2．（2019·连云港模拟）与610°角终边相同的角表示为______________．
解析 与610°角终边相同的角为n·360°＋610°＝n·360°＋360°＋250°＝（n＋1）·360°＋250°＝k·360°＋250°（k∈Z，n∈Z）．答案 k·360°＋250°（k∈Z）
3．（2019·浙江潮州月考）已知sin2θ<1，则θ所在象限为第________象限．
解析 ∵sin2θ<1＝0，∴sin2θ>0，∴2kπ<2θ<π＋2kπ（k∈Z），∴kπ<θ<＋kπ（k∈Z）．∴θ表示第一或第三象限的角．答案 一或三
4．（2019·南通模拟）已知角θ的终边经过点P（－4cosα，3cosα）（<α<），则sinθ＋cosθ＝________.
解析 ∵r＝＝5|cosα|＝－5cosα，∴sinθ＝＝－，cosθ＝＝.∴sinθ＋cosθ＝－＝.答案
5．（2019·福州调研）已知θ∈且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈（0,1），则关于tanθ的值，以下四个答案中，可能正确的是________（填序号）．①－3 ②3或 ③－ ④－3或－
解析 在单位圆中，由三角函数线可知a<1，∴θ不在第一象限，θ∈，又∵a>0，∴sinθ＋cosθ>0，∴θ∈，∴tanθ∈（－1,0）．答案 ③
6．（2019·江西九江模拟）若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα<0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
解析 依题意知解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3，又sinα<0，∴α的终边在第三象限，∴n<0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.答案 2
7．（2019·山东济南月考）已知角α的终边落在直线y＝－3x（x<0）上，则－＝________.
解析 ∵角α的终边落在直线y＝－3x（x<0）上，在角α的终边上取一点P（x0，－3x0）（x0<0），∴－3x0>0，∴P在第二象限，∴－＝－＝1＋1＝2.答案 2
8．（2019·南京模拟）某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合．将A、B两点间的距离d（cm）表示成t（s）的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析 将解析式可写为d＝Asin（ωt＋φ）的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得
φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，故d＝10sin.答案 10sin
9．（2019·泰州模拟）若0”，“<”或“＝”填空）．
解析 利用数形结合，作出
在
的图象，同时作出
内的正弦线，由图象易得答案．
答案 >
二、解答题（本大题共3小题，共46分）
10．（14分）（2019·镇江模拟）已知角θ的终边上一点P（－，m），且sinθ＝m，求cosθ与tanθ的值．
解 ∵r＝，∴＝m，若m＝0，则cosθ＝－1，tanθ＝0.
若m≠0，则m＝±.当m＝时，cosθ＝＝，tanθ＝－，当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝，
综上可知，当m＝0时，cosθ＝－1，tanθ＝0；
当m＝时，cosθ＝－，tanθ＝－；
当m＝－时，cosθ＝－，tanθ＝.
11．（16分）（2019·江苏南京模拟）在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：
（1）sinα≥；
（2）cosα≤－.
解
（1）作直线
交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.
（2）作直线
交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域
（图中阴影部分）即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为
.
12．（16分）（2019·佳木斯模拟）角α终边上的点P与A（a,2a）关于x轴对称（a≠0），角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ的值．
解 由题意得，点P的坐标为（a，－2a），点Q的坐标为（2a，a）．
sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝－2，sinβ＝＝，
cosβ＝＝，tanβ＝＝，故有sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ＝·＋·＋（－2）×＝－1.
§3.2同角三角函数的基本关系及诱导公式
一、填空题（本大题共9小题，每小题6分，共54分）
1．（2019·南通模拟）cos（－π）－sin（－π）的值为___________________________．
解析 cos（－）－sin（－）＝cosπ＋sin＝cos（4π＋）＋sin（4π＋）＝cos＋sin＝＋＝.答案
2．（2019·江苏镇江一模）设tan（5π＋α）＝m，则的值为__________．
解析 ＝＝＝＝＝.
又tan（5π＋α）＝m，∴tan（π＋α）＝m，tanα＝m，∴原式＝.答案
3．（2019·辽宁沈阳四校联考）已知＝2，则sinαcosα＝________.
解析 由已知得：
sinα＋cosα＝2（sinα－cosα），平方得：
1＋2sinαcosα＝4－8sinαcosα，∴sinαcosα＝.答案
4．（2019·浙江理，8）若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝__________.
