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计量教案5序列相关
第四章误差序列相关
经典假定要求模型的误差项无序列相关，而这一假定在现实中常常难以满足。
本章将要讨论的是模型误差项存在序列相关性，称为“误差序列相关”，简称“序列相关”或“自相关”。
本章的内容包括误差序列相关的性质；误差序列相关产生的原因及后果；如何检验模型是否存在误差序列相关；当模型存在误差序列时怎样进行参数估计等。
本章的目的与要求
通过本章学习，学生应充分理解当线性回归模型的随机误差项存在序列相关情形下，使用普通最小二乘法估计模型参数将会引起的各种问题，理解误差序列相关的涵义，误差序列相关产生的原因及其对模型产生的影响；熟练掌握检验误差序列相关的DW检验法；熟练掌握处理和消除误差序列相关的方法。
从而能够运用这些知识处理经济计量分析实践中的相应问题。
本章内容（计划学时）
一、误差序列相关基本问题
1、误差序列相关的概念
2、误差序列相关产生的原因
3、自相关强度的度量
二、误差序列相关的后果
1、OLS估计值虽是无偏的，但不是有效的
2、参数的显著性检验失去意义
3、模型的预测失效
三、序列相关的检验
1、图示检验法
2、DW检验
四、序列相关模型的参数估计
1、广义差分法
2、柯克兰－奥卡特迭代法
学习重点
一、误差序列相关产生的原因和后果
二、误差序列相关的检测方法
三、误差序列相关情形下的估计方法
学习难点
一、误差序列相关产生的后果
二、误差序列相关的检测方法
三、误差序列相关情形下的估计方法
第一节误差序列相关
一、误差序列相关的概念
当ui与uj（i≠j）之间存在相关性时，称为序列相关。
如果资料是时序数据，则序列相关就是指随机误差项ut与ut-1、ut-2…相关，其中ut与ut-k的相关叫k阶自相关。
对于模型
Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+uii=1,2,…,n
随机项互不相关的基本假设表现为
Cov（ui,uj）=0ij,i,j=1,2,…,n
如果对于不同的样本点，出现
Cov（ui,uj）0ij,i,j=1,2,…,n
表明存在某种相关性，则认为出现了序列相关。
二、产生自相关的原因
1、经济惯性：
大多数经济现象时间序列都具有一个显著特点，那就是存在惯性或迟缓性。
经济惯性以及滞后效应：
大多数经济时间序列都有一个明显的特点，就是它的惯性。
众所周知，GDP、价格指数、生产、就业和失业等时间序列都呈现着周期性的循环。
相继的观测值很可能是相互依赖的。
因变量观测值之间如果存在相关性，则随机扰动项之间也就存在相关性。
（Cov（ui,uj）≠0）
例如，在消费支出对收入的时间序列分析中，当期的消费支出除了依赖于收入等其它变量外，还依赖前期的消费支出。
2、遗漏了重要的解释变量：
当建立回归模型时，遗漏了某个重要的解释变量，则遗漏的解释变量必然在随机扰动项中被反映出来，使得扰动项是自相关的。
遗漏了重要的解释变量、或回归模型的数学形式设定不当：
例如，如果真实的回归方程形式为：
其中，被解释变量表示牛肉需求量，解释变量分别为牛肉价格、消费者收入和猪肉价格。
但是如果在作回归时用的是（缺考虑猪肉价格）：
显然
这是随机扰动项的系统性模式，可见造成了自相关。
3、回归模型的数学形式设定不当：
错误的模型形式就会产生对Yt的系统影响，这个影响将会带进ut，因此ut就会呈现自相关趋势。
4、由随机扰动项本身的特性所决定
5、蛛网现象
蛛网现象（Cobwebphenomenon）：
许多农产品的供给表现出一种所谓的蛛网现象。
例如，供给对价格的反应要滞后一个时期。
今年的作物种植是受去年流行的价格影响的。
因此，相关的函数形式是：
这种现象就不能期望误差项是无关的。
蛛网理论是20世纪30年代西方经济学界出现的一种动态均衡分析理论。
