第二层级 高考5个大题 题题研诀窍 三角函数问题重在变变角变式.docx

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第二层级高考5个大题题题研诀窍三角函数问题重在变变角变式

[技法指导——迁移搭桥]

1.常用的变角技巧

（1）已知角与特殊角的变换；

（2）已知角与目标角的变换；

（3）角与其倍角的变换；

（4）两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用．如：

α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β，2α＝（α＋β）＋（α－β），2α＝（β＋α）－（β－α），α＋β＝2·，＝－.

2．常用的变式技巧

主要从函数名、次数、系数方面入手，常见有：

（1）讨论三角函数的性质时，常常将它化为一次的单角的三角函数来讨论；

（2）涉及sinx±cosx、sinx·cosx的问题，常做换元处理，如令t＝sinx±cosx∈[－，]，将原问题转化为关于t的函数来处理；

（3）在解决三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等.

[典例]　（2018·天津高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.

（1）求角B的大小；

（2）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A－B）的值．

[快审题]　

求什么

想什么

求角B的大小，想到角B的三角函数值．

求三角函数值，想到由已知三角函数值求值．

给什么

用什么

已知边角关系式，用正弦定理统一角．

已知边的大小，用余弦定理求边．

差什么

找什么

求sin（2A－B）的值，缺少2A的三角函数值，

应找A的三角函数值.

[稳解题]

（1）在△ABC中，

由正弦定理＝，

可得bsinA＝asinB.

又因为bsinA＝acos，

所以asinB＝acos，

即sinB＝cosB＋sinB，

所以tanB＝.

因为B∈（0，π），所以B＝.

（2）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.

由bsinA＝acos，可得sinA＝.

因为a＜c，所以cosA＝.

所以sin2A＝2sinAcosA＝，

cos2A＝2cos2A－1＝.

所以sin（2A－B）＝sin2AcosB－cos2AsinB

＝×－×＝.

[题后悟道]

1．利用正、余弦定理求解问题的策略

2．三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”

升幂（降幂）公式口诀：

“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”．

[针对训练]

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝a＋csinB.

（1）求角B的大小；

（2）若b＝5，a＝3，求△ABC的面积S.

解：

（1）由正弦定理可得，sinBcosC＝sinA＋sinCsinB，

即sinBcosC＝sin（B＋C）＋sinCsinB，

所以cosBsinC＋sinCsinB＝0.

因为sinC≠0，所以cosB＋sinB＝0，即tanB＝－1，

又B∈（0，π），所以B＝.

（2）法一：

由余弦定理，可得b2＝a2＋c2－2accosB，

即52＝（3）2＋c2－2×3ccos，

整理得c2＋6c－7＝0，解得c＝1或c＝－7（舍去）．

所以△ABC的面积S＝acsinB＝×3×1×sin＝.

法二：

由正弦定理＝，可得＝，

解得sinA＝.

因为B＝，所以A∈，

所以cosA＝＝＝.

由三角形的内角和定理可得C＝π－A－B，

所以sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，

所以△ABC的面积S＝absinC＝×3×5×＝.

[总结升华]

高考试题中的三角函数解答题相对比较传统，难度较低，大家在复习时，应“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算．　　　　

A组——“6＋3＋3”考点落实练

一、选择题

1．（2019届高三·益阳、湘潭调研）已知sinα＝，则cos（π＋2α）＝（　　）

A.　　　　　　　　　B．－

C.D．－

解析：

选D　∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－＝，

∴cos（π＋2α）＝－cos2α＝－，故选D.

2．（2018·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选C　∵S＝absinC＝＝＝abcosC，

∴sinC＝cosC，即tanC＝1.

∵C∈（0，π），∴C＝.故选C.

3．若0<α<<β<π，cosα＝，sin（α＋β）＝－，则cosβ＝（　　）

A．－　　　　　　　　　B.

C．－D．±

解析：

选C　cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα，

因为α＋β∈，所以cos（α＋β）<0，

则cos（α＋β）＝－，

因为α∈，所以sinα>0，

所以sinα＝，cosβ＝×＋×＝－.

4．若α，β∈，sinα＝，cos＝，则β－α＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　由sinα＝，及α∈，得

cosα＝，由cos＝sinβ＝，

及β∈，得cosβ＝，

所以sin（β－α）＝sinβcosα－cosβsinα＝×－×＝.

又因为β－α∈，所以β－α＝.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．等边三角形

解析：

选A　根据正弦定理得＝

即sinC

∵A＋B＋C＝π，∴sinC＝sin（A＋B）

整理得sinAcosB<0.

又三角形中sinA>0，∴cosB<0，

∴△ABC为钝角三角形．

6．（2018·南昌一模）已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）的200千米处，若cosα＝cosβ，则v＝（　　）

A．60B．80

C．100D．125

解析：

选C　如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，ABsinα＝ACsinβ，即sinα＝sinβ，又cosα＝cosβ，∴sin2α＋cos2α＝sin2β＋cos2β＝1＝sin2β＋cos2β，∴sinβ＝cosβ，∴sinβ＝，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝0，∴α＋β＝，∴BC2＝AB2＋AC2，∴（2.5v）2＝1502＋2002，解得v＝100，故选C.

二、填空题

7．（2018·全国卷Ⅱ）已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝________.

