高中数学精品专题同构式下的函数体系精美版.docx

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高中数学精品专题同构式下的函数体系精美版

专题6同构式下的函数体系

秒杀秘籍：

第一讲同构式的三问三答

又到了最后一个章节，自从秒群在2018年跟大家交流同构式开始，全国各地的老师和学生似乎都很迷这个“神招”，同构式并不神秘，和很多之前的专题一样，我们需要细化它，透彻理解它，所以我们需要一个同构式的“说明书”．

问题一：

同构式到底是什么？

同构式源于指对跨阶的问题，ex+x与x+lnx属于跨阶函数，而ex+lnx属于跳阶函数，所以指对跳阶的函数问题，在中学阶段没有解决它的巧妙方法，只能构造隐零点代换来简化，但通过指对跨阶函数进

⎧xex

⎪

行同构，即h（x）=⎨x+ex

⎧xlnx

⇒h（lnx）=⎪x+lnx

我们发现将一个指数、直线、对数三阶的问题通过跨阶

⎪x

⎪⎩e

-x-1

⎪x-lnx-1

函数的同构，变成了两阶问题，类似于二阶递推数列通过一次递推后变成了一阶数列，所以，通过构造跨阶函数的同构式，大大简化了分析和计算．

问题二：

同构式能解决什么问题？

同构式是属于跨阶的复合函数，所以复合函数能解决的一切问题，同构式均能解决．在一些求参数的取值范围、零点个数、证明不等式中，利用复合函数单调性，复合函数零点个数以及复合函数的最值保值性来快速解题．

问题三：

同构式怎么构造？

如何选取函数？

同构式需要一个构造一个母函数，即外函数，用h（x）表示，这个母函数需要满足：

①指对跨阶；②单

⎧xex

⎪

调性和最值易求；通常，h（x）=⎨x+ex

，基本上搞定这三个母函数，就看内函数，即子函数的构造了．

⎪x

⎪⎩e

-x-1

下面，我们分别利用同构式的单调性、保值性和零点个数问题来对同构式进行系统分析．

秒杀秘籍：

考点1利用同构式单调性秒杀

【例1】（2020•武邑期中）设实数λ>0，若对任意的x∈（0,+∞），不等式eλx-lnx≥0恒成立，则λ的取值

λ

范围是．

⎧xex

⎪

注意：

h（x）=⎨x+ex

在区间（0,+∞）为增函数，当构造h（p（x））≥h（q（x））恒成立的时候，只需要p（x）≥q（x）

⎪x

⎪⎩e

-x-1

恒成立即可.由于h（x）=xex在（-1,+

，这个在秒1中已经详细介绍，这里不再详述.p（x）=lnx在区间

）

x

（0,e），在（e,+

），易知p（x）

max

=p（e）=1.

e

2

【例2】设k>0，若存在正实数x，使得不等式logx-k2kx≥0成立，则k的最大值为（）

A.

1loge

B.

1ln2

C.

elog

eD．1ln2

e2e22

注意：

我们会介绍几个重要的“亲戚函数”，xex、xlnx、

x、lnx利用它们之间的同构式原理来快速求出

最值．

exx

【例3】（2019•长郡中学月考）已知函数f（x）=m⋅ln（x+1）-3x-3，若不等式f（x）>mx-3ex在x∈（0,

上恒成立，则实数m的取值范围是．

+∞）

【例4】（2019•衡水金卷）已知a<0，不等式xa+1×ex+alnx³0对任意的实数x>1恒成立，则实数a的最小值是（）

A.-1

2e

B.

-2e

C.

-1

e

D.

-e

注意：

这一类均是属于外函数h（x）=xex的同构式模型，那么在h（x）=x+ex或者h（x）=ex-x-1的模型会是什么情况呢？

秒杀秘籍：

考点2同构式问题构造恒等式：

x+ex≥ex+lnex

构造函数h（x）=x+ex，易知h（x）在区间（0,+∞）↑，根据p（x）=ex-x-1≥0恒成立，则p（lnx）=x-lnx-1≥0恒成立，当仅当lnx=0，即x=1时等号成立.由此能得到恒等式：

x≥lnx+1=lnex，所以再利用同构式h（x）≥h（lnex），即x+ex≥ex+lnex恒成立，当仅当x=1时等号成立.

【例5】（2019•榆林一模）已知不等式ex-1≥kx+lnx，对于任意的x∈（0,+∞）恒成立，则k的最大值

．

注意：

若h（p（x））≥h（q（x））恒成立，且h（p（x））≥h（q（x））+ϕ（x），则一定要满足ϕ（x）≤0，此方法属于同构式的单调性和同构式的“保值性”综合题，有一定难度，原理其实很简单，同构式一旦搞定，剩下的就是基本的函数方程不等式的简单思想.以此题为背景的考题非常多，从选填题压轴到解答题压轴，无处不在，常规方法我们不在这里讲述了，大家可以去看一下常规的解答方案.

