概率论与数理统计第四版课后习题答案盛骤浙江大学.docx
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概率论与数理统计第四版课后习题答案盛骤浙江大学
1.
完全版
概率论与数理统计习题答案第四版盛骤(浙江大学)
浙大第四版(高等教育出版社)
第一章概率论的基本概念
1.[一]写出下列随机试验的样本空间
(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一]1)
S=2,丄……丄」00,n表小班人数
5nn:
(3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。
([一]2)
S={10,11,12,,n,}
(4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”
如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。
查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满
4次才停止检查。
([一](3))
S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}
2.[二]设A,B,C为三事件,用A,B,C的运算关系表示下列事件。
(1)A发生,B与C不发生。
表示为:
ABC或A—(AB+AC)或A—(BUC)
(2)A,B都发生,而C不发生。
(3)A,B,C中至少有一个发生表示为:
A+B+C
(4)A,B,C都发生,表示为:
ABC
(5)A,B,C都不发生,表示为:
ABC或S—(A+B+C)或A_BC
(6)A,B,C中不多于一个发生,即A,B,C中至少有两个同时不发生
相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为:
ABBCAC。
(7)A,B,C中不多于二个发生。
相当于:
A,B,C中至少有一个发生。
故表示为:
ABC或ABC
(8)A,B,C中至少有二个发生。
相当于:
AB,BC,AC中至少有一个发生。
故表示为:
AB+BC+AC
6.[三]设A,B是两事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.问⑴在什么条件下P(AB)取到最
大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少?
解:
由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知ABM$,(否则AB=$依互斥事件加法定理,
P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1与P(AUB)<1矛盾).
从而由加法定理得
P(AB)=P(A)+P(B)—P(AUB)(*)
(1)从OWP(AB)WP(A)知,当AB=A,即卩AAB时P(AB)取到最大值,最大值为
P(AB)=P(A)=0.6,
(2)从(*)式知,当AUB=S时,P(AB)取最小值,最小值为
P(AB)=0.6+0.7—1=0.3。
1
7.[四]设A,B,C是三事件,且P(A)二P(B)=P(C)士,P(AB)=P(BC)=0,
1
P(AC).求A,B,C至少有一个发生的概率。
8
解:
P(A,B,C至少有一个发生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)—P(BC)—
P(AC)+P(ABC)=
8.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26
个英语字母中任取两个字母予以排列,问能排成上述单词的概率是多少?
记A表“能排成上述单词”
从26个任选两个来排列,排法有
A26种。
每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词:
55个
P(A)二等
A26
_11
"130
9.
(设后面4
在电话号码薄中任取一个电话号码,求后面四个数全不相同的概率。
个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1,2……9)
记A表“后四个数全不同”
•/后四个数的排法有104种,每种排法等可能。
后四个数全不同的排法有A;
P(A)A4=0.504
104
10.[六]在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3人记录
其纪念章的号码。
(1)求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
10人中任选3人为一组:
选法有
且每种选法等可能。
又事件A相当于:
有一人号码为5,其余2人号码大于5。
这种组合的种数有
P(A)二
1
12
(2)求最大的号码为5的概率。
记“三人中最大的号码为
5”为事件B,同上10人中任选3人,选法有
每种选法等可能,
又事件B相当于:
有一人号码为
5,其余2人号码小于
5,选法有1
P(B)二
11.[七]某油漆公司发出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴,问一个定货4桶白漆,3桶黑漆和2
桶红漆顾客,按所定的颜色如数得到定货的概率是多少?
记所求事件为A。
在17桶中任取9桶的取法有G97种,且每种取法等可能。
取得4白3黑2红的取法有CoC:
Cj
P(A)=C14。
C3C2
G67
252
二2431
12•[八]在1500个产品中有400个次品,1100个正品,任意取200个。
(1)求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
•••在1500个产品中任取200个,取法有覷种,每种取法等可能。
200个产品恰有90个次品,取法有400100种
4001100
P(A)
90110
1500
200
(2)至少有2个次品的概率。
记:
A表“至少有2个次品”
Bo表“不含有次品”,Bi表“只含有一个次品”,同上,200个产品不含次品,取法有"20?
