学年高二下学期期中考试数学理试题.docx

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学年高二下学期期中考试数学理试题

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）

1.复数的虚部为__________．

【答案】

【解析】分析：

利用复数除法的运算法则化简复数为的形式，即可得到复数虚部.

详解：

，则复数的虚部，故答案为.

点睛：

本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.

2.用反证法证明命题“若能被2整除，则中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是__________．

【答案】都不能被2整除

【解析】试题分析：

先写出要证明题的否定，即为所求．

解：

根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：

“a，b都不能被2整除”，

故答案为：

a、b都不能被2整除．

点评：

本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．

3.设复数虚数单位）,的共轭复数为，则________.

【答案】

【解析】分析：

由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.

详解：

因为，所以，

，故答案为.

点睛：

本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意和

4.用数学归纳法证明不等式“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值自然数应取为__________．

【答案】

..................

5.三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是__________．（填写序号）

【答案】②

【解析】试题分析：

小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提．

考点：

演绎推理．

6.观察下列等式：

…………

据此规律，第个等式可为___________.

【答案】

【解析】试题分析：

观察等式知：

第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.

故答案为.

考点：

归纳推理.

7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有__________个

【答案】

【解析】分析：

用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.

详解：

要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个，故答案为.

点睛：

本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：

（1）先让特殊元素排在没限制的位置；

（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.

8.设，那么______．

【答案】

【解析】分析：

根据函数表达式含义，准确判断出与项数变化规律以及之间的关系即可得到结论.

详解：

，，，

故答案为.

点睛：

项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：

一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.

9.已知，则_________.

【答案】

【解析】分析：

由组合数性质得，解方程求出，进而能求出的值.

详解：

，

，

化简得，

，

，解得或（舍去），

，故答案为.

点睛：

本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：

（1）；

（2）；（3）.

10.的展开式中的系数为70，则________．

【答案】

【解析】分析：

先求出二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于,求得的值,即可求得展开式中的的系数,再根据的系数为70,求得的值.

详解：

的展开式中通项公式的为，

令，求得，故的系数为，

则，故答案为.

点睛：

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：

（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

11.在数列中，，可以猜测数列通项的表达式为_________.

【答案】

【解析】分析：

根据，，，依次由，分别求出，仔细观察，总结规律，可猜想.

详解：

，

，

，

由此猜测，故答案为.

点睛：

归纳推理的一般步骤:

一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：

（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；

（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

12.记等差数列得前项和为，利用倒序相加法的求和办法，可将表示成首项，末项与项数的一个关系式，即；类似地，记等比数列的前项积为，类比等差数列的求和方法，可将表示为首项，末项与项数的一个关系式，即公式______．

【答案】

【解析】分析：

由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.

详解：

在等差数列得前项和为，

因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，

所以各项均为正的等比数列的前项积，

故答案为.

点睛：

本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：

（1）等差数列与等比数列的类比；

（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.

13.已知，则__________．

【答案】

【解析】，，，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：

（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

14.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：

如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．

【答案】

【解析】分析：

分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.

详解：

若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；

若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；

若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.

二、解答题（本大题共6小题，共90分。

请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）

15.

（1）设.

①求；

②求；

③求；

（2）求除以9的余数．

【答案】

（1）①，②，③；

（2）.

【解析】分析：

（1）①利用赋值，令即可计算的值；②令，结合①即可求出的值；③令，结合二项式系数和即可求出结果；

（2）利用二项式系数和，把分解为的倍数形式，从而可得结果.

详解：

（1）①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝（3－1）4＝16.

②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝（－3－1）4＝256，

而由

（1）知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝（3－1）4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.

③令x＝0得a0＝（0－1）4＝1，

得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.

（2）解　

＝89－1＝（9－1）9－1

，

显然上式括号内的数是正整数．

故S被9除的余数为7.

点睛：

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及各项系数和，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，求二项展开式各项系数和往往利用利用赋值法：

（1）令可求得；

（2）令结合

（1）可求得与的值.

16.已知复数满足为虚数单位）．

（1）求；

（2）设，在复平面内求满足不等式的点构成的图形面积．

【答案】

（1）；

（2）.

【解析】分析：

（1）利用复数除法的运算法则即可得出；

（2）结合

（1），利用复数模的几何意义可得在复平面内求满足不等式的点构成的图形是一个圆环，面积圆的方程及其面积计算公式即可得出点构成的图形面积.

详解：

（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴；

（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，

其中大圆为：

以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：

以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆,在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．

点睛：

复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.

17.

（1）证明：

当时，；

（2）已知，且，求证：

与中至少有一个小于2．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】分析：

（1）利用分析法证明，将不等式两边平方整理后，可得，再平方比较与的大小可得答案；

（2）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明，假设与均不小于，可得，与已知相矛盾，其否定不成立，以此来证明结论成立.

详解：

证明：

（1）要证，

只要证，

只要证，只要证，

由于，只要证，

最后一个不等式成立，所以

（2）（反证法）假设均不小于2，即≥2，≥2，

∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：

x+y≤2，与已知x+y＞2矛盾，

故中至少有一个小于2．

点睛：

本题主要考查利用反证法以及分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：

用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.

18.有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？

（1）男运动员3名，女运动员2名；

（2）至少有1名女运动员；

（3）既要有队长，又要有女运动员.

【答案】

（1）种；

（2）种；（3）种.

【解析】试题分析：

（1）第一步：

选3名男运动员，有种选法.第二步：

选2名女运动员，有种选法.

（2）将“至少1名女运动员”转化为其反面“全是男运动员”.（种）.（3）当有女队长时，其他人选法任意，不选女队长时，必选男队长.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法

试题解析：

⑴第一步：

选3名男运动员，有种选法.

第二步：

选2名女运动员，有种选法.

共有（种）选法.

⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.

从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.

所以“至少有1名女运动员”的选法有（种）.

（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有（种）.

点睛：

做排列组合问题时首先将题意分析清楚，当遇到正面情况比较多时，可以先求其反面然后再求解，对于情况比较多的可以根据元素分析法逐一