常微分方程 习题答案.docx
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常微分方程习题答案
常微分方程习题集
华东师范大学数学系
2003年9月
常微分方程习题集目录
第一章基本概念和初等解法
1.1微分方程模型与基本概念
1.2初等解法
1.3基本理论问题
第二章线性微分方程组
2.1引论
2.2一般理论
2.3常系数线性微分方程组
2.4高阶线性微分方程
第三章定性和稳定性理论
3.1基本概念
3.2二阶系统的定性分析
3.3一般非线性系统零解的稳定性
习题1.1
1.指出下列常微分方程的阶数，并判断是否为线性：
1）恙=4工2-y:
答：
i阶线性方程.
ONdy„
nnf�nnf
答：
p阶非线性方程.
3）g+p⑷盖+咖y=/⑷
答：
二阶线性方程.
dy
4）-—hcosy+X=0.
d工
答：
一阶非线性方程.
2.什么是常微分方程的解？
它与代数方程的解有什么区别？
何
谓微分方程的通解、特解？
何谓初值问题？
答：
在某区间/上定义并且在区间/上恒满足某常微分方程的
函数叫做该常微分方程在区间/上的一个解.代数方程的解是满
足代数方程的函数或数.常微分方程的解与代数方程的解的主要
区别是：
常微分方程的解是在区间上定义的可微函数，它可以含有
任意常数.而代数方程中不含对未知函数的求导运算.一个n阶常
微分方程的含有n个独立的任意常数的解叫通解，通解不一定包
含方程所有的解.不含有任意常数的解叫特解.求一个ri阶常微分
方程的解，要使这个解及它的直到ri-1阶导数在某一点取给定的
一些值.这样的问题叫初值问题.
3.验证函数y=2+cVr�（其中C为任意常数）是微分方程
（1+=2x的通解，并求出满足初始条件y（0）=3的解.
解：
从函数方程解出C,得（y-22）/（1-x2）=c2，两边关于求
导，得2[（1-x�）（y-2）dy/dx+（y-2）'�x\/{l-=0,经整理得微分
方程（1-;c2）dy/da;+rry=2a;.（注：
一般的方法是将函数中的任意
常数C解出，对0：
求导后的微分方程就不含C了）再由初始条件：
3=y（0）=2+C得C=1，满足初始条件的解是y=2+
4.验证ey-e-=c（这里c为任意常数）是否为方程，-“
的通解.
解：
是.以expO表示指数函数.设由方程exp（y）-exp（x）=c
决定了一个函数？
/⑷，即exp（y（;c））-exp（x）=c,边对a;求导得，
exp（y（x））dy/dx-exp（x）=0,整理后就得dy/da;=exp（a;-y）,即含有
一个任意常数C的隐函数exp（y）-exp⑷=C满足一阶微分方程，按
yp々PXDI'7/）—PXDI'-Mr1甬
5.已知平面曲线上任一点的切线在两坐标轴之间的部分都等
于定长Z，试求出此平面曲线应满足的微分方程.
解：
设（X,y）为切线上的点，过切点（x,y）的切线方程为
r-y=y'（X-a;），它与a:
与y轴的交点分别为（jc—y/y'，0）与
2）-�+2y—+3xy=0:
d工
（0,y-xy'）,所以所求的方程为（a：
-y/y〒+（y—xy'f=P.
6.已知平面曲线上任一点的切线与该点和原点的连线之间的
夹角均为常g«,试求出此平面曲线应满足的方程.一
解：
由题意，tan（arctany'—arctan（y/x））=tana=k,故由三角公式
得所求方程为iy'-yM=Ki+yy'\/x）.
7.求出曲线族Or-ci）2+{y-=4所满足的微分方程，其中
Cl,C2,C3为任意常教.
解：
方程两边对求导一次得♦-Cl）+2（y-C2）y'=0,再对a;
求导一次得2+2y'2+2{y-C2）y〃，解出C2:
C2=y+（1+对其
关于T求导一次得所求的微分方程y'+[（1+y'�）/y"]'=0.