【例6】（2019•武汉调研）已知函数f（x）=ex-aln（ax-a）+a（a>0），若关于x的不等式f（x）>0恒成立，

则实数a的取值范围为（）

A．（0,e]

B．（0,e2）

C．[1,e2]

D．（1,e2）

注意：

指数和对数的变量中出现ex和lnx+1，或者ex-1和lnx，或者ex和ln（x+1），这些有着明显的指对不等式恒成立的式子，通常是加法同构式h（x）=x+ex的常客，在内函数的解不等式中，经常需要几个“亲戚函数”来帮忙，所以我们接下来介绍一下同构式的保值性.

秒杀秘籍：

考点3利用同构式的保值性秒杀

同构式保值性：

若h（x），h（p（x）），h（q（x））中，x∈D，p（x）∈D，q（x）∈D，故h（x），h（p（x）），h（q（x））的最值相等.概括起来就是构造了同构式，可以根据外函数的性质直接求出函数的最值．

同构式倍值性：

在h（x）和g（x）=m⋅h（p（x））满足x∈D，p（x）∈D，则g（x）=m⋅h（p（x））的最值是h（x）的m倍

我们将这个性质概括为同构式的倍值性．

下面我们仅以“亲戚函数”的图像和性质来验证这个理论．关于f（x）=x⋅ex的亲戚函数

一、通过平移和拉伸得到的同构函数

如图1：

根据求导后可知：

f（x）=x⋅ex在区间（-∞,-1）↓，在区间（-1,+∞）↑，f（x）min

=f（-1）=-1．

e

图1图2图3图4

如图2：

（x-1）⋅ex=e⋅（x-1）⋅ex-1=ef（x-1），即将f（x）向右平移1个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得y=（x-1）⋅ex在区间（-∞,0）↓，在区间（0,+∞）↑，当x=0时，ymin=-1．

如图3：

（x-2）⋅ex=e2⋅（x-2）⋅ex-2=e2f（x-2），即将f（x）向右平移2个单位，再将纵坐标扩大为原来的e2

倍，故可得y=（x-2）⋅ex在区间（-∞,1）↓，在区间（1,+∞）↑，当x=1时，ymin=-e．

如图4：

（x+1）⋅ex=e-1⋅（x+1）⋅ex+1=e-1f（x+1），即将f（x）向左平移1个单位，再将纵坐标缩小为原来的1

e

倍，故可得y=（x+1）⋅ex在区间（-∞,-2）↓，在区间（-2,+∞）↑，当x=-2时，y

min

=-1．

e2

二、通过乘除和取倒数导致凹凸反转同构函数

如图5：

y=x

ex

=x⋅e-x=-f（-x），即将f（x）关于原点对称后得到y=x

ex

，故可得y=x

ex

在区间（-∞,1）↑，

在区间（1,+∞）↓，当x=1时，y

max

=1．

e

图5图6图7图8

如图6：

y=x-1=1（x-1）⋅e-（x-1）=-1f（-（x-1）），即将f（x）关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐

exe

1

x-1

e

x-11

标缩小倍，得到y=

eex

，故可得y=

ex

在区间（-∞,2）↑，在区间（2,+∞）↓，当x=2时，ymax=2．

ex111ex

如图7：

y=

x=--x⋅e-x=-f（-x）（x>0），属于分式函数，将f（x）关于原点对称后得到，故可得y=x在

区间（0,1）↓，在区间（1,+∞）↑，当x=1时，ymin=e．

ex11111

如图8：

y=x+1=-e（-x-1）⋅e-x-1=-ef（-（x+1））（x>0），属于分式函数，将f（x）关于原点对称后，左

移一个单位，再将纵坐标缩小倍，故可得y=

e

三、通过取反函数构成的同构函数

ex

在区间

x+1

（-1,0）↓

，在区间（0,

+∞）↑

，当x

=0时，ymin

=1．

图9图10图11图12

如图9：

xlnx=elnx⋅lnx=f（lnx），当lnx∈（-∞,-1），即x∈⎛0,1⎫↓，当lnx∈（-1,+∞），即x∈⎛1,+∞⎫↑，

ymin

=-1．

e

ç⎪

⎝e⎭

ç⎪

⎝e⎭

如图10：

lnx=-lnx-1⋅x-1=-f（-lnx），实现了凹凸反转，原来最小值反转后变成了最大值，当

x

-lnx∈（-∞,-1），即x∈（e,+∞）↓，当-lnx∈（-1,+∞），即x∈（0,e）↑，y

max

=1．

e

如图11lnx+1=elnex=-ef（-lnex），当-lnex∈（-∞,-1），即x∈（1,+∞）↓，当-lnex∈（-1,+∞），即x∈（0,1）↑，

：

xex

ymax=1．

lnx=1lnx2=-1（-2）

-2∈（-∞-）

∈（+∞）↓

-2∈（-

+∞）

如图12：

x2

2x2

flnx

2

，当lnx

1，即xe,

，当lnx

1,，即

x∈（0,

e）↑，y

max

=1．

2e

注意：

y=lnx可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一

x

系列函数的同构原理，达到举一反三的目的．例题中我们会以y=lnx为模板进行求最值讨论.

