完整版中职数学立体几何教案.docx
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完整版中职数学立体几何教案
xX职业技术教育中心
教案
教师姓名
xx授课班级12会计、通信
授课形式
新授
授课日期
2013年5月13日第13周
授课时数
2
授课章节名称
§9.1平面的基本性质
教学目的
了解平面的表示方法和基本性质
教学重点
平面的基本性质
教学难点
用集合符号表示空间点、直线和平面的关系
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.平面及其表示
常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们
与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边表示平面.图5-27
（1）表示平放的平面，图5-27
（2）表直的平面.请注意它们画法之间的区别.
如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示
骤进行.
一个平面通常用小写希腊字母、、、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内
部，记作“平面”、“平面”，…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，
记作平面AC”或平面BD”，当然也可记作平面ABCD（如图5-27）.应该注意，正像平面几何中
直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行
四边形仅仅表示了平面的一部分.
空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示：
1点A在直线I上，记作Al，点A不在直线I上，记作AI;
2点A在平面内，记作A，点A不在平面内，记作A;
3直线I在平面内，记作I;
4直线I与直线m交于点N，记作Im={N}，直线I与直线m没有交点，记作Im=
5直线I与平面交于点N，记作I={N}，直线I与平面没有交点，记作I=;
6平面与平面交于直线I，记作=I，平面与平面不相交，记作=.
在以后的学习中，我们将经常用到这些记号.
课内练习1
1.能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么?
2.画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面.
3.分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面.
4.
用符号表示下列点、线、面间的关系：
（1）点A在平面内，但在平面夕卜；
（2）直线I经过平面外的一点N;
（3）直线I与直线m相交于平面内的一点N;
（4）直线I经过平面内的两点M和N.
5.
（1）点A在平面内，记作A
（3）平面与平面相交，记作
⑵直线I在平面内，记作I
；（4）直线I与平面相交，记作I
下面的写法对不对，为什么？
2.平面的基本性质
基本性质：
（1）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
如图5-29，直线I上两点A,B在平面内，那么I上所有的都在平面内，这时我们可以说，直线I在平面内或平面经过线I.
这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内.
因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，
么延展的结果，它们必定相交于一条直线.由此得平面的第二个本性质：
（2）如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点一条直线.
如图5-30,平面与平面相交，C是公共点，那么它们相
于过C的直线I.如果我们把一张纸摊平折起来，折痕一定是一条线，就是这个道理.
（3）经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面.
这个性质也可以简单地说成：
不在一直线上的三点确定一个平面.如图5-31,A、B、C三点不在同一直线上，经过这三点可以且以画一个平面.
现在你可以明白前面提出的问题了•凳子三条腿、照相机支架腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的.
从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：
1一条直线和直线外一点可以确定一个平面
2两条相交直线可以确定一个平面；
3两条平行直线可以确定一个平面.
课内练习2
1.判断题
（1）如图，我们能说平面与平面只有一个交点A吗？
（2）如图,我们能说平面与平面相交于线段AB吗？
（3）如图,我们能说线段AB在平面内,但直线AB不全在平面内吗?
2.
3.一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？
4.怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？
（第1（3）题图）
（第1
（1）题图）
小结
作业
三角形-平面图形吗？
为什么？
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教师姓名
xx授课班级12会计、通信
授课形式
新授
授课日期
2013年5月14日第13周
授课时数
4
授课章节名称
§9.2空间两条直线的位置关系
教学目的
了解直线的位置关系，空间平行直线关系的传递性会求异面直线所成的角
教学重点
异面直线的概念及其判定
异面直线所成的角
教学难点
异面直线的判定
异面直线所成的角
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.两条空间直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系有两种：
相交或平行•在空间中的两条直线是否也是如此呢？
我
们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行
和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交.
把教室看成一个长方体ABCD-ABCD（如图9-32），可以发现直线对BC与AA、AD与DC以及对角线BD与AC等等，它们不同在一个平面内.
我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以
（1）没有公共点一一平行
（2）只有一个公共点一一相交
｝（必定同在一个平面上）;
（3）既不相交也不平行——异面（不可能同在一个平面上）.
在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同
的平面内，这样就容易体现出异面”的特点.
课内练习1
1.找出日常生活中异面直线的几个例子.
2.画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来.
3.两条直线分别在两个平面内，它们是否一定异面直线？
4.能否把没有公共点的两条直线叫做平行线?
说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线•因此，空间中两条直线位置关系（除了重合）有三种:
第1题图
2.设I、m、n为三条空间直线，其中I//m,In,则m、n的关系如何？
3.设I、m、n为三条空间直线，且Iam=nAm=45，能否得出I//n的结论?