它将市场均衡理论与弹性理论结合起来，再引进时间因素来考察市场价格和产量的变动状况，即用供求定理解释某些生产周期长的商品，在供求不平衡时所发生的价格和产量循环影响和变动。
索罗斯有句名言：
“市场总是错的”因为市场总是行为的滞后于预期的超前的矛盾体，而这种矛盾的反射性又蛛网般地递次加大错误。
这个现象在经济学中被称为“蛛网模型”。
以猪肉的供求为例，如果猪肉供不应求，其价格就高于供求均衡的价格，养猪人在此价格下会把供给增加到高于需求的水平。
但因为小猪长成大猪需半年时间，故此在猪长大前，虽然小猪数量已超过它们长大后市场对猪肉的需求量，市场上仍然是供不应求，所以价格仍居高不下，人们也不断按此价格增加小猪。
半年后，小猪变成猪肉，供不应求变成供过于求，猪肉高价的泡沫终于吹破，于是人们又按低于均衡水平的猪肉价大量减少小猪，半年后又造成供不应求。
像生产需时、供给对价格的反应有时间差的经济活动，市场往往会发生这种波动。
6、资料加工
资料加工，数据编造的原因：
在经验分析中，许多数据是经过加工而成的。
例如，在用到季度数据的时间序列回归当中，季度数据通常由月度数据加总而成。
这种平均的计算减弱了每月的波动而引进了数据的匀滑性。
三、序列相关的表现形式
在计量经济研究中最常见的是一阶自回归形式。
记线性回归模型为
Yt=β0+β1X1t+β2X2t+…+βkXkt+ut（式5－1.1）
若随机误差项ut具有一阶自回归形式，则有
ut=ρut-1+vt（式5－1.2）
式中ρ称为自相关系数，其取值|ρ|≤1，表示ut与前期ut-1的线性相关程度。
当1＞ρ＞0时，为正相关；当－1＜ρ＜0时，为负相关。
vt为服从经典假定的随机误差项，具有零均值E（vt）=0和常数方差Var（vt）=σv2，且不存在序列相关Cov（vt,vs）=0（t≠s）。
自相关系数ρ的计算公式如下：
（称一阶自相关）
（称二阶自相关）
……
（称k阶自相关）
证明：
上述各式分母的方差Var（ut）、Var（ut-1）…Var（ut-k）为同分布的随机误差系列。
方差
Var（ut）=Var（ρut-1+vt）
=ρ2Var（ut-1）+Var（vt）
得σu2=ρ2σu2+σv2（证式5－1.1）
所以σu2=
（证式5－1.2）
实际上，由随机误差项ut的各期滞后值逐渐展开，也可以得出上述结论：
ut=vt+ρut-1
=vt+ρvt-1+ρ2ut-2
…
=vt+ρvt-1+ρ2vt-2+ρ3vt–3…
=
vt–k
则随机误差项ut的方差为
Var（ut）=Var（vt）+ρ2Var（vt-1）+ρ4Var（vt-2）+…+ρ2kVar（vt-k）
=
（根据等比数列前n项和公式）
由于Var（vt-i）具有同方差σv2，以及ρ介于0～1之间，所以ρ2k→0
所以
σu2=
又，上述各式分子的协方差分别为
Cov（ut,ut-1）=E（utּut-1）
=E[（ρut-1+vt）ּut-1]
=E（ρu2t-1+vtּut-1）
=E（ρu2t-1）+E（vtּut-1）
=ρE（u2t-1）（其中E（vtּut-1）=E（vt）ּE（ut-1）=0）
=ρσu2
=ρ
Cov（ut,ut-2）=E（utּut-2）
=E[（ρut-1+vt）ּut-2]
=E（ρut-1ּut-2+vtּut-2）
=E（ρut-1ּut-2）+E（vtּut-2）
=E[ρ（ρut-2+vt-1）ּut-2]
=ρ2E（u2t-2）+ρE（vt-1ּut-2）
=ρ2σu2
=ρ2
…
同理，一般地有：
Cov（ut,ut-k）=ρkσu2
=
（证式5－1.3）
由（证式5－1.3）式除以（证式5－1.2）式就是k阶自相关系数的结果值：
ρk=
÷
=ρk
所以，k阶自相关系数的结果值为：
=
÷
=ρk（式5－1.3）
由于|ρ|＜1，故上式表明当期随机误差与前期各随机误差之间的时间间隔越长，其相关程度越小。
第二节误差序列相关的后果