札200个产品含一个次品,取法有仏0叮
2001199
•••A=B0B1且Bo,Bl互不相容。
11004001100
P(A)=1-P(A)=1—[P(B。
)P(BJ]=1—
|(200丿*J1人199丿〔1500)0500)|_(200丿(200丿
13.[九]从5双不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少?
记A表“4只全中至少有两支配成一对”
则A表“4只人不配对”
从10只中任取4只,取法有4种,每种取法等可能。
「524
要4只都不配对,可在5双中任取4双,再在4双中的每一双里任取一只。
取法有4
p(A)=
C10
=_8
"21
P(A)=1_P(A)=1
13
2121
15.[十^一]将三个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别是1,2,3,的概率各为多少?
记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,
三只球放入四只杯中,放法有43种,每种放法等可能
对A1:
必须三球放入三杯中,每杯只放一球。
放法4X3X2种。
(选排列:
好比3个球在4个位置做排列)
4X3^2
P(A1)432
6
16
对A2:
必须三球放入两杯,一杯装一球,一杯装两球。
放法有
(从3个球中选2个球,选法有C;,再将此两个球放入一个杯中,选法有4
种,最后将剩余的1球放入其余的一个杯中,选法有3种。
P(A2)
2
C3439
对A3:
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
(只需从4个杯中选1个杯子,放入此
3个球,选法有4种)
1
16
4
P(A3)4
4
16.[十二]50个铆钉随机地取来用在10个部件,其中有三个铆钉强度太弱,每个部
件用3只铆钉,若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
1.法一:
用古典概率作:
把随机试验E看作是用三个钉一组,三个钉一组去铆完10个部件(在三个钉的一组中不分先后次序。
但10组钉铆完10个部件要分先后次序)
对E:
铆法有C50C47C44C23种,每种装法等可能
对a:
三个次钉必须铆在一个部件上。
这种铆法有〔C33c23〕X10
种
[C;C:
7C:
4C;3】101
P(A)34744230.00051
cAc:
7汇……心1960
法二:
用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列,顺次钉下去,直到把部件铆完。
(铆钉要计先后次序)
对E:
铆法有A。
种,每种铆法等可能
A3a4;=10Aa4;种
对A:
三支次钉必须铆在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,…或“28,29,30”位置上。
这种铆法有AAAA47■■
P(A)
1
I960
=0.00051
17.[十三]已知P(A)=0.3,P(B)=04P(AB)=0.5,求P(B|A一B)。
解一:
P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,A=AS二A(B一B)=AB一AB注意(AB)(AB^.故有
P(AB)=P(A)-P(AB)=0.7-0.5=0.2。
再由加法定理,
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7+0.6-0.5=0.8
于是P(B|A一B)
P[B(A一B)]
一P(A一B)
P(AB)
P(A一B)
0.2
0.8
=0.25
解二:
P(AB)二P(A)P(B|A)由已知》05=07卩(B|A)
P^A^05
0.7
二号二P(B|A)
1故P(AB)=P(A)P(B|A)=-
5
PWB)定义弟
P(BA)__5
P(A)P(B)-P(AB)0.70.6-0.5
0.25
18.[十四]
P(A)*,P(B|A)#,P(A|B)弓,求P(A一B)。
解:
由P(A|B)
定义P(AB)
P(B)
P(A)P(B|A)由已知条件'有丄二二3=.P(B)二丄
P(B)2P(B)')6
由乘法公式,得
1
P(AB)=P(A)P(B|A)=占
由加法公式,得P(A一B)=P(A)P(B)—P(AB)=寸g一吉二;
19.[十五]掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用
两种方法)。
解:
(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间,求
事件A发生的概率)。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,y)(x,y=1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为
S={(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}
每种结果(x,y)等可能。
21
A={掷二骰子,点数和为7时,其中有一颗为1点。
故P(A)二纟—}
63
方法
(用公式P(A|B)=
P(AB)
P(B)
S={(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能
A=“掷两颗骰子,x,y中有一个为“1”点”,B=“掷两颗骰子,x,+y=7”。
则
612
P(B)6t=1,P(AB),
62662
故P(A|B)
P(AB)
P(B)
_2_
_石=2=丄
20.[十六]据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
P(A)=P{孩子得病}=0.6,P(B|A)=P{母亲得病|孩子得病}=0.5,P(C|AB)=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解:
所求概率为P(ABC)(注意:
由于“母病”,“孩病”,“父病”都是随机事件,这里不是求P(C|AB)
P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6(X5=0.3,P(C|AB)=1-P(C|AB)=1-0.4=06
从而P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=0.3>0.6=0.18.
