数量关系解题方法辅导.docx
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数量关系解题方法辅导
《行测》之数量关系解题方法辅导
一、数量关系数字推理典型例题解析……………………………………1
二、从数字特点寻找数字推理规律………………………………………4
三、数字推理之数字拆分…………………………………………………5
四、数学运算之数的拆分…………………………………………………7
五、数量关系之行程问题…………………………………………………10
六、数学运算：
排列组合…………………………………………………12
七、盈亏问题解题思路点拨………………………………………………16
八、带入排除法解题技巧…………………………………………………18
九、巧用集成思想破解数学运算…………………………………………20
数量关系数字推理典型例题解析
数字推理是数量关系中必考题型之一。
其不同于其他形式的推理，题目中全部是数字，没有文字可供应试者理解题意，真实地考查了应试者的抽象思维能力。
1.等差数列及其变式
例题：
1,4,7,10,13,（）
A.14B.15C.16D.17
答案为C。
我们很容易从中发现相邻两个数字之间的差是一个常数3，所以括号中的数字应为16。
等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。
例题：
3,4,6,9,（），18
A.11B.12C.13D.14
答案为C。
仔细观察，本题中的相邻两项之差构成一个等差数列1,2,3,4,5.……，因此很快可以推算出括号内的数字应为13,象这种相邻项之差虽不是一个常数，但有着明显的规律性，可以把它看作等差数列的变式。
2.“两项之和等于第三项”型
例题：
34,35,69,104,（）
A.138B.139C.173D.179
答案为C。
观察数字的前三项，发现第一项与第二项相加等于第三项，34+35=69，再把这假设在下一数字中检验，35+69=104，得到验证，因此类推，得出答案为173。
前几项或后几项的和等于后一项是数字排列的又一重要规律。
3.等比数列及其变式
例题：
3，9，27，81，（）
A.243B.342C.433D.135
答案为A。
这是最一种基本的排列方式，等比数列。
其特点为相邻两项数字之间的商是一个常数。
例题：
8，8，12，24，60，（）
A.90B.120C.180D.240
答案为C。
虽然此题中相邻项的商并不是一个常数，但它们是按照一定规律排列的：
1，1.5，2，2.5，3，因此答案应为60×3=180,象这种题可视作等比数列的变式。
4.平方型及其变式
例题：
1,4,9,（），25,36
A.10B.14C.20D.16
答案为D。
这道试题考生一眼就可以看出第一项是1的平方，第二项是2的平方，依此类推，得出第四项为4的平方16。
对于这种题，考生应熟练掌握一些数字的平方得数。
如：
10的平方=100
11的平方=121
12的平方=144
13的平方=169
14的平方=196
15的平方=225
例题：
66，83，102，123，（）
A.144B.145C.146D.147
答案为C。
这是一道平方型数列的变式，其规律是8，9，10，11的平方后再加2，因此空格内应为12的平方加2，得146。
这种在平方数列的基础上加减乘除一个常数或有规律的数列，可以被看作是平方型数列的变式，考生只要把握了平方规律，问题就可以化繁为简了。
5.立方型及其变式
例题：
1，8，27，（）
A.36B.64C.72D.81
答案为B。
解题方法如平方型。
我们重点说说其变式
例题：
0，6，24，60，120，（）
A.186B.210C.220D.226
答案为B。
这是一道较有难度的题目。
如果你能想到它是立方型的变式，就找到了问题的突破口。
这道题的规律是第一项为1的立方减1，第二项为2的立方减2，第三项为3的立方减3，依此类推，空格处应为6的立方减6，即210。
6.双重数列
例题：
257，178，259，173，261，168，263，（）
A.275B.178C.164D.163
答案为D。
通过观察，我们发现，奇数项数值均为大数，而偶数项都是小数。
可以判断，这是两列数列交替排列在一起而形成的一种排列方式。
在这类题目中，规律不能在邻项中寻找，而必须在隔项中寻找，我们可以看到，奇数项是一个等差数列，偶数项也是一个等差数列，因此不难发现空格处即偶数项的第四项，应为163。
也有一些题目中的两个数列是按不同的规律排列的，考生如果能判断出这是多组数列交替排列在一起的数列，就找到了解题的关键。
从数字特点寻找数字推理规律
数字推理规律千变万化是数字推理题在河南公务员考试中的分低的主要原因之一，也是广大考生复习中最为头疼的问题。
本站总结出以下规律帮助广大考生从题目数字本身具有的特点来寻找题目的推理规律。
一、数列中数字的整除性：
通过对题中的正整数进行整除乘积拆分。
例题1：
1，8，28，80，208，（）
A.480B.512C.625D.666
【答案】B。
解析：
整数乘积拆分数列。
1 8 28 80 208 （512）
↓↓↓↓↓↓
1×12×44×78×1016×13（32×16）
第一个乘数：
1、2、4、8、16、（32）是公比为2的等比数列;
第二个乘数：
1、4、7、10、13、（16）是公差为3的等差数列。
二、数列中数字的质合性：
仅仅考查数字质合性的题目较少，这种题目也比较简单。
▲例题2：
31，29，23，（），17，13，11
A.21B.20C.19D.18
【答案】C。
解析：
数列各项均为质数，23与17之间的质数是19。
三、数列中数字与多次方数字的关系