8.一个容器盛盐的水溶液100升，净含盐10千克.现以每分钟3升
的流量注入净水使盐水冲淡，同时以每分钟2升的流量让盐水流出.
设容器中盐水的浓度在任何时刻都是均勾的，求出任意时刻t容
器中净盐量所满足的微分方程和定解条件.
解：
设在t分钟时净盐量为⑴千克，定解条件为初始条件：
x（0）=10（千克），在时刻t（分）时，水溶液体积为（100+t）（升），盐浓
度为（千克/升），按题意，净盐量变化率g这就
是所求的微分方程.
9*.假设赛艇在水中运动时主要受到两个力的作用，即由于运
动员划黎所产生的牵引力r和水的阻力D.记赛艇的速度为U.如
果运动员和赛艇一起的总质量为m,运动员为赛艇提供的不变有
Z■功率为P，阻力与〃2成正比，试建立赛艇速度的运动方程.提
不：
Tu=p.
解：
设D=ku\k是比例系数，由牛顿第二定律得运动方程，
mdu/dt=p/u—kv?
.
习题1.2
常数变易公式：
一阶线性非齐次方程cb/dt+p⑴0；=的一
切解可以表示为洲=m{c+Jlq{s）/h{s）ds）其中h[t）是对应的
线性齐次方程cLc/di+p（t）;c=0的任一个确定的非零特解，可取
h{t）=exp（f-p（t）dt）中一个特定的函数.其中expO）=表示指数
函数.C为任意常数.注意公式中的两个函数⑴必须取同一个函
数.
1.用分离变量法求解下列方程或初值问题：
1）恙+=◦
解：
y=cexp（/—e2zda:
）=cexp（—e2T/2）
2）sec�Xtanydx-hsec�ytanxdy=0
解：
原方程可化为tanydtana:
+tanxdtany=0，从而
d（tanXtan=0,积分得通解tana:
:
tany=c.
3）Or+1）惡+I=2e1
解：
将原方程化为（a;+l）e"dy+（e"-2）dx=0，进而化为
（x+l）d（e"—2）+（e"-2）d（x+1）=0,即d[（;c+l）（e"-2）]=0，积分得
通解+1）（e"—2）=c.
4）�+32；=0
axy
解：
将原方程化为6e3Tck:
+6yei2dy=0，积分得通解
2e3T-Se-y"=c.
d工
解：
ft方程化为dy—dx=0，积分得通解e"-eT=c.
6）x�（l—y）dy+？
/�（l+x）da;=0
M-—ajy一0时，#方程化为+l/x）dx+（l/y2-1/y）dy=0.
积分得通解l/a;+l/y+ln[y/{cx）]=0.还有两个特解，x=0Ry=0,
它们不包括在通解中.
7）3e®tanydx+（1—e工）sec�ydy=0,y⑴=7r/4
M-将原方程化为-3tanyd（e®-l）+（eLl）dtany=0,方程两边乘
以（6工—1）-4，得d[（e工—l）"�tan？
/j=0,积分得通解（e®—l）"�tany=c,
即tany=c（e�-1）�,初值问题的解为y=arctan[[e�-1）�/（e—if].
8）x\J\+y2+yVl+=0,y（0）=1
答：
通解为a/1+;c2++y2=�
初值问题的解为y=\j（Vl+a?
-1-"“~i.
9）（1+x）ydx+a;（1-y）dy=0,y
（2）=0
答：
初值问题的_为y=0（不能从通解ln（（a;y）/c）=y-x中得
到）.
10）a;y（1+;c2）盖=1+y2，y⑴=0.
解：
将方程化为i（l+y2）/d（x2）=（1+y''）/[x\l+�2）]，分离变量得
d（l+y2）/（l+y2）=[1/�2一1/（1+�2）]d（a;2）,积分得通解为
5）p-=e�-y
（1+X�）{1+y2）=cx�,初值问题的解为（1+X�）{1+y2）=2a;2解出y
得y=士[（3�2-l）/（a;2+
2.将卞列方—化为爹量分离方程后求解：
1）（xy）dx—（x—y）dy=0
解：
将方程两边乘以2，再重新组合化为
2{xdx+ydy）-2{xdy-ydx）=0,可见，可凑成微分
d+y2）—2（x�+y�）darctan（y/a;）=0，两边同以a;2+得：
d（x�+y�）/{x�+y2）—2darctan（y/x）=0，积分得ffl解：
ln（x2+？
_2arctan（y/x）=c,（注：
本题是齐次方程，也可按齐次方
程的通常解法求解，但较繁）.