21.[十七]已知10只晶体管中有2只次品,在其中取二次,每次随机地取一只,作不放回抽样,求下列事件的概率。
法一:
用组合做在
(1)二只都是正品(记为事件A)
10只中任取两只来组合,每一个组合看作一个基本结果,每种
取法等可能。
P(A)二
c2
C8
C10
辱0.62
45
法二:
用排列做
10只中任取两个来排列,每一个排列看作一个基本结果,每个
排列等可能。
P(A)二
28
2
A10
45
法三:
用事件的运算和概率计算法则来作。
记Ai,A2分别表第一、二次取得正品。
2845
(2)二只都是次品(记为事件B)
法一:
P(B)=C2
G2。
法二:
A
P(B)去
A10
1
45
法三:
—————21P(B)*(人财北(几尸傀|A)吒£=45
(3)—只是正品,一只是次品(记为事件C)
法一:
C10
法二:
P(c)=(c8y2)s;
2
A10
822816=P(^)P(Ae|A!
)P(A1)P(A2|A1^;80©.丽二嗚
(4)第二次取出的是次品(记为事件D)
法一:
因为要注意第一、第二次的顺序。
不能用组合作,
法二:
P(D)=凡;A2=£
Ao5
法三:
p(d)=p(^A2AAd且aA与Aa2互斥
mAjP^iA)P(A)P(A2lA)=1o9_2_1=1
22.[十八]某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?
如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少?
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意:
第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。
H=Ai+AA?
+A^A3三种情况互斥
P(H)二P(AJP(入)P(A2|瓦)P(Ai)P(A2|入)P(A3|入A?
)
10109109810
如果已知最后一个数字是奇数(记为事件再发生的概率。
B)问题变为在B已发生的条件下,求H
P(H|B^PA1|BA1A2|BA1A2A3|B)
=P(A|B)P(A,|B)P(A2|BAjP(瓦|B)P(A2|B£)P(A3IBA1A2)
1414313
—iAiAA=
24.[十九]设有甲、乙二袋,甲袋中装有n只白球m只红球,乙袋中装有N只白球
M只红球,今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球,问取到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少?
(此为第三版19题
(1))
记Ai,A2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
TB=AiB+A2B且Ai,A2互斥
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)
n^N+i丄N
=
nmNMinmNMi
[十九]
(2)第一只盒子装有5只红球,4只白球;第二只盒子装有4只红球,5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后从第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。
记Ci为“从第一盒子中取得2只红球”。
C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得
i只红球,i只白球”,
D为“从第二盒子中取得白球”,显然Ci,C2,C3两两互斥,CiUC2UC3=S,由全概率公式,有
P(D)=P(Ci)P(D|Ci)+P(C2)P(D|C0+P(C3)P(D|C3)
C;5C27C5C4653
_C<2iiC;11C911一99
26.[二^一]已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女
人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?
解:
Ai={男人},A2={女人},B={色盲},显然AiUA2=S,AiA2=$
1
由已知条件知P(AJ=P(A2)=2P(B|^)=5%,P(B|A2)=0.25%
由贝叶斯公式,有
15
P(A|B)=
P(AB)
P(B)
P(A)P(B|A)"210020
P(A)P(B|A)P(A2)P(B|A2)一~5125「_21
H00210000
[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P,若第一次
及格则第二次及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为—
(1)若至少
2
有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率。
(2)若已知他第二次已经及
格,求他第一次及格的概率。
解:
Ai={他第i次及格},i=1,2
已知P(A1)=P(A2|A”=P,P(A2|A)=p2
(1)B={至少有一次及格}
所以B={两次均不及格^A1A2
•••p(b)=1—p(B)=1—p(AA2)j—p(A)p(A2|A)
[1-p(A)][1-p(A2|A)]
=1_(1_p)(1_P)=3p_」p2
2
22
(2)P(AA2)定义需
(*)
2
由乘法公式,有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P
由全概率公式,有P(A2^P(A1)P(A2|A!
