初中平面几何一题多变双垂线图形.docx

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初中平面几何一题多变双垂线图形

平面几何一题多变（双垂线图形）

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。

如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：

1、变换命题的条件与结论；

2、保留条件，深化结论；

3、减弱条件，加强结论；

4、探讨命题的推广；

5、考查命题的特例；

6、生根伸枝，图形变换；

7、接力赛，一变再变；

8、解法的多变等。

19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，

求证：

CE：

EB=CD：

CB

20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F

求证：

（1）BF·CE=BE·DF

（2）AE⊥CF

    （3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC

21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，

求证：

CE：

BC=CF：

AC（注意本题和16题有无联系）

22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，

求证：

EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线

23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，

求证：

点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）

24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，

求证：

DF：

CF=BC：

AC

25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，  内公切线DO交外公切线EF于点O，

求证：

OD是两圆半径的比例中项。

题14解答：

因为CD^2=AD·DB

  AC^2=AD·AB

  BC^2=BD·AB

所以1/AC^2+1/BC^2

=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）

=（AD+DB）/（AD·BD·AB）

=AB/AD·BD·AB

=1/AD·BD

=1/CD^2

15题解答：

因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-（MB-DM）=2DM

AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB

            =（AD-DB）AB

            =2DM*AB

26、（在19题基础上增加一条平行线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于点G，

求证：

CE=BG

27、（在19题基础上增加一条平行线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，

求证：

四边形CEGF是菱形

28、（对19题增加一个结论）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，

求证：

CE=CF

29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，

求证：

过点D的圆O1的切线平分BC

30、（在19题中增加一个圆）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，

求证：

⊙CED平分线段AF

31、（在题1中增加一个条件）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，

求证：

BD=AB/4

（沪科版八年级数学第117页第3题）

32、（在18题基础上增加一条直线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCD

P为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N

求证：

PQ/PN=QM/MN

32题证明：

作NS‖CD交直线AC与点S，

则PQ/PN=CQ/SN

又∠BCE=∠BCD

∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）

∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACD

NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD

∴∠NSC=∠NCS

∴SN=CN

∴PQ/PN=QM/MN

题33

在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，

求证：

DE·AB=AE·BE

题33证明

CB^2=BD·AB

因EB=CB

∴EB^2=BD·AB

∴EB：

BD=AB：

BE

又∠EBD=∠ABE

∴△EBD∽△ABE

∴EB：

AB=DE：

AE

∴DE·AB=AE·BE

题34

（在19题基础上增加一条垂线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，

求证：

EG^2=BE·EC

证明：

延长AC、GE，设交点为H，

∴△EBG∽△EHC

∴EB：

EH=EG：

EC

∴EH·EG=BE·EC

又HG‖CD，CF=FD

∴EH=EG

∴EG^2=BE·EC

题35（在题19中增加点F）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，

求证：

2CF·FD=AF·EF

题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）

已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，

求证：

CE/BC=CF/AC

题37

（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）

已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD

求证：

AE^2=AD·AB

题38

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线

求证：

PA/AD=PB/BD

题39

（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，

求证：

△ADF∽△AEB

题40：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：

S⊙ADC：

S⊙BDC=AD：

DB

题41

已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

    求∠ACB的度数。

题42

  已知，CD是△ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

    则∠ACB一定是90度吗？

为什么？

题43：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1，

△BDC的内切圆⊙O2，

求证：

S⊙O1：

S⊙O2=AD：

DB

题44：

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的内切圆⊙O1的半径R1，△BDC的内切圆⊙O2的半径R2，△ABC的内切圆⊙O的半径R，求证：

R1+R2+R=CD

题45、

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC内交于P

求证：

△PAD的面积和△PBC的面积相等

题45解：

∠CAP=∠CDP=∠DBP（圆周角、弦切角）

∴Rt△APC∽Rt△BPD

∴AP·PD=BP·PC

又∠APD和∠CPB互补（∠APC+∠BPD=180度）

S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD

S△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB

∴S△PAD=S△PBD

题46（在题38的基础上变一下）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB交⊙ABC与E，交AB与D，    若PA=5，PC=10，