2）da；+（a;2—xy）dy=0
M-将方程重新纟合化为—y（xdy-ydx）+dy=0,凑微分得
-x�yd{y/x）+dy=0,当；ry/0时，两边同除以;得：
-d{y/x）+dy/y=0，积分得解：
-y/x+ln（y/c）=0,或化为
y=cexp（y/x）;还有特解=0不包括在通解中.特解y=0可以包
含在通解的后一种形式中.
（注：
本题是齐次方程，也可按齐次方程的通常解法求解）.
3）化=V-xy
—xy+
解：
方程是齐次方程，引进新的未知函数U,满足关系式y=XU,
对a;求导得关系式dy/da;=u+xdv�x,将这两式代入方_，得:
U+xdu/dx=（2u�—u）/{l—u+u�）,分离变量得：
[2/（u-1）-1/u-3/（u-2）]du=2dx/x,|r分得
ln[（u—1）2/（cu（m—2）3）]=Inx"�,或化为（u—1）2=cx�u{u—2）�,以u=y/x
代入得通知（y-x）�=cy{y-2x）3,还有两个特解y=0，及y=2a;，它
们不包括在通解中，分别对应于=0和=2（注：
与U=1对应的
解y=;c可以包含在通解中（c=0时））.
4）xdy/dx=xexp（y/x）y-\-x
解：
方程是齐?
方变量代换y=XU,得变量分离方程
=exp（w）+l,进而写成d:
c/a:
:
+dexp（—w）/（exp（—w）+l）=0，积分
得：
ln（x（exp（-u）+l）/c）=0，代回原变量得通解:
c（l+exp（-=c,
5）x（lnX—In�dx=0
解：
方程是齐次方程，用变量代换y、=xu�得变量分离方程:
xdu/dx=—u{l+Inw）/lnti，7�1/e时，化为：
dx/xH-Inwdlnii/（l+Inu）=0，积分得ln[c;rw/（l+Inw）]=0,代回原变
量得通解cy=1+ln�-lnx,特y=x/e4含在通扁中.
6）dy/dx={2x—y-\-l）/{x—2y1）
解：
将方程化为微分形式并分组得：
[{2x+l）dx+{2y—1）d�]-（xdy-\-ydx）=0，进而得
d（x�-y）-d{xy）=0,|R分得ffl解：
〜（注:
本题也可化为g=y++i;
后按齐次方程的解法来求解，但较繁）.
7）dy/dx={2x++4）/（4x+6�+5）
解：
令w=2a;+3y，故du/dx=2+3dy/dx=2+3（u+4）/（2w+5）,
即cki）da;=（7u+22）/（2w+5）,7w+22=0bJ,得特解14a;+21y+22=0，
7«+22/0时，分离变量得[2-9/（7u+22）]du=7dx„积分得，
2u-9/71n[（7u+22）/c]=7x,代回原变量整理得通解
7（2y-x）-31n[（14x+21y+22）/c]=0.另一形式为
14a;+21y+22=cexp（7（2y—x）/3）,特解14;c+21y+22=0包含在通
解的后一形式中.
8）dy/dx=（x+1）�+（4y+1）2+8xy+1
见dy/da;=（x+4y+1）2+2，故令=a:
+4y+1，从
du/dx=1+4dy/dx=1+4（u�+2）=Av?
+9,即du/da;=4u�+9,分离
变量得3d（2u）/（4w2+9）=6dx,积分得：
arctan（2w/3）=Ga;+c，代[�原
变量整理得j�_解arctan（（2;z;+8y+2）/3）=6x+c.
Q、r]7//r]T�f7/�—/f�T?