x

【例7】（2019•凌源市一模）若函数f（x）=ex-ax2在区间（0,+∞）上有两个极值点x，x（0

数a的取值范围是（）

1212

A.a„e

2

B.

a>e

C.

a„e

D.

a>e

2

【例8】（2019•广州一模）已知函数f（x）=e|x|-ax2，对任意x<0，x<0，都有（x-x）（f（x）-f（x））<0，

122121

则实数a的取值范围是（）

A.

（-∞e

B．（-∞,-e]

C．[0,e]D．[-e,0]

2222

【例9】（2019•荆州期末）函数f（x）=1+lnx的单调增区间为（）

xx

A．（-∞,1）

B．（0,1）C．（0,e）

D．（1,+∞）

【例10】（2019•广州期末）函数f（x）=xlnx-mx2有两个极值点，则实数m的取值范围是（）

1

（0,）

2

B．（-∞,0）

lnx

C．（0,1）D．（0,+∞）

1

【例11】（2019•深圳月考）已知函数f（x）=-kx在区间[e4，e]上有两个不同的零点，则实数k的取值

x

范围为（）

A．[1

4e

，1）2e

B.

（1

4e

，1）2e

C．[1

e2

，1]

4e

D．[1

e2

，1]

e

保值性定理1：

若h（p（x））≥h（q（x））恒成立，且满足h（p（x））≥h（q（x））+ϕ（x），则一定要满足ϕ（x）≤0；

保值性定理2：

若h（p（x））≥h（q（x））恒成立，且满足h（p（x））≥m⋅h（q（x））（h（x）≥0），则一定要满足m≤1；若要满足h（p（x））=mh（q（x））有实根，则一定要满足m≥1；

保值性定理3：

若h（p（x））≥0，h（q（x））≥0，且满足当x=m时，h（p（x））=h（q（x））=0，则一定满足不等式

h（p（x））+h（q（x））≥0；若h（p（x））=0时和h（q（x））=0时的x取的值不相等，则h（p（x））+h（q（x））>0

【例12】（2019•保山一模）若函数f（x）=ex+axlnx有两个极值点，则a的取值范围是（）

A．（-∞,-e）

B．（-∞,-2e）

C．（e,+∞）

D．（2e,+∞）

注意：

相比此题的传统方法，同构式确实可以一步秒杀，还有什么理由不学习研究同构式呢？

下面我们来讲解一下高考题中的同构式保值定理的应用．

【例13】（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=aex-lnx-1．

（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；

（2）证明：

当a≥1时，f（x）≥0．

e

【例14】.（2014•全国卷I）设函数f（x）=aex

y=e（x-1）+2.

lnx+

bex-1x

，曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为

（1）求a,b；

（2）证明：

f（x）>1.

注意：

保值性不仅仅是保大于零或者恒成立，也可以保最大值或者最小值，知道指对跨阶的同构式，基本上就是一步到位，怎么样？

有点感觉了吧，再看看下一道高考题.

【例15】（2015•新课标Ⅰ）设函数f（x）=e2x-alnx．

（1）讨论f（x）的导函数f'（x）零点的个数；

（2）证明：

当a>0时，f（x）≥2a+aln2．

a

注意：

看不到乘法同构就用加法，h（x）=x+ex的同构式通常用于单调性，因为无最值，所以无法采用保值性来使用，而h（x）=ex-x-1既能实现单调性，又能实现保值性，堪称同构式的桥头堡，下面关于同构式

h（x）=ex-x-1，在涉及保值性问题上，有一个特殊的名词，叫做改头换面．

秒杀秘籍：

第三讲改头换面ex-ln（x+m）³2-m类型

构造h（x）=ex-x-1，则h（ln（x+m））=（x+m）-ln（x+m）-1，

故ex-ln（x+m）=ex-x-1+（x+m）-ln（x+m）-1+2-m=h（x）+h（ln（x+m））+2-m，由于

h（x）+h（ln（x+m））≥0，故ex-ln（x+m）≥2-m，当仅当x=0，且ln（x+m）=0时等号成立，这里就提出了一个问题就是，当仅当m=1时可以取等，其余均是大于．此题也可以表示为f（x）=ex-m-ln（x+m）≥2-2m，

当仅当m=1时，f（x）2

min=1

【例16】（2013•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）．

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；

（2）当m≤2时，证明f（x）>0．

注意：

ex-m和ln（x+n）在同构式里面仅仅在n-m=1的时候获得取等条件，最常见就是构造h（x）≥h（ln（x+1））

或者构造h（x-1）≥h（lnx），诸如此类的改头换面，我们也可以称为差一同构式.

