高考数学 不等式 知识汇总.docx

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高考数学不等式知识汇总

不等式

课标要求

1、掌握不等式的性质及应用；明确各性质中结论成立的前提条件

2、理解绝对值不等式的概念及性质

3、了解基本不等式的证明过程；能够利用基本不等式求函数的最值

4、掌握用比较法，分析法，综合法证明简单不等式

5、会解一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数的联系

6、掌握简单的分时不等式的解法

7、掌握简单的高次整式不等式、指、对数不等式的解法；掌握含参数的不等式的解法

8、掌握含参数的一元二次不等式恒成立问题

9、了解二元一次不等式的几何意义；能用平面区域表示二元一次不等式组

10、了解线性规划的意义并会简单应用；会求目标函数的最值

11、会从实际情境中抽象出一些简单的线性规划问题，并加以解决

突破方法

熟练掌握不等式的基本性质及基本不等式，要在正确灵活使用上下功夫.掌握不等式证明的比较法、综合法、分析法即其他方法，不断地总结证明不等式的规律和技巧.体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.强化不等式的应用，历届高考中除单独考察不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题中设计不等式的知识，因此在学习过程中一定要提高应用意识，努力提高分析和解决问题的能力.在学习过程中加强等价转化思想的训练，加强分类讨论思想的学习，做到合理分类，不重不漏.

知识点

1、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系

在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又有大量的不等关系，在数学中，我们用不等式或不等式组来表示这些不等关系.常用“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”表示不等关系.

在用不等式（组）表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个（或几个）量之间不能用不等式（组）来表示.另外，在用被登山（组）表示实际问题时一定要注意单位的统一.

2、实数大小的比较

在数轴上点A与点B分别表示实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，由实数在数轴上的表示（如图所示），可以看出a、b之间具有以下性质：

如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a-b等于零，那么a=b.反之也成立.可简写为：

a-b＞0a＞b；a-b＜0a＜b；a-b=0a=b.

从以上的性质可知，要比较两个实数的大小，可以考虑这两个实数的差，这时我们研究不等关系的一个出发点.

两实数（式子）比较大小的常用方法：

（1）作差法

设a、bR，则

①a-b＞0a＞b；②a-b=0a=b；③a-b＜0a＜b.

（2）作商法

①设a、bR，且a＞0，b＞0.

若＞1，则a＞b；若=1，则a=b；若＜1，则a＜b.

②设a、bR，且a＜0，b＜0.

若＞1，则a＜b；若=1，则a=b；若＜1，则a＞b.

（3）利用（函数）单调性比较大小，通常要先构造一个函数，再利用其单调性判断大小.

3、不等式的性质及推论

①对称性：

如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b

②传递性：

如果a＞b，且b＞c，那么a＞c

③加法法则：

如果a＞b，则a+c＞b+c

推论1：

不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边，这就是不等式的移项法则.

推论2：

如果a＞b，c＞d，则a+c＞b+d

几个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向，即如果

④乘法法则：

如果a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果a＞b，c＜0，则ac＜bc.

推论1：

如果a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd.

几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.即如果

推论2：

如果a＞b＞0，则（n＞1，n）.

推论3：

如果a＞b＞0，则＞（n＞1，n）.

对于不等式性质的理解，应注意以下几点：

（1）在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件.例如：

①在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a≤b，b＜ca＜c.

②在乘法法则中，要特别注意乘数c的符号，例如当c≠0时，有a＞b

ac²²＞bc²²；若无“c≠0”这个条件，则a＞bac²²＞bc²²就是错误的结论（当c=0时，取“=”号）

③“a＞b＞0＞0（nN，n＞1）”成立的条件是“n为大于1的自然数，a＞b＞0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n=-1，a=3，b=2，那么就出现“”的错误结论；假如去掉“b＞0”这个条件，取a=3，b=-5，n=2，那么就会出现“”的错误结论.

（2）注意不等式性质的单向性或双向性，也就是说每条性质是否具有可逆性.只有a＞bb＜a，a＞ba+c＞b+c，a＞bac＞bc（c＞0）等式可以逆推的，而其余几条性质不可逆推，在应用性质时要准确把握条件是结论的充要条件还是充分条件.