求  CD·CE的值

题47

在题46中，求sin∠PCA

题48（由题19而变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，

求证：

（1）AC=AG

（2）、AG^2=AD·AB

（3）、G在∠DCB的平分线上

（4）、FG‖BC

（5）、四边形CEFG是菱形

题49

题49解答：

题目50（题33再变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，

求证：

AF=2FE

题50解：

过点E作EM⊥CF，M为垂足，则AD：

DB=AC^2：

CB^2=4：

1

又DB：

EM=1：

2

所以，AD：

EM=2：

1

△ADF∽△EMF

∴AF：

EF=AD：

EM=2：

1

∴AF=2EF

题目51（题50中连一线）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，

求证：

∠ABC=∠EBF

（题51的几种解法）

解法1、

作∠ACB的平分线交AB于点G，易证△ACG≌△CEF

∴CG=EF

∴证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

题51解法2

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，

则点G为△ACE的垂心，∴GF‖CE

又∠AEC=∠GCE，

∴四边形CGFE为等腰梯形

∴CG=EF

∴再证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF

题51解法3

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，

则点G为△ACE的垂心，

易证△APG≌△CPF（AAS）

∴PG=PF

又∠GPB=∠FPB，

PB=PB

∴△PBG≌△FBP（SAS）

∴∠PBG=∠FBP

∴∠ABC=∠EBF

题51解法4（原题图）

由题50得，AF=2EF

∴AF：

EF=AC：

BE=2

又∠CAF=∠BEF=45度

∴△ACF∽△EBF

∴∠ACF=∠EBF

又∠ACF=∠CBA

∴∠ABC=∠EBF

题51解法5

作ME⊥CE交CD的延长线于M，

证△ABC≌△CME（ASA）

∴∠ABC=∠M

再证△MEF≌△BEF（SAS）

∴∠EBM=∠M

∴∠ABC=∠EBF

题51解法6

作点B关于点C的对称点N，连结AN，

则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，

∴BF‖AN

∴∠EBM=∠N

又∠ABC=∠N（对称点）

∴∠ABC=∠EBF

题51解法7

过点C作CH‖BF交AB于M，

∵B为CE的中点，

∴F为HE的中点

又由题50，AF=2EF，

∴H为AF的中点

又CH‖BF

∴M为AB的中点

∴∠MCB=∠MBC

又∠EBM=∠MCB

∴∠ABC=∠EBF

题目52（题50、51结论的引伸）

已知，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，

CD⊥AB交斜边AB于F，D为垂足，

B为CE的中点，连结FB，

求证：

（1）、AF=2EF

（2）、∠ABC=∠EBF

（3）、∠EBF=∠E+∠BAE

（4）、∠ABF=2∠DAC

（5）、AB：

BF=AE：

EF

（6）、CD：

DF=AE：

AF

（7）、AD：

DB=2AF：

EF

（8）、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1

题目53（题52的一部分）  

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

⑥、∠ABC=∠EBF

（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）

题目54（题53的逆命题1）

已知如图，

⑤、AF=2EF

②、AC⊥CE

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

①、AC=CE

⑥、∠ABC=∠EBF

平面几何一题多变

题目55（题53的逆命题2）

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

④、CF⊥AB

求证：

②、AC⊥CE

⑥、∠ABC=∠EBF

题目56（题53的逆命题3）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

求证：

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

题目57（题53的逆命题4）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

求证：

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

题目58（题53的逆命题5）

已知如图，

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CE

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

①、AC=CE

题目59（题53的逆命题6）

已知如图，

①、AC=CE

④、CF⊥AB

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

⑤、AF=2EF

②、AC⊥CE

题目60（题53的逆命题7）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑥、∠ABC=∠EBF

④、CF⊥AB

求证：

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

题目61（题53的逆命题8）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

题目62（题53的逆命题9）

已知如图，

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

①、AC=CE

②、AC⊥CE

题目63（题53的逆命题10）

已知如图，

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

①、AC=CE

③、CB=BE

题目64（题53的逆命题11）

已知如图，

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

求证：

①、AC=CE

④、CF⊥AB

题目65（题53的逆命题12）

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

④、CF⊥AB

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

②、AC⊥CE

③、CB=BE

题目66（题53的逆命题13）

已知如图，

①、AC=CE

⑤、AF=2EF

③、CB=BE

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

②、AC⊥CE

④、CF⊥AB

题目67（题53的逆命题14）

已知如图，

①、AC=CE

②、AC⊥CE

⑤、AF=2EF

⑥、∠ABC=∠EBF

求证：

③、CB=BE

④、CF⊥AB

题目68

已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，

求S△BCD=？

（题68解答）

解：

设S△BCD=x,则S△ACM/S△CMB=30/（6+x）=AM/MB

S△ACD/S△CDB=36/x=AD/DB

又AC^2=AD·AB

BC^2=BD·AB

∴AC^2/BC^2=AD/BD

∵CM平分∠ACB

∴（AM/BM）^2=AD/BD

∴[30/（6+x）]^2=36/x

解方程得x=4或x=9

∴S△BCD=4或S△BCD=9

题目69

已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，D为斜边AB上一点，满足AC^2=AD·AB

求证：

CD⊥AB

题目70

已知如图，△ABC中，AC>BC,∠ACB=90度，

CM平分∠ACB，且CM+CB=AC，

求证：

1/AC-1/BC=√2

题70证明：

过点M作MD⊥BC，D为垂足，作MD⊥AC，E为垂足，

设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=√2x，AE=b-x,

由AE/AC=ME/BC，得（b-x）/b=x/a,

∴x=ab/（a+b）

又CM+CB=AC

∴√2x+a=b,

∴ab/（a+b）=（b-a）/√2

整理得：

b^2-a^2=√2ab

两边都除以ab,

∴1/AC-1/BC=√2

题目71（依题68变）

已知如图，△ABC中（AC>BC），∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的两个根，

求AD、MD的长。

题目71解：

显然，方程x^2-14x+48=0的两根为6和8，

又AC>BC

∴AC=8，BC=6

由勾股定理AB=10

△ACD∽△ABC，得AC^2=AD·AB

∴AD=6.4

∵CM平分∠ACB

∴AM/MB=AC/CB

解得，AM=40/7

∴MD=AD-AM=24/35

题目72

已知如图，△ABC中，∠ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A正好落在BC上，而且△A'MN是正三角形，

