华杯赛初二数学辅导 第一讲 因式分解.docx

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华杯赛初二数学辅导第一讲因式分解

华杯赛初二辅导第一讲因式分解

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲在数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、添项拆项

是为了分组后，能运用公式（包括配方）或提公因式．

例1因式分解：

①x4+x2+1；　②a3+b3+c3－3abc．

①分析：

x4+1若添上2x2可配成完全平方公式．

解：

x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=（x2+1）2－x2=（x2+1+x）（x2+1－x）

②分析：

a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2

解：

a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2

　　＝（a+b）3+c3－3ab（a+b+c）

=（a+b+c）［（a+b）2－（a+b）c+c2］－3ab（a+b+c）

=（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）

例2因式分解：

①x3－11x+20；②a5+a+1．

1分析：

把中项－11x拆成－16x+5x分别与x5，20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）

解：

x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5（x+4）

=x（x+4）（x－4）+5（x+4）=（x+4）（x2－4x+5）

2分析：

添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式

解：

a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2（a3－1）+a2+a+1

=a2（a－1）（a2+a+1）+a2+a+1=（a2+a+1）（a3－a2+1）

一、双十字相乘法

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　即：

-22y2+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

　　再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　　所以，原式=［x+（2y-3）］［2x+（-11y+1）］=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　它表示的是下面三个关系式：

　（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3．

　这就是所谓的双十字相乘法．

用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

（2）把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　例1分解因式：

（1）x2-3xy-10y2+x+9y-2；　　

（2）x2-y2+5x+3y+4；　

　（3）xy+y2+x-y-2；　　（4）6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．

　　解

（1）

　　原式=（x-5y+2）（x+2y-1）．

（2）

　　原式=（x+y+1）（x-y+4）．

　　（3）原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．

　　原式=（y+1）（x+y-2）．

　　（4）

原式=（2x-3y+z）（3x+y-2z）．

　　说明（4）中有三个字母，解法仍与前面的类似．

二、运用因式定理

我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如f（x）=x2-3x+2，g（x）=x5+x2+6，…，

　　当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

　　f

（1）=12-3×1+2=0；

　　f（-2）=（-2）2-3×（-2）+2=12．

　　若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a.即若x=a时，f（x）=0,［即f（a）=0］，则多项式f（x）有一次因式x－a．

根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

定理2　若既约分数

是整系数多项式

的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f（x）的整数根均为an的约数．

我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

定理3若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等．

例2因式分解：

①x3－5x2+9x－6；　②2x3－13x2+3．

①分析：

以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。

解：

∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x－2，

∴x3－5x2+9x－6＝（x－2）（x2－3x+3,）

②分析：

用最高次项的系数2的约数±1，±2分别去除常数项3的约数±1，±3得商±1，±2，±

，±

，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x=

时，原式值为0。

故可知有因式2x-1

解：

∵x=

时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式2x－1，　　　

设2x3－13x2+3＝（2x－1）（x2+ax－3），　（a是待定系数）

比较右边和左边x2的系数得　2a－1＝－13，　a=－6

∴2x3－13x+3＝（2x－1）（x2－6x－3）。

例3分解因式：

x3-4x2+6x-4．

分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：

±1，±2，±4，只有

　　f

（2）=23-4×22+6×2-4=0，

　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

解法1用分组分解法，使每组都有因式（x-2）．

　　原式=（x3-2x2）-（2x2-4x）+（2x-4）

　　　　=x2（x-2）-2x（x-2）+2（x-2）

　　　　=（x-2）（x2-2x+2）．

解法2用多项式除法，将原式除以（x-2），

　　所以原式=（x-2）（x2-2x+2）．

说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

例4分解因式：

9x4-3x3+7x2-3x-2．

分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±2，所以原式的有理根只可能是

，经检验，只有

和

是原式的根，所以原式有因式

和

．又因为：

所以，原式有因式9x2-3x-2．

解9x4-3x3+7x2-3x-2

　=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2

　=x2（9x3-3x-2）+9x2-3x-2

　=（9x2-3x-2）（x2+1）

　=（3x+1）（3x-2）（x2+1）．

说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．

总之，对一元高次多项式f（x），如果能找到一个一次因式（x-a），那么f（x）就可以分解为（x-a）g（x），而g（x）是比f（x）低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g（x）进行分解了．