对多次方数字的考查的题目较多，其实对多次方数的直接考查并不难，如果对多次方数进行变化，就会大大增加题目的难度。
考生要想轻松应对这类题目，建议广大考生对5以内的数字的多次方要清楚。
例题3：
11，24，67，122，219，（）
A.340B.360C.420D.440
【答案】A。
解析：
通过观察我们发现数列数字均为多次方数字周围的数字，仔细分析发现此数列为立方数列的变式。
112467122219（340）
↓↓↓↓↓↓
23+333-343+353-363+3（73-3）
四、数列中数字的数位特征
▲例题4：
20002，40304，60708，（80016），10023032，12041064
A.8013012B.8013016C.808015D.8011016
【答案】B。
解析：
将每个数字看成3个部分的组合，末几位依次是2、4、8、（）、32、64;前几位依次是20、40、60、（）、100、120;剩下数字是00、30、70、（）、230、410。
不难确定末两位数应是16，头两位应是80，中间填入130后是一个三级等差数列变式。
数字推理之数字拆分
在常见的数字推理中，拆分思想主要有以下3种形式：
一、数字加乘思想
即数列的每一项都是由有规律的两个数字或几个数字通过相加或相乘等方式组合而成。
1、数字拆分乘积思想（因数分解思想）
【例1】1、6、20、56、144、（）
A.384B.352C.312D.256
【解析】答案为B。
本题的规律是，数列中的每一个数字可分别写为：
1×1，2×3，4×5，8×7，16×9，即一个公比为2的等比数列的每一项乘一个等差为2的等差数列的每一项而成。
2、数字拆分加和思想（数字拆和思想）
【例2】153、179、227、321、533、（）
A.789B.919C.1229D.1079
【解析】答案为D。
本题的规律是，数列中的每一个数字可分别写为：
150+3，170+9，200+27，240+81，290+243，（350+729），即一个二级等差数列的每一项加上一个公比为3的等比数列的每一项而成。
二、多级拆分思想
即把数列的每一项都拆分成有规律的两个数列或几个数列通过相互组合等方式而成。
1、两级拆分思想
【例3】1.01、1.02、2.03、3.05、5.08、（）
A.8.13B.8.013C.7.12D.7.012
【解析】答案为A。
本题的规律是，数列中的每一个数字可分别写为：
1+0.01，1+0.02，2+0.03，3+0.05，5+0.08，即每个数字的整数部分和小数部分分别是一个简单的递推和数列。
2、三拆分思想
【例4】2000.1.1、2002.3.5、2004.5.9、2006.7.13、（）
A.2008.8.8B.2008.18.16C.2008.9.20D.200.8.9.17
【解析】答案为D。
本题的规律是，数列中的每一个数字可分别拆分成三部分，而各部分有各自是一个等差数列，即2000、2002、20004、2006、（2008）是一个公差为2的等差数列;1、3、5、7、（9）是一个公差为2的等差数列;1、5、9、13、（17）是一个公差为4的等差数列。
三、数字裂分思想
即把数列的每一项都各自分裂成的两个数或几个数，而这些数相互组合在一起又成一定规律的数列。
1、裂分差思想
【例5】4635、3728、3225、2621、2219、（）
A.1565B.1433C.1916D.1413
【解析】答案为D。
本题的规律是，数列中的每一个数字裂分成两部分，即每个数字“两两分裂”成46和35、37和28、32和25、26和21、22和19，而这些两两分裂后的数之差11、9、7、5、3又组合成公差为2的等差数列，故答案为D，裂分成14和13，差为1，符合上述规律。
2、裂分和思想
【例6】1526、4769、2154、5397、（）
A.2317B.1545C.1469D.5213
【解析】答案为C。
本题的规律是，数列中的每一个数字裂分成首尾和中间两部分，每个数字“两两分裂”成1、6和5、2，4、9和7、6，2、4和1、5，5、7和3、9，而这些两两分裂后的数之和相等，即1+6=5+2、4+9=6+7、2+4=1+5、5+7=3+9，故答案为C，裂分成1、9和4、6，其和相等，符合上述规律。
总结，数量关系中“数字推理”这部分题型每道题都有其自身的规律，可以通过归纳不同的题型，缩小解题时的方法思维，掌握好解题的规律，并通过解题学会了解和掌握更多的方法、规律、技巧，加强数学逻辑思维和方法，探求数字推理中“数字拆分”题型的解题思想。
数学运算之数的拆分（难）
数学运算中数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。
一般来说此类问题整体难度不大，但常用的代入法等将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。
1.分解因式型：
就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。
运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。
【例】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因数，自然数n最大可能是多少？
A.499 B.500 C.498 D.501
【解析】20^n=5*2*2的N次方，显然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。
2.已知某几个数的和，求积的最大值型：
基本原理：
a2+b2≧2ab，（a，b都大于0，当且仅当a=b时取得等号）推论：
a+b=K（常数），且a，b都大于0，那么ab≦（（a+b）/2）2，当且仅当a=b时取得等号。
