专题复习几何与运动.docx

专题复习几何与运动.docx

《专题复习几何与运动.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题复习几何与运动.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题复习几何与运动

几何与运动

◆考点链接

几何与运动，是根据图形中某些几何元素的运动变化，揭示出“变与不变”、“运动与静止”、“一般”与“特殊”的内在联系，以及一定条件下相互转化的辩证关系，图形运动还常与函数相结合，以考查学生的综合解题能力和创新意识.

◆典例精析

【例题1】（青岛）如图，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O．设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（cm2）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，GF⊥AD；

（3）是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为3：

7？

若存在，求出此时x值；若不存在，说明理由．

（参考数据：

412=1681，492=2401，512=2601，592=3481）

解题思路：

（1）用含x的代数式表示△CGF的底GC及其高；

（2）要使GF⊥BC，只要使CF=

CG；（3）利用面积关系以及三角形相似线段成比例，列方程求x值．

解：

（1）由△DGM∽△AEM，得GD=

，CG=

+6，作FN⊥CD，有

FN=

．

（2）要使GF⊥AD，，即GF⊥BC，只要使CF=

CG，可得x=4．

（3）假设存在满足要求的x，则S四边形OFCD=

S菱形ABCD，

即

（OD+x）·3

=

×18

，

OD=

．

评析：

此题是点的运动问题，解本题的关键是结合题意，认真分析，化动为静，以相对静止的瞬间，清晰地发现量与量之间的关系，利用数形结合，从中找到解决问题的途径．

【例题2】（黄冈）如图①，已知AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，垂足为M，弦AE与CD交于F，则有结论AD2=AE·AF成立（不要求说明）．

（1）若将弦CD向下平移至与⊙O相切于B点时，如图②，则AE·AF是否等于AG2？

如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积？

并给出证明；

（2）当CD继续向下平移至与⊙O相离时，如图③，在

（1）中探求的结论是否成立，并说明理由．

解题思路：

（1）应有结论AE·AF=AG·AH，需证△FAH∽△GAE；

（2）成立，仍证△FAH∽△GAE．

解：

（1）AE·AF不等于AG2，应该有结论AE·AF=AG·AH，连BG、EG，有∠ABF=∠AGB=90°，可证∠BGE=∠BAF=∠AGE，有△FAH∽△GAE，得AE·AF=AG·AH．

（2）

（1）中探求的结论还成立，连EG、BG，仍证△FAH∽△GAE，得AE．AF=AG．AH．

评析：

此题是直线运动问题．解决这类问题要抓住命题设置的“路标”──原来图形的性质，及验证命题成立的思路方法，然后拾级而上模仿进行猜想与证明，便可获得问题的答案．

◆探究实践

【问题】（南京）如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=Os时，半圆O在△ABC左侧，OC=8cm．

（1）当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

（2）当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

解题思路：

（1）根据半圆地运动过程中的所在圆不同位置与三角形一边所在直线相切的情况，分类讨论求解；

（2）在

（1）的情形中，找出重叠部分，求出面积．

解：

（1）①如图甲，当点E与点C重合时，AC与半圆O所在的圆相切时，此时t=1s．

②如图乙，当点O运动到C时，AB与半圆O所在的圆相切，此时t=4s．

③如图丙，当点O运动到BC的中点时，AC与半圆O所在的圆相切，此时t=7s．

④如图丁，当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，直线AB与半圆O所在的圆相切，此时t=16s．

（2）①如图乙，重叠部分面积为：

S扇形EOM=

×62=9

（cm2）．

②如图丙，重叠部分面积为：

S△POB+S扇形DOP=

×6

×3+

×62=（9

+6

）cm2．

评析：

此题是图形的运动问题，解决这类问题要抓住一个图形或两个图形在运动过程中不同位置时的图形间的关系，分类讨论求解，要防止遗漏．

几何与运动

一．填空题

1．如图1，△ABC中，AC=2，BC=2

，将此三角形在平面内绕B点逆时针旋转90°，那么点A移动所走过的路线长是______cm．

（1）

（2）（3）（4）

2．如图2，直线AB交圆于A、B，点M在圆上，点P在圆外，且点M、P在AB的同侧，∠AMB=50°，设∠APB=x°，当点P移动时，x的变化范围是________．

二、选择题

1．如图3，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB

A．AE=CDB．AE>CDC．AE

2．如图4，矩形ABCD沿DF折叠后，点C落在AB上的E点，DE、DF三等分∠ADC，AB的长为6，则梯形ABFD的中位线长是（）．

A．不能确定B．2

C．

D．

+1

三、解答题

1．如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于H．

（1）求证：

①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE；

（2）当点G运动到什么位置时，BH垂直平分PE？

请说明理由．

2．操作：

在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角板的两角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的其中三种．

