求束缚态的能级所满足的方程
［解］束缚态下粒子能量的取值范围为
当时
当时
XX方程为
叮+寻（D驾=0
令
:
叮+旳=0
解为
卽£二虫严+即如
当时
酸'+訣+讥=0
令
解为
T3（x）=九sinco昵*
XX方程为
■I蜀+
XX方程为
叮鸣=0
解为
卽畫）二找西+乐如
由
..=0
芯闊二购
波函数满足的连续性要求，有
叫匸“=里人』£+£=0
&右sink2a-B2k2cos^a=詁化+B】徐如
=A2sink2b+B2cost:
5
叮=叮
-月血严5=4為sink2b-B也cosk2b
要使有非零解不能同时为零
则其系数组成的行列式必须为零
计算行列式，得方程
t上0）片标遍2+讣勘gk^shk^a一k^chk^
例题
主要类型：
1.算符运算；2.力学量的平均值；3.力学量
几率分布.
有关算符的运算
1.证明如下对易关系
（1）
⑵
⑶
⑷
（5）
［证］
（1）
⑵
二请-血J二号厶+F込
=±fi[4土遇]二土込
⑶
A
4刼+［■血h
+花心
=0+0+%认+曲％AE+i帆誌侖+请知标f
二0
一般地,若算符是任一标量算符，有
⑷
二川知A+加£密屛
二请％随+抄J
一般地,若算符是任一矢量算符，可证明有
仏0"123）
（5）
炉,啓=心+久+m
二擔厶］+肚厶
Ly5也#+Ly'L*-L$+S+62F厶
=ThLpLg-机亠+i吗£j+ihLxLy
=0
同理:
2.证明xx算符为xx算符
［解］考虑一维情况
A
H
二上4+心）二?
+给）
2朋必2
二ip询严一1询洌*必'fJdx
为xx算符，为xx算符，为实数
［0仃）叫盂⑷⑴必=jF『砂=j（珂亍耐x
为XX算符为XX算符
3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为，
取：
试证明：
也是和共同本征函数，对应本征值
分别为：
。
［证］
是的对应本征值为的本征函数
只孙IA
\L£fL±\=±hL±
）=（44=
是的对应本征值为的本征函数
=0±1.卅1沁
可求出:
c/'二有J0干螂）0士用+1）
舛诫土棒+1）%佝
二.有关力学量平均值与几率分布方面
1.
（1）证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；
（2）求x
在态中的平均值
是的本征函数。
本征值
2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由
波函数
描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值
【解】
宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数
注意：
是否归一化波函数
能量本征值
另一做法
fi"d、2.2otzx
sin—cos—a盘
三、2.5d\L
診〒曲一cos—（----；l-=
_\iaaQ£卩dxyfct
3.一维谐振子在时的归一化波函数为
所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求
（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值
［解］
（1）,归一化，，
（2）
—11312
noI3曾二严+严十才汁了融
（3）时,
所以:
时，能量的可能值、相应的概率、平均值同
（2）。
4.设氢原子处于状态
甲（“妙）二"血血血血-f尽】但妙）
求氢原子的能量，角动量平方以及角动量z分量的可能值，这些
可能值出现的几率和这些力学量的平均值。
［解］能量本征值
能量本征态
当n=2时
1^=1n+i）Aa=2fta［£阜1=2护
本征值为的
出现的几率为100%
可能值为出现的几率分别为：
。
豆=妁=-啤
肿
5.在轨道角动量和共同的本征态下,试求下列期望值
（1）.；⑵.
［解］:
=0=aly
-Q,Iy-0
三测不准关系
1.粒子处于状态式中为常数,求粒子的动量的平均值，并计算
测不准关系
［解］先归一化
城二
（1）动量平均值
一说
-];V恥-缶
（8}
p-\[炽a住
-jft—
'2妙丄
1跌丿
_ih
=
i/p
=罔!
也■
一请矽0
jM蜡
—s>
2諳虫
“朮琴
—O
2刖
⑵
71
A加纟
屁丿
---^-血-^=Pa
2就
fc2v_
kvJ
松eL
2\Pq吋
1
—+
I2$4严护亿
Po丄毋曲
[2孑—硬+沪+硬广
⑶
"利用j/h必二当"
附：
常用积分式:
（1）
第四章例题
1.力学量的矩阵表示
由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和
p=\?
m定氓怖囱+俳x”）
试分别：
1）•求和在态下的期望值；2）.给出和的物理意义
【解】
（1）.设态矢已归一化
（粒子位置几率密度）
（2）
（利用化到坐标表象）
-丄『护伴戸『|0尹｝严梓〉+:
护伴鬥（产庐『）（?