解析 由已知得sin（α＋φ）＝－（其中tanφ＝），即有sin（α＋φ）＝－1，所以α＋φ＝2kπ－，α＝2kπ－－φ（k∈Z），所以tanα＝tan＝＝2.答案 2
5．（2019·四川理，5）设0≤α<2π，若sinα>cosα，则α的取值范围是____________．
解析 由sinα>cosα且0≤α<2π，当cosα>0时，tanα>，∴<α<；当cosα<0时，tanα<，∴<α<；
当cosα＝0时，sinα＝1满足条件，此时α＝.答案
6．（2019·吉林长春调研）若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是__________．
解析 由sinα＋cosα＝tanα，0<α<，∴tan2α＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2α，∵0<α<，∴0<2α<π，∴00，∴17．（2019·苏州二模）sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
解析 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2（90°－2°）＋sin2（90°－1°）＝sin21°＋sin22°＋…＋（）2＋…＋cos22°＋cos21°＝（sin21°＋cos21°）＋（sin22°＋cos22°）＋…＋（sin244°＋cos244°）＋＝44＋＝.答案
8．（2019·浙江嘉兴月考）已知f（x）＝，若α∈（，π），则f（cosα）＋f（－cosα）＝________.
解析 f（cosα）＋f（－cosα）＝＋＝＋＝
∵α∈（，π），∴sinα>0，∴f（cosα）＋f（－cosα）＝.答案
9．（2019·北京）若sinθ＝－，tanθ>0，则cosθ＝____________________________________.
解析 ∵sinθ＝－，tanθ>0，∴cosθ<0，∴cosθ＝－＝－.答案 －
二、解答题（本大题共3小题，共46分）
10．（14分）（2019·泰州模拟）化简：
（1）；
（2）sin（－x）＋cos（－x）．
解
（1）方法一 原式＝＝＝.
方法二 原式＝＝＝＝＝＝.
（2）原式＝2[sin（－x）＋·cos（－x）]＝2[sinsin（－x）＋coscos（－x）]＝2cos（－＋x）＝2cos（x－）．
11．（16分）（2019·盐城模拟）已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈（0，），求sinα、tanα的值．
解 由sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，得4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0
2cos2α（2sin2α＋sinα－1）＝02cos2α（2sinα－1）（sinα＋1）＝0.
因为α∈（0，），所以sinα＋1≠0，且cosα≠0，所以2sinα－1＝0，即sinα＝，所以α＝，即tanα＝.
12．（16分）（2019·福建宁德模拟）已知0<α<，若cosα－sinα＝－，试求的值．
解 ∵cosα－sinα＝－，∴1－2sinα·cosα＝，∴2sinα·cosα＝，∴（sinα＋cosα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.
∵0<α<，∴sinα＋cosα＝，与cosα－sinα＝－联立解得：
cosα＝，sinα＝.
∴＝＝＝－.
§3.3和差倍角的三角函数
一、填空题（本大题共9小题，每小题6分，共54分）
1．（2019·山东青岛模拟）cos43°cos77°＋sin43°·cos167°的值为________．
解析 原式＝cos43°cos77°＋sin43°cos（90°＋77°）＝cos43°cos77°－sin43°sin77°＝cos（43°＋77°）＝cos120°＝－.答案 －
2．（2019·南京模拟）已知α、β均为锐角，且cos（α＋β）＝sin（α－β），则tanα＝________.
解析 ∵cos（α＋β）＝sin（α－β），∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，即cosβ（sinα－cosα）＋sinβ（sinα－cosα）＝0，∴（sinα－cosα）（cosβ＋sinβ）＝0，∵α、β均为锐角，∴cosβ＋sinβ>0，∴sinα－cosα＝0，∴tanα＝1.答案 1
3．（2019·湖北四校联考）在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则∠C的大小为________．
解析 两式平方相加可得9＋16＋24sin（A＋B）＝37，sin（A＋B）＝sinC＝，所以C＝或π.如果C＝π，则0，3cosA>1与4sinB＋3cosA＝1矛盾（因为4sinB>0恒成立），故C＝.答案
4．（2019·湖南长沙调研）在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是________．
解析 方法一 ∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B>，∴cos（A＋B）<0，即cosAcosB－sinAsinB<0，∴cosAcosB方法二 特殊值法
令A＝60°，B＝45°x＝×＝y＝×＝∴x>y.答案 y5．（2019·广东韶关模拟）已知tanα＝2，则＝________.
解析 原式＝＝＝＝＝.答案
6．（2019·无锡模拟）若＝2010，则＋tan2x的值为________．
解析 ＋tan2x＝＝＝＝＝2010.
答案 2010
7．（2019·苏州调研）若锐角α、β满足（1＋tanα）·（1＋tanβ）＝4，则α＋β＝________.