你能举出反例吗？
小结:
作业:
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教师姓名
xx授课班级12会计、通信
授课形式
新授
授课日期
2013年5月20日第14周
授课时数
4
授课章节名称
§9.3直线和平面的位置关系
教学目的
认识和理解直线和平面平行、垂直的有关结论掌握三垂线定理的应用
教学重点
直线和平面平行的判定和性质
直线和平面垂直的判定和性质
三垂线定理及其逆定理
教学难点
直线和平面平行、垂直的有关结论三垂线定理的应用
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
Cl
B
C
l
l
A
（第2（3）题图）
与
b
b
b
a
a
方
法
在
这
右当
两门
形边
边
四
察
与
AB
复习引入:
新授:
2.直线和平面平行
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.如图5-41中所示，如果a//b,b，则a//。
a
1.举出直线和平面的三种位置关系的实例.
2.回答下列问题:
（1）能否说直线I与平面有两个交点A、B?
（2）如果直线I在平面夕卜，I是否一定与平行?
（3）如图，因为I与没有交点，是否能说I//?
（4）如果直线I不平行于平面，I必与相交吗？
5-40
（2））.
这就给出了一个判定直线与平面平行的
课内练习1
图5-39
图5-40
（1）
图5-40
（2）
根据这个判定方法，为了证明一条直线和一个平面平行，只要个平面内找出一条直线和这条直线平行就可以了.
画一条直线和一个平面平行，常把直线画在表示平面的平行四外面，并且如图5-41那样，与平行四边形的一组对边平行或与平行
图5-41
看有无公共点，这是
（1）直线和平面平行的判定
要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸,无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行.
我们看图5-40
（1），这
条边缘是直线关着时，直线且a//b.开门时，a离开了平面平行，而且a与平面
是一扇门，门框左
a、b.把墙面视为一个平面，a、b同在平面上，
，但仍保持也是平行的（如图
1.直线和平面的位置关系
我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体•我们考
AB所在的直线，它在面ABCD上；与面BCC1B1有一个公共点面DCC1D1没有公共点.这个实例告诉我们：
空间直线
（1）I与
⑵I与
⑶I与
图5-39表示了这三种位置关系.
I与平面的位置关系只有三种：
有无数个公共点直线I在平面内;
没有公共点一一直线I平行于平面;
只有一个公共点一一直线I与平面相交.
A
图5-38
Ai
ZM
i
1
1
DJ
*
7
Di
形内的一条线段平行.
在安装日光灯管时，检查两条垂直吊线的长度是否相等；往墙上贴一条横幅时，检查横幅的使用的原理正是这个判定方法.
上边与顶板是否等距，都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行,
为便于记忆，这个方法可简记为：
若线线平行，则线面平行
例1如图5-42，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、的中点，求证
证明在
EF//
EF
EF
2
又因为所以课内练习
1.在平面
2.设平面
EF//平面BCD.
ABD中，因为E、F分别是AB、AD的中点，所以
BD.
平面BCD,BD平面BCD,
//平面BCD.
上有直线b,与平面外直线a不平行,与平面外的直线a平行，证明a与
（2）直线和平面平行的性质现在把图5-40
（2）墙面、门分别看作为平面当直线a和平面平行时，过a的平面与平面
面平行的性质：
如果直线a和平面则交线必定平行于a.
如图5-43,若a//
这个性质可简记为：
AD
C
能否说a与必定不平行？
为什么?
内的任意直线都不相交.
，门边缘b是、的交线，a//b.这表明,的交线必与a平行•我们可以得到直线和平
平行，经过a的平面若与
相交,
a,=b，贝Ua/b.
若线面平行，则线线平行
BC//平面AiCi,
图5-43
木工师傅要过点P和BC截去一个斜角，应
例2如图5-44所示的木块，该怎样划线？
解因为BC//平面AiCi,BiCi是平面BCi与平面AiCi线，所以BC//BiCi；
过P作BiCi的平行线EF，则
EF//BiCi//BC,
所以EF、BC共面.连结EB和FC,所得的四边形EFCB在同一平面上，所以沿此四边形画线即可.
课内练习3
1.一块木板ABCD的一边AB紧靠桌面并绕AB转动，当AB的对边CD是不是都与桌面所在的平面平行？
为什么？
2.判断下面的说法是否正确：
（1）过平面外一点有无数条直线与这个平面平行；（
（2）过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行；（
（3）如果一条直线和一个平面平行，则它和这平面内的任何直线平行；（
（4）平行于同一平面的两条直线互相平行.（
Ci
图5-44
的交
必定
转动到各个位置时,
）
）
）
）
3.设a是平面外的一条直线，a//，证明在上有无数条直线与a平行.