■梓）
又：
，
上式
£『护旷何帀岸产讯Fr）+[（利卜y/F-罚申卩）
2.试证明：
由任意一对以归一化的共轭右矢和xx构成的投影算
符
（1）.是xx算符，
（2）•有，（3）.的本征值为0和1
【证】
（1）.xx算符的定义
为xx算符
（2）已归一化
（3）•由的本征值方程
又：
即:
2-=0久=0」
（本题主要考查xx算符概念，本征值方程，xx符号的应用）
3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度）基态粒子的波函数。
（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）
【解】所描述的状态，基态波函数
（1）.在x表象：
（2）.动量表象：
叫）十p|P〉（聃）
a】=1曲二.‘%二0
o
o
■I
■I
©
同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同
侧面来进行描述的
4.取和的共同表象，在角动量空间中写出，，的矩阵（本题
主要考查算符矩阵的求法）
【解】，的共同本征函数为
Q属（3風
在空间
（1）.,
（1,-膽M=（i,财训=（i,+i即,+i）
Q03
F=2讣010
:
.<0ob
同样
（1厂1闯1厂卜』（口险训=o（屮0』汁1）“
门00\
Zz000
bo-b
利用：
利用正交归一条件：
0册匕+卩,诃）二弁-洌）『+测+1）伽卩，亦+1）
（1,*+|卜1）=（乌|：
|鶴）=制肓=2方
（l,l|£+|l）0）=（€1|Z+|$i）=ft^/b2=^
ro752
z+00血
<°0°J
同样
气00]
V200
I0720；
（3）
利用：
矩阵：
矩阵：
5.已知体系的哈密顿量，试求出
（1）.体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的本征矢组.
（2）.将对角化，并给出对角化的么正变换矩阵
【解】
（1）.久期方程
XX,
设正交归一的本征矢
0e'
fc\
02£0
、£0
®丿
0丿
对应于
Cl=P
本征矢归一化
对应归一本征矢
同样
即为的本征函数集
（2）.对角化后，对角元素即为能量本
转换矩阵为
1301庞
O1O丄J2O丄V2
符的一个本征函数矢量
【证】算符的本征矢：
则F算符在自身表象中为一对角矩阵:
对另一表象力学量的本征矢
C=（战同小乞如丘）（诽屈（外｝
弘二伽）
（2W
■
的本征矢
7.为xx算符。
①求算符的本征值，②在A表象下求算符的矩阵表示。
［解］:
①设的本征值为，本征函数为，
则
又
同理算符的本征值也为
②在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵，对角元素为本征值，即
设
利用
<10、
JL
^1如"
『10、
珞0、
卫-1丿
41血丿
1
<°-1丿
10-肚22丿
B为xx算符
即
D（0亦］
B-
又
I。
MT
取：
（o八
a
:
.Uo丿
第五章例题
重点：
微扰论
1.一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系
质量为的质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。
i）在小角近似下，求系统能级；ii）求由于小角近似的误差产生的基态能量的一级xx。
解：
i）势能:
系统的哈密顿量
卯肿）
在小角近似下：
2kI
ii）若不考虑小角近似
（iiXi
十卄卜尹+捫…卜尹
I识叮沪吟估）
:
■㈣0）旳-殳評卩〉
利用公式
同样
型二徑忖罟））二》（晋胃即）
又
ii）严格解
发生了变化
£=丹+—阳I2丿
:
1占1沪
—QJ]+—+*八
2
k8*3
3.已知体系的能量算符为，其中，为轨道的角动量算
符。
（1）求体系能级的精确值。
（2）视项为微扰项，求能级至二级近似值。
［解］:
i）精确解
令，并在平面上取方向
与z轴的夹角为，则
AA.
■込+吗=
-J/+»（&cos5+L?
sin切二J/+Z22b
0二应+J屏+7,
与相互对易，它们的本征值分别为
上0,12…
^=0+1+2/-
体系能级为
E恤=/0+1）护上+加侷+Z2
¥
二冷+1）肿+删妙（1+—十…）
2fi；J
ii）微扰法
"50二应+龜*丸
的精确解为本征函数
本征能量
按微扰论
利用了公式
■匕■'#■
f」阿二二Jg+牌）0-删+1）卩申一1〉.二J（j-潮）（2+潮+1）片购+1）
22
能量二级XX为
。
加卩川耐二号JQ+讽-朋+1）石久3-善&-朋+牌+1）切―
銘）二丄（"）：
［（/+郴）（/一壇+1）_0_删）卩+脚+1）］二1梆;
£ufi22tn
在二级近似下
=垃+射纶+刑曲+1曲2—
20）
4.三维谐振子，能量算符为，试写出能级和能量本征函
数。
如这振子又受到微扰，的作用，求最低的两个能级的微扰XX并和精确值比较。
［解］:
（1设的能量本征函数为
代入方程
-『昭尙艸0艸⑵+玖舟艸⑵+9S艸仞旷⑵］
+—用+b+/）宅（x）宅（刃申⑵二£T（x）T（y）T（z）
2
（?