三、待定系数法

例5因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20．

解：

∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）（x+3y）,　　用待定系数法，可设

2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a）（x+3y＋b），a,b是待定的系数，

比较右边和左边的x和y两项的系数，得

　解得

∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）（x+3y+5）

又解：

原式＝2x2+（3y+14）x－（9y2+3y－20）　这是关于x的二次三项式

　常数项可分解为－（3y－4）（3y+5）,用待定系数法，可设

2x2+（3y+14）x－（9y2+3y－20）＝［mx－（3y－4）］［nx+（3y+5）］

比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2,n=1

∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）（x+3y+5）

待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

　　例6分解因式：

x2+3xy+2y2+4x+5y+3．

　　分析由于

　　（x2+3xy+2y2）=（x+2y）（x+y），

　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

　　解设

　　x2+3xy+2y2+4x+5y+3

　　=（x+2y+m）（x+y+n）

　　=x2+3xy+2y2+（m+n）x+（m+2n）y+mn，

　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以

原式=（x+2y+3）（x+y+1）．

　　说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

　　例7分解因式：

x4-2x3-27x2-44x+7．

　　分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7（7的约数），经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为（x2+ax+b）（x2+cx+d）的形式．

　　解设

　　原式=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

　　　　=x4+（a+c）x3+（b+d+ac）x2+（ad+bc）x+bd，

　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以，原式=（x2-7x+1）（x2+5x+7）．

　　说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

三、巩固练习

1．分解因式：

①x4+x2y2+y4；②x4+4；③x4－23x2y2+y4．

2．分解因式：

①x3+4x2－9；　②x3－41x+30；

③x3+5x2－18；　④x3－39x－70．

3．分解因式：

①x3+3x2y+3xy2+2y3；　　　　　②x3－3x2+3x+7；　③x3－9ax2+27a2x－26a3；

　④x3+6x2+11x+6；⑤a3+b3+3（a2+b2）+3（a+b）+2．

4．分解因式：

①3x3－7x+10；　②x3－11x2+31x－21；

③x4－4x+3；④2x3－5x2+1．

5．分解因式：

①2x2－xy－3y2－6x+14y－8；②（x2－3x－3）（x2+3x+4）－8；

③（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）－48；　④（2x－7）（2x+5）（x2－9）－91．

6．分解因式：

①x2y2+1－x2－y2+4xy；　②x2－y2+2x－4y－3；

③x4+x2－2ax－a+1；④（x+y）4+x4+y4；

⑤（a+b+c）3－（a3+b3+c3）．

7．己知：

n是大于1的自然数．求证：

4n2+1是合数．

8．己知：

f（x）=x2+bx+c，g（x）=x4+6x2+25，p（x）=3x4+4x2+28x+5，且知f（x）是g（x）的因式，也是p（x）的因式．求：

当x=1时，f（x）的值．

练习参考答案

1．添项，配成完全平方式（仿例3）2．拆中项，仿例1

3．拆项，配成两数和的立方

①原式=（x+y）3+y3……③原式=（x-3a）3+a3⑤原式=（a+1）3+（b+1）3

4．用因式定理，待定系数法，仿例5，6

④x=

时，原式=0，有因式2x－1

5．看着是某代数式的二次三项式，仿例7

　④原式=（2x-7）（x+3）（2x-5）（x-3）-91=（2x2-x-8）（2x2-x-28）=……

6．分组配方

③原式=（x2+1）2-（x+a）2……④把原式用乘法展开，合并，再分解

⑤以a=－b代入原式＝0，故有因式a+b

7．可分解为两个非1的正整数的积

8．提示g（x）,p（x）的和，差，倍仍有f（x）的因式，

　3g（x）-p（x）=14（x2-2x-5）与f（x）比较系数……，f

（1）=4