4、一元二次不等式及其解集

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式叫做一元二次不等式.一元二次不等式的一般表达形式为：

ax²+bx+c＞0（a≠0）或ax²+bx+c＜0（a≠0），其中a、b、c均为常数.

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集.

5、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论及三者关系

二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：

从函数观点来看，一元二次不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集，就是二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax²+bx+c＜0（a＞0）的解集，就是二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）在x轴下方部分的点的横坐标x的集合.

从方程的观点来看，一元二次方程的根式二次函数与x住交点的横坐标，一元二次不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集，就是大于大根，或者小于小根的实数的集合；ax²+bx+c＜0（a＞0）的解集，就是大于小根，且小于大根的实数的集合.

由此，利用二次函数的图像和一元二次方程的两根就可以解一元二次不等式.具体如下表所示：

=b²-4ac

二次函数

（

）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

R

6、一元二次不等式的解法

不等式的同解原理：

如果两个不等式的解集相同，那么着两个不等式叫做同解不等式.如果一个不等式变形为另一个不等式时，这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形.

解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，最后化为最简单形式的同解不等式的过程，这也体现了一种重要的数学思想——转化与化归的数学思想.

一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：

①ax²+bx+c＞0（a＞0）；

②ax²+bx+c＜0（a＞0）.

通过方程ax²+bx+c=0求得两根、，若（此时＞0），则不等式①的解在“两根之外”，即大于大根，小于小根，此时有；不等式②的解在“两根之间”，即小于大根，大于小根，此时有.若（此时=0），则不等式①的解集为；不等式②的解集为.

注意：

对于不等式ax²+bx+c＞0及ax²+bx+c＜0（a＜0），也可以不变为标准形式，而通过其余二次函数的关系解题，这种解题思路一般在解含参数的一元二次不等式时用到.

用程序框图表示一元二次不等式的求解过程：

用一个程序框图来描述一元二次不等式ax²+bx+c＞0（a＞0）的求解的算法过程：

缺框图（P128）

7、一些特殊不等式的解法

（1）高次不等式的解法

不等式最高次项的次数高于2次，这样的不等式称为高次不等式.

处理这一类问题的基本方法是：

在解f（x）＜0（或＞0）时，将多项式f（x）分解成若干个不可约因式的积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式（组）（由各因式的符号所有可能的组合决定），于是原不等式的解集就是各不等式（组）的解集的并集.

这种解法在实际操作中显得很烦琐，我们经常用下面的方法处理（以f（x）＞0或f（x）＜0为例）：

①将f（x）最高次项系数化为正数；

②将f（x）分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；

③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过）；

④根据曲线显现出的f（x）的值的符号变化规律写出不等式的解集.

这种解法称为数轴标根法或穿根法.

（2）分式不等式的解法

任何一个一元有理分式不等式经过移项、通分、化简，都可以化成标准形式＞0或＜0，其中f（x）,g（x）都表示x的某一项整式，然后按照商的符号法则转化为不等式组求解，详见下表：

分式不等式

同解不等式

①与同解

②与f（x）g（x）＞0同解

①与同解

②与f（x）g（x）＜0同解

①与同解

②与g（x）［f（x）-ag（x）］＞0同解

（3）含参数的一元二次不等式的解法

对于可化为形如ax²+bx+c＞0（a≠0）的不等式，如果式中含有参数，解题时需根据参数的取值范围进行分类讨论处理，引起讨论的原因有如下几种：

①二次项系数的正负；

②方程ax²+bx+c=0中与0的关系；

③方程ax²+bx+c=0两根的大小

我们在解决以上障碍时，最优的处理次序应先看二次项系数的正负，其次考虑，最后分析两根的大小.

分类讨论时应注意以下问题：

①对参数分类时要目标明确，讨论时要不重不漏；

②最后结果要分类回答，切不可取并集，解集为时，也是其中一类，不要随即丢掉；

③弄清分类原因，能更加合理地对参数分类；

④并不是所有含参数的问题都需要分类讨论.

8、二元一次不等式的解及其几何意义

（1）二元一次不等式.

含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值叫做它的解.

例如x+y-1＞0就是二元一次不等式，它的解是一些有序数对（x，y）.因此，它的解集并不能用数轴上的一个区间表示，而应是平面上的一个区域.