+/+?
）=£
卅严0）十叭为十妙⑵
2/2T（z）刃＞）爭⑵
[-
£少+丄加刊+卜
2#空⑴2
卅叭刃
2“TO）
22技T（z）2
=£
一—0（X）+丄啣由％吨（工）=垃申0）2/22
-工V⑵V然鱼»畑O）=E理（为
2p2
衣21
-——0⑵+—称亦/甲匕）二虽T0）2卩2
£=£j+E】+鸟
^1二舟少（*+“』e2二衣曲匕+弓）
乙乙
畤與（3⑵二氏卫％0）%⑵
（2）.基态的微绕xx
对基态波函数
基态能级的零级，无简并
能量的二级XX：
唯一不等于零的矩阵元为
32
（3）.第一激发态
三度简并计算不为零的矩阵元为
=^mioo
:
㈣朗010）
0
4
X
0
H*=
—ha）
4
0
0
0
1.
0
0
I
久期方程
可求出能量的一级XX
（4）.精确解
H=-++y2+zs）
2m2
令
£些+打般]+（上刍+g开）+（上4+丄嗣9）
2m8^2加期22^?
&2
&砧二（如+罗方马+（幻+㊁畑+（«>+
1?
Li[ii
=（叫+㊁）倾+詳+（弓+尹呗一尹*松+2）ft
11321
…）+（弓+〒）去曲（1-亍-齐+…;叶（叫+于）弁②
UI」乙Ui
基态
第一激发态
=-ftc?
-—fia?
-—ftfl；°”2416
二—Sa?
-—Aqj
232
5.设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数，即试用
变分法证明，在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足下列关
系（维里定理）
［证］设粒子所用的态用归一化波函数描写则
歹訂旷（花”次一埜沪艸（砂g）必
P二［0厲”级（兀”力导（和忆）必
■
E=TiV
取试态波函数为
由归一化条件
/*（久）"（久）必=C2|旷（就砂壮）¥（2，②Wx妙出二1
|邨Jp（忑lyf②怡（肚皿CW（②1=1
tl
r（z）=矿（Z）（-J沪m（心必如
J2#
尤甲（妣，砂壮）1——（―yH—+―）］］^（2j：
｝^tXz）dxdydz
2）idx®dz
=2（"斫帥总尹着十診）
T（2xpZy,危）£（3/（◎）/（②
弘）二］/（Q珥"讷Q必如
二J，矿（氏刼壮）；T7（益妙龙艸（肚勿比）二孑（心归（妙）/（冷）
A
=炉］旷（氏屈氏）/（就妙&理（氏◎卫）d%）d%）d（＞lz）
二刊
丹⑴二T⑴+卩⑷二只T+r7
腔④=2久歹一旳久"^二。
当时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。
应在时，取极值
2S
6.氢原子处于基态，加上交变电场，电离能,用微扰论
一级近似计算氢原子每秒离几率。
［解］:
解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？
微扰矩阵元？
初态：
氢原子基态
末态：
自由状态
戌£）二铠）6"瓦
2m
为能量为，在单位立体角的末态密度。
微扰
二肌产+严）
..I务r二気fj§（%-砺
凡严（壮風壮。
胡珀」
11/.—
叫sindr2d&i^r卫（剧尸
7.转动惯量为I,电偶极矩为D的平面转子，置于均匀场强E
（沿x方向）中，总能量算符成为，为旋转角（从x轴算起）如果电场很强，很小，求基态能量近似值。
［解］:
方法
与一位谐振子的能量本征方程比较
有
•X（0）二
垃+加二?
Jx■加
甲（儿盼二2（一珞兰阳）
他）“詐叭"护M址17
^COS牯史P诃=_D虑P谢-0£（1-吕y）
414力
ai
仁［丽
ft
所得结果与方法二一致。
8.设在表象中，的矩阵表示为
其中，试用微扰论求能级二级XX
［解］:
在表象中,
50
h'=00
皿+°+腭_風
第六章例题
1.有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论）
1）.；
（2）.；
⑶.;
（4）.设贝S,
【证】
（1）
2吓严®叩冋"
（2）.
+心耳+巧耳）几刃+（巧屯+o■卫J匕內
.2.22
二久+^+久二P
⑶.
+分；+<7卫』丿”+叭务从
+咛也+吶占坷珥人+诃占
二『+H巧k丿」+tr戶』/」+幻屯k」」
二尸+j耳6礼）+q伽j）+q（枫）
AA
■厲A■
（4）.
