导数应用八个专题汇总.docx
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导数应用八个专题汇总
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导数应用八个专题汇总
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1.导数应用之函数单调性
题组1：
1.求函数的单调区间.
2.求函数的单调区间.
3.求函数的单调区间.
4.求函数的单调区间.
5.求函数的单调区间.
题组2：
1.讨论函数的单调区间.
2.讨论函数的单调区间.
3.求函数的单调递增区间.
4.讨论函数的单调性.
5.讨论函数的单调性.
题组3：
1.设函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）设函数在区间内是减函数,求的取值范围．
2.
（1）已知函数在区间上单调递增,求实数的取值范围.
（2）已知函数在区间上单调递减,求实数的取值范围.
3.已知函数.
（1）若,求的单调区间；
（2）若在单调递增,在单调递减,证明:
.
4.设函数,,
（1）若,求函数的单调区间；
（2）若与在区间内均为增函数,求的取值范围．
2.导数应用之极值与最值
1.设函数,且和均为的极值点．
（1）求,的值,并讨论的单调性；
（2）设,试比较与的大小．
2.设函数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值.
3.设HYPERLINK""函数．
（1）若是函数的极值点,求的值；
（2）若函数,,在处取得最大值,求的取值范围．
4.已知函数.
（1）设是正项数列的前项和,,且点在函数的图象上,求证:
点也在的图象上；
（2）求函数在区间内的极值.
5.设HYPERLINK""函数在,处取得极值,且．
（1）若,求的值,及函数的单调区间；
（2）若,求实数的取值范围．
6.设函数在处取得极大值,在处取得极小值,且.证明:
并求的取值范围.
7.已知是函数的一个极值点,
（1）求函数的解析式；
（2）若的图像与直线有三个不同的交点,求实数的取值范围.
8.已知是函数的一个极值点.
（1）求的解析式及其单调区间；
（2）若直线与曲线有三个交点,求的取值范围.
9.设函数．
（1）若函数仅在处有极值,求的取值范围；
（2）若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围．
10.设是函数的一个极值点.
（1）求与的关系式（用表示）,并求函数的单调区间；
（2）设,.若存在,使总成立,求的取值范围.
11.已知函数（且）恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是．
（1）求函数的另一个极值点；
（2）求函数的极大值和极小值,并求时的取值范围．
12.设函数的图像上有两个极值点,其中为坐标原点,
（1）当点的坐标为时,求的解析式；
（2）当点在线段上时,求曲线的切线斜率的最大值.
3.导数应用之函数的零点
题组1：
1.函数在区间内有没有零点？
为什么？
2.函数的零点所在的一个区间是【】.
A.B.C.D.
3.函数的零点与的零点之差的绝对值不超过,则可以是【】.
A.B.
C.D.
4.若,且函数的零点,则【】.
A.B.C.D.
题组2：
5.设函数的图像在上连续,若满足____________,则方程在上有实根.
6.已知是函数的一个零点.若,,则【】.
A.,B.,
C.,D.,
7.函数的零点个数为____________.
8.求证:
函数在区间内没有零点.
题组3：
9.函数在区间内是否有零点？
为什么？
10.求证:
函数在区间内至少有两个零点.
11.求证:
函数有且只有两个零点.
12.求证:
函数有且只有两个零点.
13.设函数,若,,则在区间上的零点个数为【】.
A.至多有一个B.有且只有一个 C.有一个或两个D.一个也没有
14.设,求证:
函数有且只有两个零点.
15.判断函数在区间内的零点个数,并说明理由.
题组4：
16.设函数.
（1）证明:
在区间内存在唯一的零点；
（2）设是在内的零点,判断数列的增减性．
17.设函数．
（2）若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值；
（3）若方程有两个不等实根,求证:
．
18.设函数有两个零点,求证:
.
19.设函数有两个零点,,求证:
.
20.记函数,求证:
当为偶数时,方程没有实数根；
当为奇数时,方程有唯一实数根,且.
21.设函数,
（1）证明:
对每个,存在唯一的,满足；
（2）证明:
对任意,由
（1）中构成的数列满足.
4.导数应用之图像的切线
题组1：
1.求平行于直线,且与曲线相切的直线方程.
2.求垂直于直线,且与曲线相切的直线方程.
3.求与直线夹角为,且与抛物线相切的直线方程.
4.设函数图像上动点处切线的倾斜角为,求的取值范围.
题组2：
5.求函数的图像在点处的切线方程,以及曲线与切线的所有交点坐标.
6.求函数的图像经过点的切线方程.
7.求函数的图像经过点的切线方程.
8.求经过坐标原点,且与函数的图像相切的直线方程.
9.设函数,HYPERLINK""曲线:
在点处的切线为．
（1）求函数的解析式；
（2）求证:
曲线上任意一点处的切线与直线,以及轴所围成三角形的面积为定值.
10.已知直线是函数的图像的一条切线.
（1）求的解析式；
（2）若是曲线上的动点,求曲线在点处的切线纵截距的最小值.
题组3：
11.已知直线是函数图像的一条切线,求实数的值.
12.已知,且过点可作函数图像的三条切线,证明:
.
13.设函数的图像在点处的切线为.
（1）确定的值；
（2）设曲线在处的切线都过,证明:
若,则；
（3）若过点可作曲线的三条不同切线,求的取值范围.