（2）二元一次不等式的几何意义.

一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0在某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界；不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.

如图，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＞0的解为坐标的点的集合是直线x+y-1=0右上方的平面区域.

类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x+y-1＜0的解为坐标的点的集合是直线x+y-1=0左下方的平面区域.

9、二元一次不等式所表示的平面区域的判断

对于直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x，y），实数直线Ax+By+C的符号相同，所以只需在直线某一侧任取一点（,）代入Ax+By+C，由A+B+C的符号即可判断出Ax+By+C＞0（或＜0）表示的是直线哪一侧的点集.

当直线Ax+By+C=0中的C≠0时（即直线不经过原点时），可选取（0,0）作为特殊点代入判断，这通常叫做“直线定界，原点定域”.当C=0时（即直线经过原）,可选取（1,0），（-1，0），（0,1），（0，-1）等点作为特殊点代入判断.

判断二元一次不等式表示的区域的其他几种方法：

（1）对非x=a型的直线利用直线上、下方易知二元一次不等式表示的区域：

对不与x轴垂直的直线均可化成：

Ax+By+C=0（B＞0）的形式，对Ax+By+C=0上的点（x，y），当y变大，即点向直线上方移动时，有Ax+By+C＞0，即y系数为正时，满足Ax+By+C＞0的点表示直线Ax+By+C=0上方的点；当y变小时，即点向直线下方移动时，有Ax+By+C＜0，即y系数为正时，满足Ax+By+C＜0的点表示直线Ax+By+C=0下方的点.

注意：

（1）同样也可以对非y=a型的直线，判断直线的左、右区域.

（2）对形如x=a的直线，满足x＞a的点在直线右侧；满足x＜a的点在直线左侧.

（2）用向量的方法判断二元一次不等式表示的区域

在坐标平面内，已知直线l：

Ax+By+C=0将坐标平面内不再l上的点分为两部分，直线l的法向量（A,B）方向指向的那一侧半平面所有点的坐标都满足不等式Ax+By+C＞0，而在直线l的另一侧所有点的坐标都满足不等式Ax+By+C＜0.

10、二元一次不等式组所表示的平面区域

由两个或两个以上的二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组.二元一次不等式组所表示的平面区域是其中各不等式表示的平面区域的公共部分（交集）.

首先把各个不等式化为Ax+By+C＞0（或＜0）的形式，再画出各条直线，画出各个二元一次不等式表示的平面区域的公共部分，用阴影描出.注意实线、虚线问题.

注意：

（1）画不等式组表示的平面区域应尽量使图画的更准确，以便为以后学习求最优解创造方便条件.

（2）画好不等式组表示的平面区域，首先要掌握画二元一次不等式表示的平面区域的方法，这是基础和前提.

（3）含有绝对值的不等式的平面区域的表示方法：

①去绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式（组）.一般采用分象限讨论去绝对值符号；

②有时利用对称性可避免对绝对值的讨论.在方程f（x,y）=0或f（x,y）＞0中，若将x（或y）换成-x（或-y），方程或不等式不变，则这个方程或不等式所表示的图形就关于y（或x）轴对称.

11、线性规划问题的有关概念

（1）目标函数：

要求在一定条件下求最大值或最小值问题的函数叫目标函数，目标函数是关于变量的一次函数时又叫线性目标函数.

（2）线性约束条件：

如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件.

（3）可行解与可行域：

一般地，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.

（4）最优解：

可行解中使目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解.

（5）线性规划问题：

在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题.

可行解是最优解的基础.最优解是可行解的一个特例，要审清题意，把实际问题转化成线性规划问题，根据实际问题中的已知条件找出约束条件和目标函数，在确定可行域时，应注意x，y的系数.在求最优解时，应弄清直线的倾斜程度，找出取得最大值或最小值的点，画出图形，这样既直观又清楚.

12、处理线性规划问题的一般步骤

（1）建模.

建模是解决线性规划问题极为重要的环节.根据题意，设出变量，建立目标函数.

（2）求解.

①求可行域.将约束条件中的每一个不等式，当作等式作为相应的直线，并确定原不等式表示的半平面，然后求出所有半平面的交集，即为可行域.