求△A'MN与△ABC的面积之比。

题72解：

∵∠ACB=90度，AB=2AC

∴∠B=30度

由题意，四边形AMA'N是菱形，

∴△A'BM∽△ABC

∴A'M/AC=BM/AB

设AM=x,AB=2AC=2a

∴x/a=（2a-x）/2a

∴x=2a/3

由三角形面积公式，得

S△A'MN：

S△ABC=2：

9

题目73

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：

AB+CD>AC+BC

题73的证明：

由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC

2AB·CD=2AC·BC

又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2

∴AB^2+2AB·CD=AC^2+BC^2+2AC·BC（等式性质）

∴AB^2+2AB·CD=（AC+BC）^2

∴AB^2+2AB·CD+CD^2>（AC+BC）^2

∴（AB+CD）^2>（AC+BC）^2

又AB、CD、AC、BC均大于零

∴AB+CD>AC+BC

题目74

已知，△ABC中，∠ACB>90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：

AB+CD>AC+BC

题74证明：

如图，作CB’⊥AC交AB于B’,

于是有

AB’·CD=AC·B’C

2AB’·CD=2AC·B’C

又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2

∴AB’^2+2AB’·CD=AC^2+B’C^2+2AC·B’C（等式性质）

∴AB’^2+2AB’·CD=（AC+B’C）^2

∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2>（AC+B’C）^2

∴（AB’+CD）^2>（AC+B’C）^2

又AB’、CD、AC、B’C均大于零

∴AB’+CD>AC+B’C……①

在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②

①+②得AB’BB’+CD>AC+B’CCB-CB’

∴AB+CD>AC+BC

题目75

已知如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，

CT平分∠ACB，CM为AB边上的中线，

且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB

求证：

∠ACB=90度

题目75的证明：

延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，

则N为弧AB的中点，所以MN⊥AB，

又CD⊥AB，

∴MN‖CD

∴∠DCT=∠TNM

又∠DCT=∠TCM

∴∠TCM=∠TNM

∴CM=NM

∴CN的垂直平分线必过点M，

又CM为AB边上的中线，MN⊥AB

∴AB的垂直平分线必过点M，

即M为两条弦的垂直平分线的交点，

∴M为三角形ABC的外接圆的圆心，

因此AB为△ABC的外接圆的直径。

∴∠ACB=90度

题目76

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，

∠ACB的平分线CG交AB边上的中垂线于点G，

求证：

MC=MG

题目77

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是∠ACB的平分线，AC=75cm,BD=80cm,

求CD、CM、CE的长

题目78

  已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，

且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，

求证：

AM=CM

题目79（题78再变）

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE

求证：

BG^2=AB·BE-AG·GE

题目80

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，

求证：

CD^2=DM·DP

题目81

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE，

求证：

2DM·DP=BE·EP

题目82

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，

且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H，

求证：

AB=BH

题目83（由题44变）

求证：

直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。

题目84

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点

求证：

BC平分∠DCN

题目85

已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点，

AF⊥MN，F为垂足，AE⊥MN，E为垂足，

求证：

CD=CE=CF

题目86

已知，△ABC中，∠ACB=90度，以BC为直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交AB于点E，

求证：

∠BCE=∠DCE

题目87（由题38图而变）

求证：

和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。

（提示：

从

（1）完备性、

（2）纯粹性两方面来证明。

）

题目88

作图题：

已知两线段之和及积，求作这两条线段。

已知：

两线段m和n

求作：

两线段x及y,使x+y=m，xy=n^2

补个图（题88作法参考）

AD、BD即为求作线段x、y

题目89（由题88变）

已知梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。

题目90

利用下图，证明：

两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。

题目89作法：

如图，作两腰的延长线交于点O，作PB⊥AB使PB=OA，连结OP，

以OP为直径作半圆M，由圆心M作MN⊥OP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E，作EF‖BC交CD于F，则EF即为所求线段。

题91（题73变）

设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，

求证：

a+d>b+c

题92（人教版数学八年级下114页）

  在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，

∠ECB是多少度？

题93（题49变）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且∠A、∠B都是锐角，

求∠A/2+∠B的值。

题目93解：

（构造法）

分别以17、13为边作△ABC，使