解析：

∵sinα＋cosβ＝1，①

cosα＋sinβ＝0，②

∴①2＋②2得1＋2（sinαcosβ＋cosαsinβ）＋1＝1，

∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－，

∴sin（α＋β）＝－.

答案：

－

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2bcsinA，则C等于________．

解析：

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2bcsinA，

即sinA－cosA＝，2sin＝≥2，

因此b＝c，A－＝⇒A＝，所以C＝＝.

答案：

9．（2018·长春质检）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sinA，角A的平分线AD交BC于点D，AD＝，a＝，则b＝________.

解析：

由面积公式S＝bcsinA＝b2sinA，可得c＝2b，即＝2.由a＝，并结合角平分线定理可得，BD＝，CD＝，

在△ABC中，由余弦定理得cosB＝，

在△ABD中，cosB＝，即＝，

化简得b2＝1，解得b＝1.

答案：

1

三、解答题

10．（2018·全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC＝2，求BC.

解：

（1）在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，

所以sin∠ADB＝.

由题设知，∠ADB<90°，

所以cos∠ADB＝＝.

（2）由题设及

（1）知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC

＝25＋8－2×5×2×＝25，

所以BC＝5.

11．（2018·昆明调研）在△ABC中，AC＝2，BC＝6，∠ACB＝150°.

（1）求AB的长；

（2）延长BC至D，使∠ADC＝45°，求△ACD的面积．

解：

（1）由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，

得AB2＝12＋36－2×2×6cos150°＝84，

所以AB＝2.

（2）因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，

所以∠CAD＝150°－45°＝105°，

由正弦定理＝，得CD＝，

又sin105°＝sin（60°＋45°）＝sin60°·cos45°＋cos60°·sin45°＝，

所以CD＝3＋，

又∠ACD＝180°－∠ACB＝30°，

所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×（3＋）×＝（＋1）．

12．已知函数f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x－.

（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sinB＋sinC＝，求bc的值．

解：

（1）f（x）＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin，

因此f（x）的最小正周期为T＝＝π.

由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），

所以f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．

（2）由f＝2sin＝2sinA＝，且A为锐角，所以A＝.

由正弦定理可得2R＝＝＝，

sinB＋sinC＝＝，

则b＋c＝×＝13，

所以cosA＝＝＝，

所以bc＝40.

B组——大题专攻补短练

1．（2018·天津五区县联考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且8sin2－2cos2C＝7.

（1）求tanC的值；

（2）若c＝，sinB＝2sinA，求a，b的值．

解：

（1）在△ABC中，因为A＋B＋C＝π，

所以＝－，则sin＝cos.

由8sin2－2cos2C＝7，得8cos2－2cos2C＝7，

所以4（1＋cosC）－2（2cos2C－1）＝7，

即（2cosC－1）2＝0，所以cosC＝.

因为0＜C＜π，所以C＝，

于是tanC＝tan＝.

（2）由sinB＝2sinA，得b＝2a.①

又c＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos，

即a2＋b2－ab＝3.②

联立①②，解得a＝1，b＝2.

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足a2＋c2－b2＋2bccosA－4c＝0，且ccosA＝b（1－cosC）．

（1）求c的值及判断△ABC的形状；

（2）若C＝，求△ABC的面积．

解：

（1）由a2＋c2－b2＋2bccosA－4c＝0及正弦定理得

a2＋c2－b2＋2bc·－4c＝0，

整理，得c＝2.

由ccosA＝b（1－cosC）及正弦定理，得

sinCcosA＝sinB（1－cosC），

即sinB＝sinCcosA＋sinBcosC＝

sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，

所以sinBcosC＝sinAcosC，

故cosC＝0或sinA＝sinB.

当cosC＝0时，C＝，故△ABC为直角三角形；

当sinA＝sinB时，A＝B，故△ABC为等腰三角形．

（2）由

（1）知c＝2，A＝B，则a＝b，

因为C＝，所以由余弦定理，得

4＝a2＋a2－2a2cos，解得a2＝8＋4，

所以△ABC的面积S＝a2sin＝2＋.

3．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S＝accosB.

（1）若c＝2a，求角A，B，C的大小；

（2）若a＝2，且≤A≤，求边c的取值范围．

解：

由已知及三角形面积公式得

S＝acsinB＝accosB，

化简得sinB＝cosB，

即tanB＝，又0

（1）法一：

由c＝2a及正弦定理得，sinC＝2sinA，

又∵A＋C＝，

∴sin＝2sinA，

化简可得tanA＝，而0

∴A＝，C＝.

法二：

由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－2a2＝3a2，

∴b＝a，

∴a∶b∶c＝1∶∶2，

∴A＝，C＝.

（2）由正弦定理得，＝＝，

即c＝＝，

由C＝－A，得

c＝＝

＝＝＋1.

又由≤A≤，知1≤tanA≤，

∴2≤c≤＋1，故边c的取值范围为[2，＋1]．

4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋cosA＝0，a＝2，b＝2.

（1）求c的值；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

解：

（1）因为sinA＋cosA＝0，

所以sinA＝－cosA，

所以tanA＝－.

因为A∈（0，π），所以A＝.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，

代入a＝2，b＝2得c2＋2c－24＝0，

解得c＝4或c＝－6（舍去），

所以c＝4.

（2）由

（1）知c＝4.

因为c2＝a2＋b2－2abcosC，