4.已知：
长方体ABCD-AiBiCiDi，求证：
（i）BC||面AiADDi；
（2）BCi||面AiADDi；⑶CiD||面ACBi.
5.如果平面外的两条平行线中有一条和平面内某一条直线平行，试证另
条直线和这个平面平行.
3.直线和平面垂直
直线与平面相交有两种情况，一是垂直，二是斜交.我们先来研究前一种情况.
如果直线I与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线I垂直于平面，记作
I丄，直线I叫做平面的垂线，平面叫做直线I的垂面，交点叫做垂足.
画直线与平面垂直，通常是把直线画成和表示平面的平行四边形的一组对边垂直（如图5-45）.
（1）直线与平面垂直的判定
按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的，我们有下面的较为简便的方法：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直.
如图5-46,I工，m,n,mn={0}，若Im,n,那么I.
有了这个方法，要判定一条直线I是否垂直于一个平面，只
内去找到两条相交直线与I垂直就行了.这也是人们在日常生活来判定直线与平面垂直的方法•例如树立旗杆时，只要从不在一线上的两个不同的方向，看一下旗杆与水平线是否垂直，就能确杆是否与地面垂直了.
例3如图5-47，有一旗杆AB，从它的顶端A挂一条绳子下来，拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C、D、E三点处,其中C、B、E在一条直线上，若测得BC=BD=BE，证明旗杆和地面垂直.
证明因为AABC,AABD,AABE的三边对应相等，所以AABCAABDAABE，
所以/ABC=/ABD=/ABE;
垂直
ABBC，ABBD.
又知B、C、D有三点不共线，所以AB平面BCD，即旗杆和地面垂直.课内练习4
1.回答下列问题：
（1）直线I垂直于平面内的一条直线m，是否能说I?
（2）直线I垂直于平面内的两条直线m,n，是否能说I?
（3）直线I垂直于平面内的无数条直线，是否能说I?
（4）一条直线垂直于一个三角形的两条边，这条直线是否和第三边垂直?
（5）三条直线相交于同一点，且两两垂直，其中任一条直线是否
于另两条直线所确定的平面？
2.已知直线a//平面，直线b，求证ab.
3.
（第3题图）
如图，有一旗杆AB高8m，它的顶端A挂一条长
绳子并把它的一端先后放在地面上和B点不在同一条直线的两点C,D上•如果这两点和B点的
距离都是6m,求证旗杆和地面垂直.
⑵直线和平面垂直的性质当直线与平面垂直时，有如下的性质：
如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线互相平行.
如图5-48中，m,n,那么m//n.这也是判定两条直线平的另一个方法.
（3）点到平面的距离
设P是平面外的一点，过点P向作垂线，垂足为0,线段P0的长就是点P到的距离，0也叫做点P在平面内的正射影（简称射影）（如图5-49）.
例4如图5-50，已知旗杆AB垂直于水平地面，从旗杆顶拉一
图5-49
条绳子下来，拉紧后在地面上点C,D处量得BC=BD=6m，且BCBD;
若已知/CAD=30，求旗杆的高度.解因为BCBD，所以
CD=CB2BD262
A
在等腰ACD中，
所以旗杆高约15.25m.
课内练习5
1.判断题
（1）若直线l平面，直线11不平行于I，则11不垂直于
（2）若直线l//平面，直线11垂直于I，则11垂直于
（3）若直线l//平面，直线11不垂直于I，则11不垂直于
⑷若直线l,l1平行，由它们确定的平面为，若直线ml，则m
（）
（）
（）
（）
（5）若直线l,l1平行，由它们确定的平面为，若直线
（）
（6）过平面外一点，能作、且仅能作一条直线与平面垂直
2.如图，在例4中，若旗杆立在平台顶上，无法得到垂足但已知绳子长度为16m,量得CD=8.5m,且BCBD,请计算旗杆顶离地面的距离.
AB2=AC2-BC2=72（23）-36=108+723,
AB=10872315.25m.
（第2题图）
CD2=AC2+AD2-2ACADcos/CAD=（2-3）AC2,
4.直线和平面所成的角
如果直线I与平面相交而不垂直，就称直线与平面斜交.
直线叫做平面的斜线，交点叫做斜足.
我们看图5-51，直线li、|2与平面都斜交，但斜交的角度不同.应该怎样来度量这个角度呢？
现在来讨论这个问题.
设斜线I与平面交于A点，点P在I上，P在上的射影为Q;直线AQ叫做斜线I在平面上的正射影（简称射
影）（图5-52）.
可以证明，斜线与平面的射影之间形成的角（图5-52中的
）是I与内所有直线所成的角中最小的，我们把这个角叫做
I与所成的角，即：
图5-52
斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角.