此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。
【例】3个自然数之和为14，它们的乘积的最大值为（）
A.42 B.84 C.100 D.120
【解析】若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为5×5×4=100。
也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。
3.排列组合型：
运用排列组合知识解决数的分解问题。
要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。
【例】学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
A.1152 B.384 C.28 D.12
【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。
1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。
解法二：
（用排列组合知识求解）
由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。
具体地：
1）当2个3在一起的时候，有8种分配方法（从后面有0个2一直到7个2）；2）当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。
故共有8+4=12种。
解法三：
若1152=27×32，那么1152的所有乘积为1152因数的个数为（7+1）×（2+1）=24个，每两个一组，故共有24÷2=12组。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？
其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个，如：
1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：
4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题
【例】把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？
【解析】这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：
2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：
80—12×2=56，最大的为：
80+12×2=104，故所求的这25个数为：
56、58、……、80、……、102、104。
把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式
【例】84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？
分别是多少？
【解析】我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
分拆为3个连续自然数的和：
（2×2×3×7）÷3=28，确定了“中间数”28，再依据例2的方法确定其它数，所以这三个数是27、28、29。
同理，分拆为7个连续自然数的和：
（2×2×3×7）÷7=12，它们是9、10、11、12、13、14、15。
分拆为8（2×2×2）个连续自然数的和：
（2×2×3×7）÷8=10.5，它们是7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14。
其它情况均不符合要求。
再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢？
就84而言，它有三种分拆方法，下面我们看84的约数有：
1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。
其中大于1的奇约数恰有三个。
于是可以得此结论：
若一个整数（0除外）有n个大于1的奇约数，那么这个整数就有n种分拆成2个或2个以上连续自然数的和的方法。
450=2*3*3*5*5，大于1的奇约数为3，5，9，15，25，45，75，225一共8个，则共有8种拆分方法。
数量关系之行程问题
数学运算中的行程问题一直是常考的一类题。
行程问题分为相遇问题，追及问题和流水问题。
每一类问题的题型都有相应的解法，只有熟练掌握这些解法，才能提高我们的解题速度，节约时间，在考试中考出优异的成绩。
行程问题的备考知识
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。
相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。
相遇（相离）问题的基本数量关系：
速度和×相遇时间＝相遇（相离）路程
在相遇（相离）问题和追及问题中，考生必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。
相遇问题的模型为：
甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：
A，B两地的路程＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间
相遇问题的核心是“速度和”问题。
例1.某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。