解析 由（1＋tanα）（1＋tanβ）＝4，可得＝，即tan（α＋β）＝.又α＋β∈（0，π），∴α＋β＝.答案
8．（2019·江苏南通二模）已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是____________．
解析 方法一 设x＝cosαsinβ，则sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.
∵－1≤sin（α＋β）≤1，－1≤sin（α－β）≤1，∴∴∴－≤x≤.
方法二 设x＝cosαsinβ，则sinαcosβcosαsinβ＝x.即sin2αsin2β＝2x.由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.答案 [－，]
9．（2019·苏、锡、常、镇四市调研）若tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，则tan（α＋）＝________.
解析 tan（α＋）＝tan[（α＋β）－（β－）]＝＝＝.答案
二、解答题（本大题共3小题，共46分）
10．（14分）（2019·广东）已知函数f（x）＝Asin（x＋φ）（A>0,0<φ<π）（x∈R）的最大值是1，其图象经过点M.
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α、β∈，且f（α）＝，f（β）＝，求f（α－β）的值．
解
（1）依题意知A＝1，则f（x）＝sin（x＋φ）．将点M代入得sin＝，而0<φ<π，∴＋φ＝π.∴φ＝，故f（x）＝sin＝cosx.
（2）依题意有cosα＝，cosβ＝，而α、β∈，∴sinα＝＝，sinβ＝＝，
∴f（α－β）＝cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
11．（16分）（2019·宿迁模拟）已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），|a－b|＝.
（1）求cos（α－β）的值；
（2）若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα的值．
解
（1）a－b＝（cosα－cosβ，sinα－sinβ）．|a－b|2＝（cosα－cosβ）2＋（sinα－sinβ）2＝2－2cos（α－β），∴＝2－2cos（α－β），∴cos（α－β）＝.
（2）∵0<α<，－<β<0且sinβ＝－，∴cosβ＝，且0<α－β<π.又∵cos（α－β）＝，∴sin（α－β）＝.∴sinα＝sin[（α－β）＋β]＝sin（α－β）cosβ＋cos（α－β）sinβ＝×＋×（－）＝.
12．（16分）（2019·常州模拟）求证：
＝sin2α.
证明 方法一 左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边．
∴原式成立．
方法二 左边＝＝＝sinαcosα＝sin2α＝右边．∴原式成立．
方法三 左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边．∴原式成立．
§3.4三角函数的图象与性质
一、填空题（本大题共9小题，每小题6分，共54分）
1．（2019·大连一模）y＝sin（2x＋）的最小正周期是_____________________________．
解析 ∵y＝sinx的周期为2π，∴y＝sin（2x＋）的周期为＝π.答案 π
2．（2019·扬州模拟）y＝2－cos的最大值为__________，此时x＝________.
解析 y＝2－cos的最大值为3，此时cos＝－1，∴＝2kπ＋π，k∈Z，∴x＝6kπ＋3π（k∈Z）．答案 3 6kπ＋3π（k∈Z）
3．（2019·盐城模拟）函数y＝tan（－x）的定义域是________________．
解析 y＝tan（－x）＝－tan（x－）．要使y＝tan（－x）有意义，即y＝－tan（x－）有意义，则x－≠kπ＋，∴x≠kπ＋（k∈Z）．答案 {x|x≠kπ＋，k∈Z，x∈R}
4．（2019·牡丹江调研）已知函数y＝2cosx（0≤x≤1000π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
解析 如图，y＝2cosx的图象在[0,2π]上与直线y＝2围成封闭图形的面积为S＝4π，所以
在[0,1000π]上封闭图形的面积为4π×500＝2000π.
答案 2000π
5．（2019·江苏盐城月考）已知函数y＝tanωx在（－，）内是减函数，则ω的取值范围是________________．
解析 由已知条件ω<0，又≥π，∴－1≤ω<0.答案 －1≤ω<0
6．（2019·辽宁理，16）已知f（x）＝sin（ω>0），f＝f，且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω＝_______.