/�-U\
、解：
将原方程化为Ci（y3）/d:
r=3[（y3）2—2x2]/（2xy3+
得齐次方程clu/cLc=3（t|2-2x�）/{2xv+a:
。
），故令对a；求
导得dti/da;=u+xdu/dx=Z{v?
-2）/{2u+1）.即得变量分离方程
xdu/dx=（u-3）（u+2）/（2u+1），分离务量得
[7/（u-3）+3/（u+2）]du=Mx/x.积务得71n|u—3|+31n|u+2|=51n（cx）.
k回原变量得通if（y�-3x）�（y3+2xf=cx��.胜:
）��应年u=3左
u=-2的特解包含在通解中）.
10）dy/dx=（2a;3+3xy�+x）/{3x'�y+2y�—y）.
解：
将原方程化为
d（y2）/d（x2）=[2（x2—1）+3（y2+1）]/[3（�2-1）+2{y�+1）].从而可令
w=a;2-1，"u=y2+1，原方程化为齐次方程clu/du={2u+3v）{3u+2v）,
令=uw,对u求导得，dti/cki=w+udw/du={3w+2）/{2w+3）.即
得变量分离方程udw/du=2（1-w�）（2w+3）.分离变量得
[l/{w+1）—h/{w—1）]du）=4du/u,积分得：
ln|«;+l|-51n|u;-l|=41n|u|+c,代回原变量整理得通解
（y2一p+2）5=c（x2+y2）.（注：
对应于w=1的特解包含在通解中）
3.用常数变易公式求解下列（可化为）线性方程或Bernoulli方
程的通解或初值问题：
1）dy/dx=y+sina;
解：
取线性齐次方程dy/cLc1=0的一个特解/I⑷=exp（x）,应
用常数变易公式得：
y=exp（x）[c+fsinxexp（—x）dx]=cexp（x）—（sinx+cosx）/2.
2）dx/dt=exp（2t）—3x
解：
取对应的齐次方程的一个特解为/i（t）=exp（-3t），应用常数
变易公式得：
X=exp（—3t）[c+/exp（5t）dt]=cexp（—3t）H-exp（2t）/5.
3）dy/dx—ny/x=exp（x）
备y=x�{c+exp（x））.
4）dy/dx+（1—2x）y/x�—1=0
解：
取对应的齐次方程的一个特解/i（x）=x2exp（l/x）,应用常数
变易公式得y=x2exp（l/x）[c+/exp（-l/a;）d（-l/x）]=x�[cexp（l/x）+l].
5）dy/dx=ytanx+cosx
解：
取对应的齐次方程的一个特解为=1/cosx=secx,应
用常数变易公式得y=secx[c+fcos�Xdx]=[（x+2c）secx+sinx]/2,
6）dy/dx—y=2xexp（2x）,�（0）=1
答:
■解为y=cexp（x）+2{x-l）exp（2x）,初值问题的解为
y=3exp（x）+2（x—1）exp（2x）.
7）xyInydx+—Iny）dy=0
M-方程两边同乘2/y方程化为lnyd（a;2）+2{x'�-Iny）dlny=0，
y7�1时，进而化为线性程d（a;2）/dlny+2;r2/lny=2，利用常数变
易公式得通解，=c/ln2y+2/3Iny,特解y=1木包含在通解中.
8）dy/dx+2y/（a;+1）=（x+1）3
參:
y=c{x+l）-2+（x+1）4/6.
9）同例1.6，略
10）dy/dx+xy=
解：
是Bernoulli方程，当y/0时，先将它化为线性方程
d（y"2）/dx=-2a;3，应用常数变易公式得通解为
y-2=cexp（x2）++1,还有特解y=0（不包含在通解中）.
11）dy/dx=l/{xy+x'�y�）
解：
将自变量与因变量交换得Bernoulli方程g将
它化为线性方程dOr-2）/dy=-2yx-�-2y\从而应常数变易公式
得通解：
=cexp（-y�）+1-
12）dy/dx=x~�{3x+exp（�））
解：
将方程化为线性方程dexp（i）/d:
c+3exp（-W/;z:
=-1/x�,应
用常数曼桌公式而得ffiifexp（-y）=cx-3-（2x）-�
13）jdx=（3�4+y3）j
解：
是Bernoulli方程，可化为线性方程<1（〃3）/da:
-3〃3/x=3x�,积
分得通解：
y3=cx�+3x�.