②作出目标函数的等值线.目标函数z=ax+by（a、bR且a、b为常数），当z是一个指定的常数时，就表示一条直线.位于这条直线上的点，具有相同的目标函数值z，因此称之为等值线.当z为参数时，就得到一组平行线，这一组平行线完全刻画出目标函数z的变化状态.把z=ax+by化为y=+（b≠0）的形式，由z的最值确定截距的最值.

③求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题是由唯一最优解，或是无穷最优解，还是无最优解.

（3）还原.

把数学问题还原为实际问题，以便用来指导我们的实际生活.

注意：

解决简单线性规划问题的一般思路：

（1）截距最值法：

对于目标函数z=ax+by，可化为y=+，则z的最值与截距的最值是统一的，故求z的最值可转化为求截距的最值，这时简单线性规划问题的常用方法.

（2）原点到直线距离最小法：

由解析几何知识可知，原点到直线z=ax+by的距离d=，在可以确定z的符号时，z的最值与d的最值也是统一的，故求z的最值可转化为求d的最值问题.

13、何时取得最优解与寻找整点最优解的方法

通过多次解决线性规划的问题容易发现，取得最优解的点，大都在可行域的边界上.如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最大值或最小值，最优解一般就是多边形的某一个顶点，到底哪个顶点是最优解，可有两种确定方法：

一是将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点表示便是；另一种方法可利用围成可行域的直线的斜率来判断.若围成可行域的直线、、…、的斜率、、…、满足，而且目标函数的直线系的斜率为k，则当时，直线相交的顶点一般就是最优解.特别地，当表示目标函数的直线系与可行域的某条边平行时（k=），其最优解可能有无数个.如实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解，应作适当的调整，其方法以取得最优解的线性目标函数的直线为依据，在该直线的附近寻求与此直线距离最近的整点.

寻找整点最优解的方法：

利用线性规划解决实际问题时，有时要求最优解是整数解，需要在平面区域内找出整数点，这也是实际中常常用到的，为了解决这类问题，可以采用以下3中方法：

（1）平移找解法

先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数有较少时，可逐个将整点代入目标函数求值，经过比较求最优解.

（2）局部微调法

所谓“局部微调法”是指，在求线性目标函数z=ax+by+c的最优整数解时，先根据基本方法求出目标函数的最值，但若此时最优解不是整数（即此时直线经过的点A（,）不是整点），可先根据A（,）求出此时的=a+b+c，然后根据条件把的值微调为大于（或小于）的与最接近的整数，再求出直线=ax+by+c与可行域各直线的交点坐标，然后在这些交点之间寻找整点.

（3）小范围搜索法

小范围搜索法的步骤为：

①在边界折线顶点附近的小范围内搜索一个可行域内的整点；

②在该点作一条斜率为-的直线，与可行域边界折线相交得到一个小范围的区域；

③在这个小范围区域内继续搜索全部最优整数解.

14、用线性规划研究的问题

一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力、物力完成任务；另一类是在人力、物力一定的条件下，如何安排和使用人力、物力，以发挥最大的效益.这两类问题是一个问题的两个方面，即寻找整个问题的某种指标的最优解.

（1）物资调运问题

比如，已知、两煤矿每年的产量，煤需经、两个车站运往外地，、两个车站的运输能力是有限的，且已知、两煤矿运往、两个车站的运输价格，煤矿应该怎样编制调运方案，能是总运费最小？

（2）产品安排问题

比如，某工厂生产甲、乙2中产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C3中材料的数量，此厂每月所能提供的3中材料的限额都是已知的，这个工厂在每个与中应如何安排这2中产品的生产，能使每月获得的总利润最大？

（3）下料问题

如入，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，怎样下料能使损耗最小？

15、解决线性规划问题时的常见误区及分析

（1）平移直线时失误.由于我们的作图不是精确作图，必然会产生一些误差，因此在平移直线时，仅凭图形直观想象，难以确定哪个是最先接触的点，哪个是最后离开的点，这就需要我们借助精确计算来弥补图形直观性的不足之处，这也正是数形结合的精髓.