解析 如图所示，∵f（x）＝sin，且f＝f，
又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在＝处取得最小值．
∴ω＋＝2kπ－（k∈Z）．∴ω＝8k－（k∈Z）．∵ω>0，∴当k＝1时，ω＝8－＝；
当k＝2时，ω＝16－＝，此时在区间内已存在最大值．故ω＝.答案
7．（2019·浙江宁波检测）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周
期是π，且当x∈时，f（x）＝sinx，则f的值为________．
解析 由已知得：
f＝f＝f＝f＝sin＝.答案
8．（2019·连云港模拟）sin2，cos1，tan2的大小顺序是________________．
解析 sin2>0，cos1>0，tan2<0.∵cos1＝sin（－1），sin2＝sin（π－2），又0<－1<π－2<且y＝sinx在（0，）上是增函数，从而sin（－1）9．（2019·全国Ⅱ理）若动直线x＝a与函数f（x）＝sinx和g（x）＝cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为_______．
解析 设x＝a与f（x）＝sinx的交点为M（a，y1），x＝a与g（x）＝cosx的交点为N（a，y2），则|MN|＝|y1－y2|＝|sina－cosa|＝≤.答案
二、解答题（本大题共3小题，共46分）
10．（14分）（2019·福建莆田模拟）是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间上的最大值是1？
若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．
解 y＝1－cos2x＋acosx＋a－＝－2＋＋－
当0≤x≤时，0≤cosx≤1，若>1，即a>2，则当cosx＝1时ymax＝a＋a－＝1，∴a＝<2（舍去）．
若0≤≤1即0≤a≤2，则当cosx＝时，ymax＝＋a－＝1，∴a＝或a＝－4（舍去）．若<0，即a<0时，则当cosx＝0时，ymax＝a－＝1，∴a＝>0（舍去）．综上所述，存在a＝符合题设．
11．（16分）（2019·陕西）已知函数f（x）＝2sin·cos＋cos.
（1）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）＝f，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
解
（1）∵f（x）＝sin＋cos＝2sin，∴f（x）的最小正周期T＝＝4π.当sin＝－1时，f（x）取得最小值－2；
当sin＝1时，f（x）取得最大值2.
（2）g（x）是偶函数．理由如下：
由
（1）知f（x）＝2sin，又g（x）＝f，∴g（x）＝2sin＝2sin＝2cos.
∵g（－x）＝2cos＝2cos＝g（x），∴函数g（x）是偶函数．
12．（16分）（2019·山东济宁第一次月考）设a＝，b＝（4sinx，cosx－sinx），f（x）＝a·b.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知常数ω>0，若y＝f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；
（3）设集合A＝，B＝{x||f（x）－m|<2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
解
（1）f（x）＝sin2·4sinx＋（cosx＋sinx）·（cosx－sinx）＝4sinx·＋cos2x＝2sinx（1＋sinx）＋1－2sin2x＝2sinx＋1，∴f（x）＝2sinx＋1.
（2）∵f（ωx）＝2sinωx＋1，ω>0.由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，得f（ωx）的增区间是，k∈Z.
∵f（ωx）在上是增函数，∴⊆.∴－≥－且≤，∴ω∈.
（3）由|f（x）－m|<2，得－2
§3.5三角函数的最值及应用
一、填空题（本大题共9小题，每小题6分，共54分）
1．（2019·连云港模拟）函数y＝sin（－2x）－cos2x的最小值为________．
解析 y＝sin（－2x）－cos2x＝cos2x－sin2x＝cos（2x＋），其最小值为－1.答案 －1
2．（2019·泰州模拟）若函数y＝2cosωx在区间[0，]上递减，且有最小值1，则ω的值可以是________．
解析由y＝2cosωx在[0，π]上是递减的，且有最小值为1，则有f（π）＝1，即2×cos（ω×π）＝1，即cosω＝，πω＝，即ω＝.答案
3．（2019·湖北黄石调研）设函数f（x）＝2sin（x＋）．若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1－x2|的最小值为____．
解析 f（x）的周期T＝4，|x1－x2|min＝＝2.答案 2
4．（09·湖南株州模拟）函数y＝sin2x按向量a平移后，所得函数的解析式是y＝cos2x＋1，则模最小的一个向量a＝__.
解析 ∵y＝sin2（x＋）＝cos2x，∴a＝（－，1）．答案 （－，1）
5．（2019·广东惠州二模）函数y＝Asin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<）在同一单调区间内的x＝处取得最大值，在x＝处取得最小值－，则函数的解析式是________________________．
解析 由函数最大值可知A＝，由于函数值当x＝时最大，当x＝时最小，可知T＝，则ω＝3，再由x＝时，y＝可确定φ＝.答案 y＝sin（3x＋）
6．（2019·广西南宁检测）定义运算a*b＝则函数f（x）＝（sinx）*（cosx）的最小值为________．
解析 f（x）＝＝可得最小值为－1.
7．（2019·苏州调研）一半径为10的水轮，水轮的圆心距水面7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x（s）满足函数关系y＝Asin（ω＋φ）＋7（A>0，ω>0），则A＝________，ω＝________.
解析 由已知P点离水面的距离的最大值为17，∴A＝10，又水轮每分钟旋转4圈，∴T＝＝15，∴ω＝.
答案 10
8．（2019·徐州二模）函数y＝（sinx－a
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