探究：

（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD与PE之间有何大小关系？

并以②图为例，加以证明．

（2）三角板绕P点旋转，△PBE是否能成为等腰三角形，若能，指出所有的情况（即求出△PBE为等腰三角形时的CE的长），若不能，请说明理由．

◆实战模拟

一、填空题

1．（河南）如图5，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿BC折叠，使点A落在点A′的位置，若OB=

，tan∠BOC=

，则点A′的坐标为________．

（5）（6）（7）

2．（山西）如图6，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方法移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为________．

3．如图7，将边长为1的正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转60°至正方形AB′C′D′，则旋转后两个正方形重叠部分面积为________．

二、选择题

1．如图8，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（）．

A．10

（cm）B．10

（cm）C．15

（cm）D．20

（cm）

（8）（9）

2．如图9，在矩形ABCD中，BC=4cm，AB=2cm，P是BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP=x（cm），正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为y（cm2），则y与x之间函数的大致图象为（）．

3．一动点P在底边长为8cm，腰长为5cm的等腰△ABC的底边BC上从B向C以0．25cm/s的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为（）．

A．7sB．9sC．25sD．7s或25s

三、解答题

1．如图①所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图②所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移．在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2，BC2分别交于点F，P．

（1）当△AC1D1平移到如图③所示的位置时，猜想图中D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；

（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围；

（3）对于

（2）中结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的

？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

2．如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C3点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形．点P、Q同时从原点出发，分别做匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动．当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．

（1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C3点的抛物线的解析式；

（2）试在

（1）中抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D坐标；

（3）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度以每秒2个单位，试写出Q坐标，并写出此时t的取值范围；

（4）设从出发起，运动了t秒，当P、Q两点运动的路线之和恰好等于梯形OABC周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？

如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．

答案:

中考演练

一、1．

2．0°

二、1．A2．B

三、1．

（1）略

（2）连BD，要使BE垂直平分DE，则必须满足条件BD=BE，则BE=BD=

，GC=CE=BE－BC=

－1，即当GC=

－1时，BH垂直平分DE．

2．

（1）连结PC，可证△PCD≌△PBE

（2）①CE=0，即E与C重合，②CE=1，即E是BC的中点，③CE=2－

，即BE=BP=2，④CE=2+

，E在CB延长线上，BE=BP=

，都能使△PBE为等腰三角形

实战模拟

一、1．（－

，

）2．

3．2－

二、1．D2．D3．D

三、1．

（1）D1E=D2F，∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2，

又∵∠ACB=90°，CD是斜边的中线，∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，

∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A．∴AD2=D2F．同理：

BD1=D1E．又∵AD1=BD2，

∴AD2=BD1，∴D1E=D2F．

（2）∵Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴由勾股定理得AB=10．

即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5．又∵D2D1=x，

∴D1E=BD1=D2F=AD2=5－x，∴C2F=C1E=x．

在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为

．

设△BED1的BD1边上的高为h，由探究，得

△BC2D2∽△BED1，∴

．

S△BED1=

×BD1×h=

（5－x）2．

又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠EPC2=90°．

又∵∠C2=∠B，sinB=

，cosB=

，

∴PC2=

x，PF=

x．

S△FC2P=

PC2×PF=

x2．

而y=S△BC2D2－S△BED1－S△FC2P

=

S△ABC－

（5－x）2－

x2．

∴y=－

x2+

x（0≤x≤5）

（3）存在．当y=

S△ABC时，即－

x2+

x=6．整理，得3x2－20x+25=0．

解得x1=

，x2=5．即当x=

或x=5时，重叠部分面积等于原△ABC面积的

．

2．

（1）y=

x，y=－

x

（2）D（10，6）

（3）当Q在OC上运动时，Q（

t，

t）（0≤t≤5）；

当Q在CB上时，Q（2t－2，6）（5

（4）梯形周长44，当Q点在OC上时，S△OPQ=

t（22－t）×

，S梯形OABC=84，

则

t（22－5）×

=84×

，整理得t2－22t+140=0，△<0，这样的t不存在．

当Q在BC上时，CQ=22－t－10=12－t，

S梯形OCQP=

×6（22－t－10+t）=36≠84×

，

∴这样的t值也不存在，综上，不存在这样的t值，使得P、Q两点同时平分梯形的周长和面积．