（为台球与桌面台泥之间的滑动摩擦系数）。
将代入
（2）式中，测量l、的值，并代入解得v的数值，即为母球1为使目标球落袋应有的质心的初速度。
1.3母球1与目标2球相切
当d=2R时，母球与目标球相切，要使目标球落袋，母球必须被用力打出，即母球质
心初速度v须足够的大。
2球杆击球后台球的运动
设：
台球的质量为m，其半径为R，当球杆撞击球时，球杆对母球有一水平方向作用力使母球产生水平动量；
如图2所示。
球杆打击母球的冲量为I，不计摩擦力及其他阻力产生的冲量，则有
h
I
R
P
f
图2
为母球受球杆撞击后开始运动的速度。
由于
受到冲力（冲力矩）的作用，与此同时母球也发生了转动，假设球杆作用点距桌面的竖直距离为h，则以质心为参考点对质心的力矩为I（h-R），有下面地关系式
是母球受冲击后产生的角速度，J代表母球的转动惯量，且所以：
或
由以上两式得受球杆冲击后母球与桌面接触点P的速率。
（1）当h=7/5R时，母球无滑动地作纯滚动，不会产生滑动摩擦力，只有滚动的阻力。
（2）当h>7/5R时，母球既滑动又滚动的运动，且滑动摩擦力使质心产生加速度，使之质心的速度增加，并使它的转动角速度变小，直到母球作纯滚动为止。
（3）当h<7/5R时，母球作既滑动又滚动的运动，滑动摩擦力产生转矩产生角加速度使它转动角速度加快、质心速率则会由于总能量不会增加而变慢，直到母球只滚动而没有滑动。
3台球上个点在杆撞击后的速度分析
3.1台球在运动过程中的速度的分析
台球可以看作刚体，利用其定义：
（刚体的平面平行的运动：
刚体内任一点与固定平面始终保持一定距离的运动称为刚体平面平行运动）。
在球杆击球后，台球在桌面上做的是平行运动，遵循其相关的规律。
由刚体平面运动的特性可得，作一平面L与固定平面（台球桌面）平行，与台球相交。
假设该平面内的点运动在其自身所在平面内，在该平面内作坐标系OXY。
x
o
y
A
B
G
C
图3
只要确定图形,上任意一条线段AB的位置，就可确定图形C,在坐标系中的具体位置。
因为图形上任何第三点至A、B两点的距离都不变，当线段AB的位置确定后，其余各点的位置也就完全确定了。
线段AB的位置完全由A点的坐标、（或矢径）和自ox轴到线段AB所量的角所确定。
当图形运动时，角、坐标和全部是随时间t变化的连续函数，即：
由上式可以推出台球在任一时刻的位置及任何一点的运动情况。
O
y
x
A
B
M
在这儿用点的相关的运动知识。
任意点M的矢径如图4所示：
（1）
表示M点对于A点的矢径。
因
台球不会变形，的模和角均
为常数（C），M点的方程为：
（2）
图4
将上式对t求一次导，可得出点M的速度V,在各坐标轴上的投影：
（3）
上式对时间求导,在坐标轴上的投影表示为：
（4）
由此可知，从点的运动学看，只要知道台球的运动情况及表达式，用求导函数的方法就可求得台球上任一点的速度与角速度。
所求得的结果的物理意义可作如：
从以上式子中得知，式的右端第一个数表示加速度，以后各项表示图形上M点相对于以A点为原点的平动坐标系的运动。
因此，用点的复合运动的方法来分析台球运动的问题。
由刚体平面运动方程：
可以得到两种特殊情形：
a、当常数时，而、。
则线段AB的方向和位置保持不变。
这表示台球在平面内作平动。
b、当和都为常数，而角随时间变化，即。
这表示图形绕垂直于平面的固定轴A转动。
3.2球杆击球后在桌面上母球任一点速度的两种计算方法的讨论
3.2.1运动的分解
随着母球运动的分解，对母球上任意点的运动也作相应地分解，利用点的复合运动的有关方程及分析方法，可以求出母球1上任一点的速度。
A
M
如图5，选取运动的母球上任一点A选为基点来分解运动。
令某A点瞬时的线速度，母球的瞬时角速度为，图5
，母球上任一点M的绝对速度为：
因动坐标系随基点平动，故质心速度。
又因M点的相对运动是以基点为中心的圆周运动，故速度，是由基点A引向M点的矢径，的方向与垂直。
因此，M点的速度为
此式表明母球上任一点M的速度等于基点的速度和M点对以基点为原点的平动坐标系的相对速度的矢量和。
C
因母球中心O点速度顺心是已知的，故选O点为参考点。
O
A
B
D
建立平动坐标系O,将母球的平面运
动分解为平面运动和转动，则母球上任一点
的运动可相应的加以分解，（质量中心）运动为
动坐标系O,随O点的平动。
图6
根据相关定理，母球上点M的速度可表示成：
相对速度大小为R，方向垂直于半径。
对于，利用母球无滑动的滚动的条件，它与地面的接触点C的速度为零，即
因此
由图可知，为角速度。
求得后，各质点的速度就很容易求得，其关系如下：
各点运动的方向如上图6所示。
3.2.2瞬时速度中心法，简称瞬心法
A
C
用式求台球上任一点速度时，发现在垂直于A点的速度矢量的直线AC上必有一点C在此瞬时的速度为零，
如图7所示，则由A到C点的矢径满足以下条
件：
或写成
图7
，，
C
M
N
C点称为台球的瞬时速度中心，简称瞬心。
如果在此瞬时选择瞬心C为基点来分析台球的运动，那么求母球上任一点的速度的方法就可以简化。
因此瞬时基点速度，式就变为
这里是M点对于瞬心C的矢径，如图7所示，是台球的角速度。
换句话说，这时质心速度为零，只剩下
图8
台球绕瞬心C转动的相对速度；或者说台球的
瞬时运动是绕瞬心C以角速度的转动。
此瞬
时台球上各点速度的分布情形如右图8所示，它与刚体绕定轴转动时各点速度的分布情形相同。
但台球的运动与刚体绕定轴转动并不
相同，因C点不是固定点，它只是在这一瞬时速度为零。
因为不同的瞬时，瞬心C的位置不同，故台球的平面运动可以看成是绕一系列的瞬心作瞬时转动。
O
A
B
C
D
如图9，台球与地面相接触的C点的速度为零，
C点即台球的瞬心。
利用已知速度，可
求得台球的角速度为
为顺时针转向。
台球上B的速度方向垂直于连线CB，
大小为,表示从C点到B点的距离。
图9
同理，可求的台球边缘上其他各点的速度，结果同前。
4台球上各质点加速度的分析
4.1运动分解法，或基点法
应用平面运动知识，台球上任一点M的运动可表示为
将上式对时间求一次导数，即可求得M点的速度变化快慢程度+。
O
M
图10
这里表示基点A的加速度，表示台球的角加速度，表示M点在动坐标系，O中的相对矢径，如图10，因动坐标系做平动，所以上式中对求绝对导数时不必考虑动坐标系本身的运动，或者说，这就是M点对平动坐标系,O的相对速度，它等于，代入上式，得
升级会员 