若一条直线与一个平面所成的角是直角，我们就说这条直线和平面垂直；若一条直线与一个平面所成的角是0角，我们就说这条直线和平面平行或在平面内.
例5如图5-53，长方体ABCD-AiBiCiDi的棱长分别为AB=1,AD=••2,AAi=3，求对角线
2.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，求:
（1）AiCi与正方体各面所成的角的大小；
（2）DiB与面AiADDi所成角的正切值.
小结:
作业:
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教案
教师姓名
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授课形式
新授
授课日期
2013年5月28日第15周
授课时数
4
授课章节名称
§9.4平面和平面的位置关系
教学目的
理解平面与平面平行的判定和性质理解平面与平面垂直的判定和性质理解二面角的概念及求值
会应用二面角的概念解决简单的实际问题
教学重点
平面与平面平行的判定和性质平面与平面垂直的判定和性质两面角的概念
教学难点
二面角平面角的确定
平面垂直结论的应用
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
复习引入:
新授:
1.平面位置的基本关系
两个平面，的位置关系就只有两种：
（1）相交一一此时必定相交成一条直线I；称I为交线；
（2）平行一一即没有公共点，记作//.
2.平面与平面平行
（1）平面平行的判定
1如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行如图5-55,设li,I2,li12={0}，且li/,l2/，那么//.根据这个法则，还可以得到判断平面平行其它方法：
2如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
（如图5-56）.
3垂直于同一条直线的两个平面平行
画两个平面平行时，一般要使表示平面的两个平行四边形对应图只对边分别平行.例1如图5-57,E、F、G分别为空间四边形
AB、AD及对角线AC上的中点，证明：
平面EFG//
证明
ABCD的
课内练习1
1•两个平面的位置关系有哪几种？
2.判断题：
（1）若平面
（2）若平面
（）
（3）若平面
（4）若平面
内的一条直线与平面平行，则
内的两条直线分别与平面
与平行
平行，贝U与
内的无数条直线分别与平面平行，则
内的任何一条直线都与平面平行，则
平面BCD.
C
平行
平行
（5）过已知平面外一点，能作、且仅能作一个平面与已知平面平行
（6）过已知平面外一条直线，必定能作与已知平面平行的平面
3.若平面//平面，能否说内的任一直线都与内的直线平行？
能否说内的任一直线都与平行？
4.如图，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1棱AB、CD、
A1B1、C1,D1上的中点，证明：
平面ED1/平面BF1.
（2）平行平面的性质两个平行平面具有下面的性质：
如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
夹在两个平行平面间的平行线段相等.
课内练习2
（
（
（
（
）
）
）
）
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证平面A1BD//平面CD1B1.
（第4题图）
2.证明横截一块长方体形状的木块，其截面不是矩形就是平行四边形.
3.二面角和二面角的平面角
在开门时常说把门开大些或小些，实际上是指门所在平面与门框所在平面之间角度”的大
小•这个角度如何度量呢？
现在我们给出平面交角的定义.
平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半
面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直
叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面•棱为I、两个面分别为的二面角记为二面角-I-（图5-60）•
一个垂直于二面角-I-的棱I的平面，交I于点O,分别与两个平面交于半直线OA,OB，则AOB叫做二面角-I-的平面角.显然,面角的大小与垂直平面的位置无关.所以二面角的大小可用它的平面来度量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；在不会引起误解的场合，有时我们也简称
.面角是多少度.
C
我们约定，二面角的度数不小于0，不大于180.
例2在图的空间四边形ABCD中，由它们的边和对角线组
成的ABC,ADB,ADC和BCD都是等边三角形.
（1）把每个三角形所在的面看作一个半平面，共组成了多少个二面
角？
（2）证明这些二面角均相等;
（3）求每个二面角的大小.解课内练习3
1.在图5-61中，设ABC、ADB、ADC为等腰直角三角形（A=90）,BCD为等边三角形,
（1）证明以AB、AC、AD为棱的三个二面角彼此相等；以BC、CD、BD为棱的三个二面角也彼此相等；
（2）求这两组二面角的大小.
4.平面与平面垂直
（1）平面与平面垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角.
若两个平面相交形成的二面角是直二面角，则这两个平面叫做互相垂直
若平面和平面互相垂直，记作
注意，在画两个互相垂直的平面时，为了加强直观效果，如果有一个是水平平面，则把
直立平面的一组对边画成和水平平面的某一组对边垂直（见图5-62）.
下述方法经常用来判定两个平面垂直问题：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直如图5-63,直线I,I，则
这个判定方法在实际经常见到•如将帆船甲板和帆都当作平面，桅杆就是甲板的垂线，我们
可以认为帆与甲板是垂直的•又如用一端系有铅锤的线来检查墙是否和水平面垂直（如图5-64
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