一、序列相关情形下普通最小二乘估计的性质
1、当存在序列相关时，
仍是β1的无偏估计量
对于具有一阶自回归形式随机误差的最简单线性回归模型
Yt=β1Xt+ut
ut=ρut-1+vt
使用普通最小二乘法，可得参数β1的估计为：
由于E（ut）=0,所以
则：
＝
＝β1
表明
是β1的无偏估计。
2、
虽是β1的无偏估计量，但却不是有效的（即方差已不是真实的方差）
Var（
）=Var（β1+
）
=Var（
）
=
=
（二）序列相关的后果
1、得到的参数估计值虽是无偏的，但却不是有效的；
2、显著性检验失效；
3、预测失效。
第三节序列相关的检验
一、图示检验法
首先利用OLS法估计方程，利用得到的残差et的图形来判断误差项是否存在自相关。
（一）时间序列顺序绘制残差图
如图5-3.1所示，以t为横轴，以et为纵轴，绘出（t1,e1）,（t2,e2）,…,（tn,en）点，作为et随时间变化的图形。
如果et随时间t的变化而呈现有规律的变动，一般认为et存在自相关，从而可以认为ut存在自相关。
ee
tt
ab
图5－3.1
在图5-3.1（a）中，et随着t的逐渐变化变化，et开始为正时，随后的几个也是正值，当某个时刻出现负值时，随后几个也是负值，则判定ut之间正相关，在图5-3.1（b）中，et随着t的逐渐变化有规律的改变符号，则判定ut之间负相关。
（二）绘制et-1和et的散点图
以et为纵坐标，et-1为横坐标，绘出（e1，e2）,（e2,e3）,…,（en-1,en）点，作et的散点图，如图5-2所示，如果大部分点落在Ⅰ、Ⅲ象限，判定ut存在正自相关，如果大部分点落在Ⅱ、Ⅳ象限，判定ut存在负自相关。
ee
tt
ab
图5－3.2
图5-3.2（a），表明存在正相关，图5-3.2（b），表明存在负相关。
图示法的优点是简单易行，它的缺点是相当明显的自相关才能用图示法明确地做出判断，所以在处理实际问题时，常常用下面要介绍的方法DW检验法。
二、杜宾（J·Durbin）—瓦森（G·S·Watson）检验
杜宾—瓦森检验，简称DW检验，是一种检验自相关最常用的方法。
（但只适用于一阶自相关）
我们知道，如果ut存在自相关，则有
Cov（ut,ut-1）=ρσu2
显然，当ut不存在自相关时，其协方差为零
Cov（ut,ut-1）=0，即ρ=0
所以，DW检验就是检验ρ是否显著为0。
若显著为0，说明不存在自相关，否则ut存在自相关，即序列相关。
（一）DW检验的一般步骤如下：
第一步提出假设
H0：
ρ=0（ut不存在一阶自相关）
H1：
ρ≠0（ut存在一阶自相关）
第二步构造检验值——DW
为构造一个检验上述假设的统计量——DW，首先用OLS法对模型
Yt=β0+β1X1t+β2X2t+…+βkXkt+ut
进行估计，估计出各个回归系数
、
、
…
、等。
于是可以得到
et=Yt－
－
X1t－
X2t－…－
Xkt
显然，这里的et是随机误差项ut的最小二乘估计。
杜宾—瓦森据此构造的统计量为
DW=
这里的
和
仅相差一期，在较大的样本容量下，其值可以认为是大致相等的。
所以
DW=2（1－
）
由于
而
Cov（ut,ut-1）可用
估计
Var（ut）=Var（ut-1）可用
估计
于是，ρ的估计值
就为
＝
得
DW=2（1－
）（式5－3.1）
由于
－1≤ρ≤+1
所以
0≤DW≤4（式5－3.2）
第三步根据给定的显著性水平α，查DW表，取得临界值dU和dL；
第四步作出判断（判定法则可参见图5-3.3）。
1、如果DW＜dL，则拒绝H0：
ρ=0，认为随机误差项ut存在一阶正自相关；
2、如果4-dL＜DW，则也拒绝H0：
ρ=0，认为随机误差项ut存在一阶负自相关；
3、如果dU＜DW＜4-dU，则接受H0：
ρ=0，认为随机误差项ut不存在一阶序列相关；
4、如果dL＜DW＜dU，或4-dU＜DW＜4-dL，则不能判断随机误差项ut是否存在一阶序列相关。