针对xex和lnx，没有了差一同构式，却多了个不对称构造，一个有xex，一个却不是xlnx，此类也是可以改头换面的，就是将指数部分进行改头换面，构成h（x）=ex-x-1的同构式应用.

秒杀秘籍：

第四讲

ex

xex、与lnx改头换面

x

利用h（x）=ex-x-1³0，则有①xex=ex+lnx³x+lnx+1；x2ex=ex+2lnx³x+2lnx+1

这一系列放缩的取等条件就是x+lnx=0（x»0.6），或者x+2lnx=0（x»0.7）；

利用h（x）=ex

-ex³0（取等条件x=1），则有②xe

x=ex+lnx

ex

³e（x+lnx）；x

=ex-lnx³e（x-lnx）；

x2ex=ex+2lnx³e（x+2lnx）；这一系列放缩的取等条件就是x+lnx=1（x=1），x-lnx=1（x=1）或者

x+2lnx=1（x=1）；

【例17】（2018•江苏期末）函数f（x）=xex-x-lnx的最小值为．

【例18】（2018•长沙模拟）已知f（x）=xex-ax-lnx³1对于任意的xÎ（0,+

是．

）恒成立，则a的取值范围

【例19】（2019•深圳月考）已知x（e2x-a）³lnx+1对于任意的xÎ（0,+

A．1B．2C．e-1

）恒成立，则a的最大值为（）

D．e

【解析】构造h（x）=ex-x-1，xe2x-ax-lnx-1=e2x+lnx-2x-lnx-1+2x-ax³h（2x+lnx）+（2-a）x³0恒成

立，可知a£2，取等条件为2x+lnx=0，此时a取得最大值2．

秒杀秘籍：

第五讲利用同构式的内外函数单调性秒杀零点极值点问题

极值存在问题：

若函数f（x）=h（g（x）），则令t=g（x），根据复合函数求导h'（g（x））=h'（t）⋅t'原理，若存在一

⎧g'（x）=0

个极值，则⎨h'（t）≠0

⎧g'（x）≠0

或者⎨h'（t）=0

⎧g（x）≠0

，若不存在极值，则⎨h（t）≠0

⎧g'（x）=0

，若存在多个极值，则⎨h'（t）=0

，此方

法叫做同构式内外函数分离法，通常可以简化求导计算，达到事半功倍效果.

零点个数问题：

若函数f（x）=h（g（x）），则令t=g（x），先确定内值外定，即内函数的值域是外函数的定义域，

再确定内外函数在相应区间的单调性，利用乘法原理来确定相应区间根的个数.

x

【例20】（2019•陕西一模）已知函数f（x）=+k（lnx-x），若x=1是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的

x

取值范围是（）

A．（-∞,e]

B．（-∞,e）

C．（-e,+∞）

D．[-e,+∞）

注意：

复合函数求导分离，此题就是f'（x）=（ex-lnx-k）⋅（x-lnx）'=（et-k）⋅（1-1

x

，看明白函数的复合性质，

h（t）=et-kt为外函数，求导为h'（t）=et-k=0，t=x-lnx，t∈[1,+∞）为内函数，求导为t'=1-1，复合

x

函数求导是将内外函数相乘，故内函数取得零点时外函数一定无零点或者和内函数在同一位置取得非变号零点．采用分别求零点策略，能大大简化求导过程，所以关于极值点存在的问题，此招无处不在，很多学生会因为求导出错而丢分，此来源于复合函数本质，高观点低运算．

【例21】（2019•襄阳模拟）已知f（x）=x2ex-a（x+2lnx）有两个零点，则a的取值范围是．

注意：

求出内函数的值域后，内函数由于单调递增，所有一切交给了外函数，此法又能大大简化求导和分析计算，一个导数题，确实分析主要矛盾是最重要的，同构式将内外函数分别分析，达到事半功倍效果.

【例22】（2019•保山一模）若函数f（x）=ex+axlnx有两个极值点，则a的取值范围是（）

A．（-∞,-e）

B．（-∞,-2e）

C．（e,+∞）

D．（2e,+∞）

【例23】（2019•广东四校）已知函数f（x）=xex-a（x+lnx）（x>0）.

（1）当a=e时，求函数f（x）的单调区间；

（2）讨论函数f（x）的零点个数.

注意：

这里给到了一个思维过程，具体写解答题需要证明t=xex单调，且在区间（0,+∞）的一一对应性，故

只考虑外函数t-alnt=0的零点个数.