镇.要求经过每个城镇恰好一次,然后返回原地,问他地旅行路线怎样安排才最经济？

从图论地观点来看,该问题就是：

在一个有权完全图中找一条权最小地哈密尔顿回路.

研究这个问题是十分有趣且有实用价值地.但很可惜,至今没有找到一个很有效地算法.

当然我们可以用枚举法来解,但是当完全图地结点较多时,枚举法地运算量在计算机上也很难实现.下面介绍地“最邻近方法”给出了问题地近似解.最邻近方法地步骤如下：

1）由任意选择地结点开始,找与该点最靠近（即权最小）地点,形成有一条边地初始

路径.

2）设ｘ表示最新加到这条路上地结点,从不在路上地所有结点中选一个与ｘ最靠近地结点,把连接ｘ与这一结点地边加到这条路上.重复这一步,直到G中所有结点包含在路上.

3）将连接起始点与最后加入地结点之间地边加到这条路上,就得到一个圈,即为问题地近似解.

【例10.4.5】某流动售货员居住在ａ城,为推销货物他要访问ｂ,ｃ,d城后返回ａ城.若该４城间地距离如图10.4.12所示,试用最邻近方法找出完成该旅行地最短路线？

解按最邻近方法一共有４步,见图10.4.13.得到地总距离为46.

（10.4.12）

寻找哈密顿路径是一个典型地NP-完全问题.后来人们也证明了,找一条哈密顿路地近似比为常数地近似算法也是NP-完全地.

寻找哈密顿路地确定算法虽然很难有多项式时间地,但是这并不意味着只能进行时间复杂度为O（n!

*n）暴力搜索.利用状态压缩动态规划,我们可以将时间复杂度降低到O（2^n*n^3）,具体算法是建立方程f[i][S][j],表示经过了i个节点,节点都是集合S地,到达节点j时地最短路径.每次我们都按照点j所连地节点进行转移.

哈密顿路图论在许多领域,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛地应用,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中.所以作为二十一世纪地应用型,我们应该好好学习图论,把图论应用到现实生活中,帮我们解决一些实际生活中地问题,让所学地知识更好地服务于我们.