某市历年国民生产总值与总消费单位：
亿元表（5-1）
年份
GNP
xt
总消费
yt
回归值
残差
et=yt-
滞后残差
et-1
一级增量
Δxt
Δyt
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
108.84
120.11
139.07
139.15
154.94
183.13
216.61
257.12
284.86
326.82
410.22
455.96
500.72
598.79
709.00
863.23
1084.33
1395.12
1616.03
40.98
49.34
57.44
63.72
71.22
81.31
96.14
112.30
125.16
147.87
178.49
197.67
230.96
225.47
262.97
310.28
396.29
506.58
617.85
56.07
60.14
66.99
67.01
72.72
82.89
94.98
109.61
119.63
134.78
164.89
181.41
197.57
232.98
272.78
328.47
408.30
520.52
600.29
－15.09
－10.80
－9.55
－3.29
－1.50
－1.58
1.16
2.69
5.53
13.09
13.60
16.26
33.36
－7.51
－9.81
－18.19
－12.01
－13.94
17.56
—
－15.09
－10.80
－9.55
－3.29
－1.50
－1.58
1.16
2.69
5.53
13.09
13.60
16.26
33.36
－7.51
－9.81
－18.19
－12.01
－13.94
—
11.27
18.96
0.08
15.79
28.19
33.48
40.51
27.74
41.96
83.40
145.74
44.76
98.07
110.21
154.23
221.10
310.79
220.91
—
8.36
8.10
6.28
7.50
10.09
14.83
16.16
12.86
22.71
30.62
19.18
33.29
－5.49
37.50
47.31
86.01
110.29
111.27
1、对原数据采用OLS法拟合回归方程（用EViews软件计算）
＝16.766892+0.3610865xt
4.93789540.0074306
R02＝0.992852
DW＝0.959539
RSS0＝3356.785
2、对原x、y数据滞后一期对减（即计算一阶差分）得上表的“一级增长量”资料，对此资料采用OLS法估计参数β1（用EViews软件计算）
yt＝β0＋β1xt+ut
yt-1=β0+β1xt-1+ut-1
Δyt=β1Δxt+Δut
=0.37562380.0268848（标准差）
R12＝0.849482
DW＝2.157409
RSS1＝3166.504
显然，一阶差分后DW值在2附近，说明了通过一阶差分处理后，已不存在序列相关问题。
与前面计算的判定系数R02=0.99285相比，一阶差分回归方程的判定系数R12=0.8495要小许多。
然而，由于原水平回归方程与一阶差分回归方程的解释变量不同，所以二者的判定系数不能直接对比。
若要比较,则必须先对水平回归方程的判定系数进行调整。
记RSS0与R02分别为水平回归方程的残差平方和与判定系数，RSS1与R12分别为一阶差分回归方程的残差平方和与判定系数，哈维（A.C.Harvey）曾给出一个调整公式：
＝0.8405
将一阶差分回归方程的判定系数值0.8495与此调整后的0.8405相比，可见一阶差分回归方程的判定系数值有所增加，表明一阶差分回归估计的效果比原水平回归估计有所改善。
实践中，对于时间序列资料，使用Yt对Xt的原水平回归方程往往比使用ΔYt对ΔXt的一阶差分回归方程得出的判定系数R12值要高。