解决此类问题常用的方法有两种：

①顶点检验法；即把可行域中可以的边界顶点的坐标代入目标函数中检验比较即可；

②斜率检验法.已知区域边界直线的斜率从小到大依次顺序，再与目标函数的斜率比较，看这个斜率在已知区域边界直线的哪两个斜率之间，这个最优解就在哪两条直线的交点处取得.

（2）扩大可行域.利用不等式性质对二元一次不等式进行变形时，从命题角度没有改变它的真假性，但它有可能扩大了变量的取值范围，其根本原因是这种不等价变形扩大了可行域.

（3）最优整数解不一定是离可行域边界点最近的点.当可行域的边界顶点不是整点，此时必须在可行域内该点的附近寻找整点.

16、一个重要的不等式：

a²+b²≥2ab

要证明a²+b²≥2ab，只要证明a²+b²-2ab≥0，即证明（a-b）²≥0，这显然对a、bR成立，∴a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立.

关于不等式a²+b²≥2ab的几点说明：

（1）不等式中的a、b的取值是任意实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式.

（2）公式中等号成立的条件是a=b，如果a、b不能相等，则a²+b²≥2ab中的等号不能成立.

（3）不等式a²+b²≥2ab可变形为ab≤，4ab≤a²+b²+2ab，2（a²+b²）≥（a+b）²等.

17、基本不等式

对任意两个正数a、b，叫做a、b的算术平均数，叫做a、b的几何平均数.显然，a、b的算术平均数是a、b的等差中项，几何平均数是a、b的比例中项.

如果a、b，那么≥，当且仅当a=b时，式中的等号成立.

注意：

（1）基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：

一是其成立的条件是a、b都是正数；二是等号取得时“当且仅当a=b”时.

（2）它还可以描述为：

两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（3）基本不等式是非常重要的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理体系，奠定了不等式的理论基础.

基本不等式的几何意义：

如下图是以a+b为直径、O为圆心的半圆，在直径AB上取点C，使AC=a，CB=b，作CD⊥AB交半圆于点D.易知CD=，OD=.而OD≥CD，即半径不小于半弦.所以≥的几何意义是“半径不小于半弦”.

18、两个不等式a²+b²≥2ab和≥的比较

（1）两个不等式a²+b²≥2ab和≥成立的条件是不同的.前者要求a、b是实数即可，而后者要求a、b都是正实数.例如当a=-2，b=-3时，（-2）²+（-3）²≥2×（-2）×（-3）成立，但≥显然不成立.

（2）两个不等式a²+b²≥2ab和≥都是带有等号的不等式，“当且仅当a=b时取等号”的含义是“a=b是等号成立的充要条件”.

（3）由a²+b²≥2ab和≥可以得到一些常用结论：

①_+≥2（ab＞0）

②对n（n≥2）个正数、、…、，有≥；

③≤≤≤（a、b）

其中和分别叫做a、b的调和平均数和平方平均数.

19、基本不等式的应用及注意事项

基本不等式的应用非常广泛，如：

求函数最值（值域），证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等.其中，求最值是其最重要的应用.

例如：

已知x、y嗾使正实数，求证：

（1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2.

（2）如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S².

证明：

∵x、y都是正实数，∴≥.

（1）积xy为定值P时，有≥，∴x+y≥2.

上式当x=y时等号成立，因此当x=y时，和x+y有最小值.

（2）和x+y为定值S时，有≤，∴xy≤S².

上式当x=y时等号成立，因此当x=y时，积xy有最大值S².

上述结论，常用在求函数的最大、最小值中，利用基本不等式求函数最大、最小值时，应注意以下几点：

（1）函数式中各相关项，必须为正数.

例如函数f（x）=+x，当x＜0时，若求得f（x）≥2，这显然是错误的.

正确的解法是：

因为x＜0，∴-x＞0，-＞0.

∴-（+x）=（-x）+（-）≥2，当且仅当-x=-时取等号.

即+x≤-2，当且仅当x=-1时等号成立.

∴f（x）=+x在x＜0时的最大值为-2.

（2）所求函数式中含有变数的各项和（或积）必须是常数，如上述结论中的S（或P）.

（3）当且仅当相关各项相等时，才能用基本不等式求最值.例如求f（x）=+，x（0,）的最值时，不能这样做：

f（x）=+