)P(A)P(A2|A)
=PP(1—P)
将以上两个结果代入(*)得P(A1|A2)=
28.[二十五]某人下午5:
00下班,他所积累的资料表明:
到家时间
5:
35~5:
39
5:
40~5:
44
5:
45~5:
49
5:
50~5:
54
迟于5:
54
乘地铁到
家的概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车到
家的概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是回家的概率。
5:
47到家的,试求他是乘地铁
解:
设A=“乘地铁”,B=“乘汽车”,C=“5:
45~5:
49到家”,由题意,AB=$,AUB=S
已知:
P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5
P(A|C)二
P(C|A)P(A)
~~
由贝叶斯公式有
0.5X0.450.459
P(C|A)舟P(C|B)*0.6513
29.[二十四]有两箱同种类型的零件。
第一箱装5只,其中10只一等品;第二箱30
只,其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中取零件两次,每次任取一只,作不放回抽样。
试求
(1)第一次取到的零件是一等品的概率。
(2)第一次取到的零
件是一等品的条件下,第二次取到的也是一等品的概率。
解:
设Bi表示“第i次取到一等品”
i=1,2
Aj表示“第j箱产品”j=1,2,显然
A1UA2=SA1A2=$
(1)P(BJ」
2
10118
50230
=0.4(B1=A1B+A2B由全概率公式解)。
(2)P(B2|BJ
P®B2)
PQ)
110_911817
2^0.4857
(先用条件概率定义,再求
P(B1B2)时,由全概率公式解)
32.[二
卜六
(2)]如图1,2,3,4,5
L
■-R
表示继电器接点,假设每一继电器接点闭合
的概率为P,且设各继电器闭合与否相互独
立,求L和R是通路的概率。
记Ai表第i个接点接通45
记A表从L到R是构成通路的。
tA=AiA2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
P(A)=P(AiA2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)—P(A1A2A3A5)
+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(A1A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(AiA2aA4A5)+(AlA2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)—P(A1A2A3A4A5)
又由于Ai,A?
A3,A4,A5互相独立。
2323444454,
故P(A)=p+p+p+p—[p+p+p+p+p+p]
r5555、5^2c3u.4c5
+[p+p+p+p]—p=2p+3p-5p+2p
[二十六
(1)]设有4个独立工作的元件1,2,3,4。
它们的可靠性分别为Pi,P2,
P3,P4,将它们按图
(1)的方式联接,求系统的可靠性。
23
记Ai表示第i个元件正常工作,i=1,2,3,4,
A表示系统正常。
TA=A1A2A3+A1A4两种情况不互斥
P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)—P(A1A2A3A4)(加法公式)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)—P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
=P1P2P3+P1P4—P1P2P3P4(A1,A2,A3,A4独立)
34.[三^一-]袋中装有m只正品硬币,n只次品硬币,(次品硬币的两面均印有国徽)在袋中任取一只,将它投掷r次,已知每次都得到国徽。
问这只硬币是正品的概率为多
少?
解:
设“出现r次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A
由全概率公式,有
m1rnr
P(Br)=P(A)P(Br|A)P(A)P(Br|A)(—)r1r
m+n2m十n
P(A|Br)
P(A)P(Br|A)
P?
BJ
(条件概率定义与乘法公式)
35.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7。
飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击
中,飞机必定被击落。
求飞机被击落的概率。
解:
咼Hi表示飞机被i人击中,i=1,2,3。
B1,B2,B2分别表示甲、乙、丙击中飞
机
Hi=BiB2B3B1B2B3-B1B2B3,三种情况互斥。
出二B1B2B3-B1B2B3B1B2B3三种情况互斥
H3
-B2b2B3
又B1,B2,B2独立。
P(H1)=P(B1)P(B2)P(B3)P(B1)P(B2)P(B3)
P(B1)P(B2)P(B3^0.40.50.3