14.已知函数在区间,内各有一个极值点．
（1）求的最大值；
（2）当时,设曲线:
在点处的切线穿过曲线（穿过是指:
动点在点附近沿曲线运动,当经过点时,从的一侧进入另一侧）,求的表达式．
15.由坐标原点向曲线引切线,切于不同于点的点,再由引切线切于不同于的点,如此继续下去……,得到点,求与的关系,及的表达式.
巩固练习：
1.求函数的图像经过点的切线方程.
2.求函数的图像经过点的切线方程.
3.如图,从点作轴的垂线交于曲线于点,
曲线在点处的切线与轴交与点；再从作轴的垂线交曲线于点,依次重复上述过程得到一系
列的点:
,,,…,,,记点的坐标为.
（1）求与之间的等量关系；
（2）求.
5.导数应用之存在与任意
1.已知函数,其中．
（1）若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式；
（2）若对于任意的,不等式在恒成立,求的取值范围．
2.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立,求的取值范围；
3.设函数.
（1）求的单调区间；
（2）若对恒成立,求的取值范围.
4.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若对都成立,求的最大值.
5.设函数.
（1）若,求的单调区间；
（2）若当时,,求的取值范围.
6.设函数.
（1）若,求的最小值；
（2）若当时,恒成立,求的取值范围.
7.设函数的图象与轴交于点,曲线在点处的切线斜率为.
（1）求的极值；
（2）证明:
当时,；
（3）证明:
对任意给定的正数,总存在,使得当,恒有.
8.设函数,
（1）讨论函数在区间内的单调性；
（2）若对恒成立,求实数的取值范围.
9.设函数.
（1）求证:
；
（2）若对恒成立,求的最大值与的最小值.
10.已知函数,
（1）讨论函数的单调性；
（2）设,且对任意的,都有,求的取值范围.
11.已知是函数的一个极值点.
（1）求与的关系式（用表示）,并求函数的单调区间；
（2）设,.若存在,使得成立,求的取值范围.
12.已知函数的图像过点,且在上递减,在上递增.
（1）求的解析式；
（2）若对任意的都有成立,求正实数的取值范围.
13.设函数.
（1）当时,求函数的递增区间；
（2）是否存在负实数,使得对任意的,都有？
若存在,求的范围；若不存在,请说明理由.
6.导数应用之极值点偏移
1.
（1）设不同的两点均在二次函数（）的图像上,记直线的斜率为,求证:
；
（2）设不同的两点均在“伪二次函数”（）的图像上,记直线的斜率为,试问:
还成立吗？
2.设函数．
（1）当时,求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图像为曲线,设,是曲线上不同的两点,为线段的中点,过点作轴的垂线交曲线于点．试问:
曲线在点处的切线是否平行于直线？
3.设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数的值；
（3）若方程有两个不等实根,求证:
．
4.设函数.
（1）若曲线在点处的切线方程为,求实数的值；
（2）若,求证:
当时,有；
（3）若函数有两个零点,且是的等差中项,求证:
.
5.设函数有两个零点,,求证:
.
6.设函数的两个零点为,,求证:
.
7.设函数,其中,
（1）求证:
函数有且仅有两个零点,,且；
（2）对于
（1）中的,,求证:
.
8.设函数的图像在点处的切线方程为,求证:
对满足的实数,都有成立.
7.导数应用之不等式证明
（1）
1.证明:
对任意的,都有.
2.已知,且,求证:
.
3.设函数
（1）当时,求函数的极值；
（2）当时,证明:
对任意的,当时,都有
4.已知函数在点处的切线垂直于轴,
（1）求函数的单调区间；
（2）当时,求证:
.
5.设函数,且,.
（1）求,,,的解析式；
（2）求证:
对任意的实数,以及任意的正整数,都有.
6.设函数在处取得极值,数列满足,.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证:
对任意的,都有；
（3）求证:
对任意的,都有.
7.记函数,求证:
当为偶数时,方程没有实数根；当
为奇数时,方程有唯一实数根,且.
8.设函数,
（1）证明:
对每个,存在唯一的,满足；
（2）证明:
对任意,由
（1）中构成的数列满足.
8.导数应用之不等式证明
（2）
1.设函数.
（1）若函数在上为增函数,求正实数的取值范围；
（2）当时,求证:
对大于的任意正整数,都有.
2.设函数的最小值为,其中.
（1）若对任意的,有成立,求实数的最小值；
（2）证明:
对大于的任意正整数,都有.
3.设函数,,
（1）讨论关于的方程在区间内的实数根的个数；
（2）求证:
对任意的正整数,都有.
4.设函数,
（1）若函数在区间上递增,求实数的取值范围；
（2）证明:
当时,；
（3）证明:
对大于的任意正整数,都有.
5.设函数,其中,.在数列中,,且.
（1）求数列的通项.
（2）求证:
对任意的正整数,都有.
6.设函数,
（1）若对均成立,求正实数的取值集合；
（2）求证:
对任意的正整数,都有.
7.设函数,
（1）求证:
函数有且只有一个零点；
（2）求证:
对任意的正整数,都有.
8.
（1）设函数,其中.求函数的最小值；
（2）用
（1）的结果证明命题:
设,,为正实数,若,则；
（3）请将
（2）中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
9.
（1）求函数的最大值；
（2）设均为正实数,证明:
若,则；
（3）设均为正实数,证明:
若,则.
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