14）dy/dx=l/（xcos�+sin2y）
解：
将自变量与因变量交换得线性方程Cb/dy=xcosy+sin（2y）,
取对应的齐次方程的一个特解为；�=%）=611）（31112/），从而应用，
数变易公式得a；=2exp（siny）[c+/sinyexp（-siny）dsiny],积分得通
解：
=cexp（siny）—2（1+siny）.
4.利用全微分方程（题1-6，12）和用积分因子方法，（题7-11）求出下
列方程的解
1）（�2+y）dx+（x—2y）dy=0
M-将方程分为（;c2da;-2ydy）+（yda;+a;dy）=0，凑微分得
dx-2ydy）+d{xy）=0,积分得通解：
x�/3-+xy=c.
2）exp（—dxH-（1—xexp（—y））dy=0
舍方程分组为（expii）d;z:
-a;exp（i）dW+dy=0，凑微分得
d（xexp（-�））+dy=0，积分得通解：
xexp（-y）+y=c.
3）（y—3x�）dx—（Ay—x）dy=0
0'将方程分组为O/diT+a;办）-（3x�dx+4:
ydy）=0,凑微分得
d{xy）-d{x�+2力=0，积分得通赫：
xy--2y�=c.
4）（9x�+�—1）dx—{Ay—x）dy=0
解：
将方程分组为[（9a；2-1）dx-4ydy]+{ydx+xdy）=0,凑微分
得d（3;c3-X-2y2）+d{xy）=0，积分得通If:
-x-2y'�+xy=c.
5）[y_ism{x/y）—yx~'�cos{y/x）+1]dx
+|x_icos{y/x）—xy~'�sm{x/y）+？
dy=0
解法一：
记M（a;,y）=y"�sin（x/y）—yx~'�cos{y/x）+1，
N{x,y）=；r_icos{y/x）—xy~'�s'm{x/y）+
可得dM{x，y）ldy=dN{x,y）/dx,因此方程是恰当的.设其积分
为U{x，y）=C,贝IjdU{x,y）/dy=N{x,y）,关于y积分，得
U（x,y）=J[a;~�cos{y/x）—xy~'�sm{x/y）+y~'�]dy
=sin（y/a;）—cos{x/y）—1/y+c{x）
其中C（;r）是待定的的函数.为求c（;c），利用恒等式
dU{x,y）/dx=M{x,y）,可得c'（a;）=1，故可取c（;c）=x.所以积分为
U{x,y）=c，其中U{x,y）=sm{y/x）-cos{x/y）-1/y+x.
减法二：
将微芬；�程组合为[sinO/yj/ycLc-;rsinO/y）/y2cly]
+[-ycos{y/x）/dx+cos{y/x）/xdy]+[dx+1/y�dy]=0,凑微分，积
分得：
-cos{x/y）+sm{y/x）+x-l/y=c
6）2x{yexp（x�）—1）dx+exp（x�）dy=0
M-於原方程化为[ycl（exp（;c2））+exp02）dy]-2;rda;=0，凑微分得
d（yexp（a;2））-d（x�）=0，积分得通解yexp（;c2）-=c,或解出显函数
形式:
y=（c+x2）exp（-x2）.
7）（exp（x）+3y2）dx+2xydy=0
M-将程分成（3y2ckc+2;cydy）+exp（x）da;=0,凑微分得
；r-2d（a;3y2）+expO）da;=0,可见积奋自子可取为；r2，从而化成全微分
方程d（;c3y2）+2;2exp（a；）dx=0，积分得通解;r3y2+exp（a;）（x2—2a;+2）=c.
8）（工2—1_—|—xy——0
解：
将方程分组成（a；2+a；）dx+{y�dx+xydy）=0,凑微分得
{x�+x）dx+（2a;）"i
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