该劳模在下午1点就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点30分到达。
问汽车的速度是劳模步行速度的（）倍。
A.5B.6C.7D.8
【答案】A车往返需1小时，实际只用了30分钟，说明车刚好在半路接到劳模，故有车15分钟所走路程＝劳模75分钟所走路程。
设劳模步行速度为a，汽车速度是劳模的x倍，则可列方程，75a＝15ax，解得x＝5。
例2.甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时间出发，那么两车将提前30分相遇。
已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，那么，甲车提前了多少分出发（）分钟。
A.30B.40C.50D.60
【答案】C本题涉及相遇问题。
方法1：
设两车一起走完A、B两地所用时间为x，甲提前了y时，则有（60＋40）x＝60［y＋（x－30）］＋40（x－30），y＝50。
方法2：
甲提前走的路程＝甲乙共同走30分钟的路程，那么提前走的时间为，30（60＋40）/60＝50。
例3.甲、乙二人同时从相距60千米的两地同时相向而行，6小时相遇。
如果二人每小时各多行1千米，那么他们相遇的地点距前次相遇点1千米。
又知甲的速度比乙的速度快，乙原来的速度为（）
A.3km/hB.4km/hC.5km/hD.6km/h
【答案】B原来两人速度和为60÷6＝10km/h，现在两人相遇时间为60÷（10＋2）＝5小时，设原来乙的速度为X千米/时，因乙的速度较慢，则5（X＋1）＝6X＋1，解得X＝4。
注意：
在解决这种问题的时候一定要先判断谁的速度快。
方法2：
提速后5小时比原来的5小时多走了5千米，比原来的6小时多走了1千米，可知原来1小时刚好走了5－1＝4千米。
二次相遇问题的模型为：
甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
则有：
第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
例4.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。
请问A、B两地相距多少千米？
A.120B.100C.90D.80
【答案】A方法1：
设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了x，第二次相遇两车共走了2x，由于速度不变，所以，乙第一次相遇到第二次相遇走的路程分别为第一次相遇的二倍，即54×2＝x－54＋42，得出x＝120。
方法2：
乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍，则有54×2－42＋54＝120。
总之，利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。
数学运算：
排列组合
在行测数量关系中，数学运算所占的比重是很大的，而数学运算包括多种题型，其中就有时钟问题，河南公务员考试网为广大考生解析排列组合问题解题技巧等。
排列组合问题是公务员考试数学运算中常见的题型，基本知识点：
1、排列：
从N不同元素中，任取M个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个排列。
2、组合：
从N个不同元素中取出M个元素并成一组，叫做从N个不同元素中取出M个元素的一个组合（不考虑元素顺序）
3、分步计数原理（也称乘法原理）：
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法。
那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
4、分类计数原理：
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
排列组合部分是难点原因
（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；
（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
（4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
两个基本计数原理及应用
（1）加法原理和分类计数法
1.加法原理
2.加法原理的集合形式
3.分类的要求
每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）
（2）乘法原理和分步计数法
1.乘法原理
2.合理分步的要求
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同
[例题分析]
排列组合思维方法选讲
1.首先明确任务的意义
例.从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有________个。
分析：
首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴2b=a+c,可知b由a,c决定，
又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：
从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，因而本题为C（10,2）*2*2=180
2.注意加法原理与乘法原理
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