由于较高的R2值通常被认为是变量之间具有较强线性相关关系的标志，所以人们通常倾向于使用水平回归方程，而不使用一阶差分回归方程，这有时被称为是“R2综合症”。
当DW值很小时，那么无论R2值有多高，都意味着水平回归方程的设定带有序列相关性，所以应该使用的是一阶差分回归方程。
（二）结论
1、ρ=0时，DW=2，ut不存在一阶自相关；
2、ρ=－1时，DW=4，ut存在一阶完全负自相关；
3、ρ=+1时，DW=0，ut存在一阶完全正自相关。
ρ与DW的对应关系见下图
－10＋1ρ的取值
420DW的取值
那么，DW到底取什么值时，可认为ut存在序列相关？
杜宾—瓦森根据样本容量n和解释变量的个数k，在给定显著水平α的情况下，建立了检验的临界值上下限。
习惯上，上限用dU表示，下限用dL表示。
判定法则见图5－3.3：
F（DW）
不能判断
不能判断
正自相关无自相关负自相关
DW
0dLdU24－dU4－dL4
（图5-3.3）
（三）使用DW检验时应注意的问题
1、DW检验只适用于一阶自回归形式的序列相关,不适用于高阶或其他形式的序列相关；
2、DW检验要求解释变量中不能含有滞后因变量（即滞后被解释变量）或滞后内生变量，若解释变量中含有滞后的因变量或内生变量，DW检验将会失效；
3、DW若落在不能确定区域，则应通过增加样本容量或选取其他的样本，重新检验，或者采用其他的检验方法。
第四节序列相关情形下的参数估计
一、一阶差分法
1、差分：
就是指所考察变量的本期值与以前某期值之差，即增量。
ΔYt=Yt–Yt-k
ΔXit=Xit－Xit-k
2、差分法：
就是用增量数据代替原来的样本数据，建立回归模型进行分析的方法。
差分形式的模型为：
ΔYt=β1ΔXt+Δut（一元模型）
ΔYt=β1ΔX1t+β2ΔX2t+…+βkΔXkt+Δut（多元模型）
3、一阶差分法：
就是用变量的本期值与前一期值之差建立回归模型，它适用于原模型存在较高程度的一阶自相关情况。
其增量形式为：
ΔYt=Yt–Yt-1
ΔXit=Xit－Xit-1
对于线性回归模型
Yt=β0+β1X1t+β2X2t+…+βkXkt+ut（式5－4.1）
若其随机误差项ut存在一阶序列相关，即有
ut=ρut-1+vt
而且自相关系数ρ等于或近似等于±1,（DW值等于或近似等于0或者4时）那么就可采用一阶差分变换，使得变换为满足经典假设的形式，然后再对模型参数进行估计。
将（式5－4.1）式模型滞后一期，得
Yt-1=β0+β1X1t-1+β2X2t-1+…+βkXkt-1+ut-1（式5－4.2）
（式5－4.1）与（式5－4.2）对减，并用Δ表示增量，得
ΔYt=β1ΔX1t+β2ΔX2t+…+βkΔXkt+Δut（式5－4.3）
式中
ΔYt=Yt–Yt－1
ΔXit=Xit－Xit－1
Δut=ut–ut－1
这是一个没有常数项的线性回归方程，当ρ=1时，也就是说原模型存在着完全的一阶自相关时，则Δut=ut-ut-1=vt因Var（vt）=σv2，Cov（vt,vs）=0,t≠s；满足同方差和无序列相关的经典假设，所以可对此变换后的一阶差分回归模型（式5－4.3）式使用普通最小二乘法进行估计。
一阶差分法简便易行，通俗易懂，在实践中有较广泛的应用。
通常，只要模型残差的DW值很小，就可以应用一阶差分法对模型进行变换估计。
在计量经济分析实践中，一个有用的经验法则是：
只要模型残差的DW值小于模型的判定系数R2，即只要有DW＜R2，就可以使用一阶差分法。
二、广义差分法
“广义差分法”是一种针对性更强的克服误差序列相关性的方法。
方法如下：
对于线性回归模型
Yt=β0+β1X1t+β2X2t+…+βkXkt+ut（式5－4.1）
滞后一期，并且两边同乘以自相关系数ρ得
ρYt-1
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