[%Q」二[q+2#Q厂诂」
=1务口」—'
二-2辰,巧卜他
2.证明：
并利用此结论求本征值
【证】
冃丘J卽+
-%%+%cr卽+%%+%吟％%+5卫对°'/打
+%%%%+%%旳%+fflrff3lffliff2i+ffliffar%%
=3+厅/“[%*厅冲]+呵％[%Q甌.+旷』功[cr据，乞」
=3+（iCTbXa%）+（%总％）+&%血6J
AA
二3-2ffj馮
设的本征函数为
则
（5r?
J27=2（5l5jz=232
又
3.设为常数，证明
【证】将展开成的幕级数，有
为偶数；为奇数
上式
勺佩严七勺饥严】
常-1比严点卜矿⑴如
=cosl+iffjffli1
4.求自旋角动量在任意方向（方位角为）的投影的本征值及
本征矢（在表象），
_h
【解】在表象中
5p
sinScosdS+—
ro-?
sinSsin^+—
rlI
J0丿
2
2
卫—L
在表象中的矩阵表示为
cos6
2I他?
cos^+rsinfisin
sinficossinsin奶
-cosS」
_h
~2
设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为
解久期方程
将代入本征方程
COS&!
+sin财辿a?
=a1sm越叩的-CO3&1-2=a2
由归一化条件
对应的本征矢为
同样：
对应的本征矢为
通过本题讨论我们发现，的本征值为，自旋算符在任意方向
上的分量的本征值也是。
也进一步推广，对任一种角动量算符，如有的本征值为，的本征值为则在任意方向上的分量的本征值的可能值也为。
5.有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁
场指向正方向，磁作用势为，设时电子的自旋向上，即求时的平均值。
［解］设自旋函数在表象中
体系的XX算符可表示为
则自旋态所满足的XX方程为
zft-疏f）二Hx（£）di
二有为
dt
db（£）心
dt
（R=（i）=-oj2a（t）a+o）2a（i）=0
同理
a（t）=sinat
b（l）=Acos^+;5sin曲
又，自旋
讹）=16（0）=0
..心^=0
再由
-』二FB^-A■0二-15=0
m（f）=cos找b©=-jsin
'cos01、
-ism込
h（
・・\
SP
'cosnl"
—COS（2/
?
sin0/
J0；
2
r
厂isin取,
=o
£心）二
£3认）"紳瓠
込=-x+（f）■）=-cos2曲
22
6.在自旋态中，求
【解】
同理
io
7.已知电子的态函数为
其中已归一化，
求
（1）.同时测量为，为的几率
（2）.电子自旋向上的几率。
（3）.和平均值。
［解］首先验证态函数是否归一化
十畑（
=阖（诃科【執+右偶+存也+拥血
1同时测量为，为的几率
2电子自旋向上的几率：
③
=0
瓦=1巫凉严血
=0
8.考虑由两个相同粒子组成得体系。
设可能的单粒子态为，试求体系的可能态数目。
分三种情况讨论
（1）。
粒子为玻色子；
（2）粒子为xx;（3）粒子为经典粒子.
［解］①玻色子构成的系统，系统态函数必须是对称的
b.如两个粒子处于不同一单粒子态对称的波函数为
玖务如）二+甌©）%•（?
』+必（如）叭⑷）］
共三种，因而，对玻色子可能态数为六种，
1XX构成的系统，系统态函数必须是反对称的
全同XX不能处于同一态上（泡利原理）•反对称波函数的形式只
能是
共三种.
2
对经典粒子，全同粒子是可区分的，粒子体系波函数没有对称性要求，波函数形式只要求都可以）
9.试写出自旋的两个自由电子所构成的全同体系的状态波函数。
［解］自旋的两电子构成的是XX体系，体系状态的波函数是反对称的
爲=取（尸山）2（%陽）
每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波
33
価）=（2曲）兀和如石）二（2斶兀略勒
它们所构成的对称波函数形式为
呼毎肩）=（2曲尸押忖）―乍
叮悅劲二-1［0心妙（弓）+臨©妙（观
它们所构成的反对称波函数形式为
笛侪用=台肉（耳）血（号）-如◎血（殆］
二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为:
却=2i（%）Q（也）卍=X1（%）乂丄（％）
22_2~2
卅=-i[ziWziM+Zii（%）]
v22"53~2
总的波函数:
10.证明：
组成正交归一系
-2血）21（%）]
2~2
=hziMziMz\（眄Jzi（旳J+I2_2_2
_2_223
③
11.两个自旋为的粒子有磁相互作用，设它们的质量很大，动能可以忽略，
求此系统的所有能量本征值和本征函数。
［解］
护二聲+盅+2盒応二討+尹+2岳.岛
.&=护-討）
对两个自旋为的系统，总自旋量子数
对的本征函数为本征值为
能量本征值
对的本征函数
aA.3X.
0x224
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