人教版七年级数学下《命题定理证明》拔高练习.docx

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人教版七年级数学下《命题定理证明》拔高练习

《命题、定理、证明》拔高练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）下列命题中，是假命题的是（　　）

A．三个内角都相等的三角形是等边三角形

B．有两个内角是60°的三角形是等边三角形

C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

D．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则顶角是70°

2．（5分）以下四个命题中属于假命题的是（　　）

A．直径是弦

B．过三点一定可以作一个圆

C．半径相等的两个半圆是等弧

D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

3．（5分）下列命题中，其中真命题的个数是（　　）

①平面上三个点确定一个圆②三角形的内心到三角形三边距离相等③平分弦的直径垂直于这条弦④长度相等的两条弧是等弧

A．1B．2C．3D．4

4．（5分）下列命题正确的个数有（　　）

①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；

④黄金分割比的值为

0.618

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．（5分）下列命题中，正确的命题是（　　）

A．度数相等的弧是等弧

B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．周长相等的两个圆是等圆

D．各角相等的圆内接多边形是正多边形

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是　　．

7．（5分）下列四个命题中：

①对顶角相等；②同位角相等；③全等三角形对应边相等；④菱形的对角线相等．其中，真命题的有　　（填序号）．

8．（5分）命题“同旁内角互补”是一个　　命题（填“真”或“假”）

9．（5分）下列命题：

①两直线平行，内错角相等；②如果m是无理数，那么m是无限小数；③同旁内角相等，两直线平行；④如果a是实数，那么

是无理数；⑤64的立方根是8，其中真命题是　　．

10．（5分）我们已经学习了一些定理，例如：

①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

②全等三角形的对应角相等；

③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

④等腰三角形的两个底角相等

上述定理中存在逆定理的是　　（只填序号）

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：

证明：

∵BD是∠ABC的平分线（已知）

∴∠1＝∠2（角平分线定义）

∵ED∥BC（已知）

∴∠5＝∠2（　　）

∴∠1＝∠5（等量代换）

∵∠4＝∠5（已知）

∴EF∥　　（　　）

∴∠3＝∠1（　　）

∴∠3＝∠4（等量代换）

∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）

12．（10分）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠D．说明AB∥CD的理由．

补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由

解：

∵∠1+∠2＝180°（已知）

∠2＝∠AHB（　　）

∴　　（等量代换）

∴DE∥BF（　　）

∴∠D＝∠　　（　　）

∵∠　　＝∠B（等量代换）

∴AB∥CD（　　）

13．（10分）看图填空，并在括号内说明理由：

∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠ABD＝∠CBD　（　　）

又∠CBD＝∠D（已知）

∴　　＝　　（　　）

∴　　∥　　（　　）

∴∠ABC+　　＝180°（　　）

又∠ABC＝55°（已知）

∴∠BCD＝　　．

14．（10分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．有下面三个等式：

①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成三个命题．解答下列问题

（1）写出这三个命题，并直接判断其是否是真命题；

（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．

15．（10分）课题学习：

平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．

求∠BAC+∠B+∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程

解：

过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝　　．

又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，

所以∠B+∠BAC+∠C＝180°

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：

过点C作CF∥AB）

深化拓展：

（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．

《命题、定理、证明》拔高练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）下列命题中，是假命题的是（　　）

A．三个内角都相等的三角形是等边三角形

B．有两个内角是60°的三角形是等边三角形

C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

D．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则顶角是70°

【分析】利用等边三角形的判定、平行公理及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：

A、三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确，是真命题；

B、有两个内角是60°的三角形是等边三角形，正确，是真命题；

C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题；

D、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则顶角是70°或110°，错误，是假命题；

故选：

D．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

2．（5分）以下四个命题中属于假命题的是（　　）

A．直径是弦

B．过三点一定可以作一个圆

C．半径相等的两个半圆是等弧

D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

【分析】根据圆的概念，确定圆的条件，等弧的概念，轴对称图形和中心对称图形的概念判断．

【解答】解：

直径是弦，A是真命题；

过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，B是假命题；

半径相等的两个半圆是等弧，C是真命题；

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，D是真命题；

故选：

B．

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

3．（5分）下列命题中，其中真命题的个数是（　　）

①平面上三个点确定一个圆②三角形的内心到三角形三边距离相等③平分弦的直径垂直于这条弦④长度相等的两条弧是等弧

A．1B．2C．3D．4

【分析】根据等弧的定义，确定圆的条件，垂径定理，三角形的内心的性质进行判断即可．

【解答】解：

①不在同一平面上三个点确定一个圆，故错误，是假命题；

②三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，是真命题；

③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误，是假命题；

④长度相等的两条弧不一定是等弧，因为它们的弧度不一定相等，故错误，是假命题，

真命题有1个，

故选：

A．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，熟练掌握这些性质是本题的关键．

4．（5分）下列命题正确的个数有（　　）

①若x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于10；

②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

③顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是菱形；

④黄金分割比的值为

0.618

A．0个B．1个C．2个D．3个

【分析】根据完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定即可一一判断；

【解答】解：

①错误．x2+kx+25是一个完全平方式，则k的值等于±10；

②正确．一组对边平行，一组对角相等，可以推出两组对角分别相等，即可判断是平行四边形；

③错误．顺次连接平行四边形的各边中点，构成的四边形是平行四边形；

④正确．黄金分割比的值为

0.618；

故选：

C．

【点评】本题考查完全平方式的定义，黄金分割的定义，平行四边形的判定，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

5．（5分）下列命题中，正确的命题是（　　）

A．度数相等的弧是等弧

B．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．周长相等的两个圆是等圆

D．各角相等的圆内接多边形是正多边形

【分析】根据等弧或等圆的定义，正多边形的性质一一判断即可；

【解答】解：

A、错误．完全重合的两条弧是等弧；

B、错误．正五边形不是中心对称图形；

C、正确．

D、错误．矩形的各个角相等，不是正多边形；

故选：

C．

【点评】本题考查等弧或等圆的定义，正多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是　在同一个三角形中，等边对等角　．

【分析】先改写成“如果…，那么…”的形式，然后交换题设和结论即可写出该命题的逆命题．

【解答】解：

由于命题“在同一个三角形中，等角对等边”可改写成：

在同一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的两条边相等．

所以其逆命题为：

在同一个三角形中，等边对等角，

故答案为：

在同一个三角形中，等边对等角．

【点评】对于像本题这样简写的命题，题设和结论不明显，要经过分析，找出命题中的已知事项和由已知事项推出的事项，将命题改写成“如果…，那么…”的形式，从而区分命题的题设和结论．

7．（5分）下列四个命题中：

①对顶角相等；②同位角相等；③全等三角形对应边相等；④菱形的对角线相等．其中，真命题的有　①③　（填序号）．

【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

【解答】解：

①对顶角相等是真命题；

②两直线平行，同位角相等，是假命题；

③全等三角形对应边相等是真命题；

④菱形的对角线垂直，是假命题；

故答案为：

①③

【点评】本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：

命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假．

8．（5分）命题“同旁内角互补”是一个　假　命题（填“真”或“假”）

【分析】根据平行线的性质判断命题的真假．

【解答】解：

两直线平行，同旁内角互补，所以命题“同旁内角互补”是一个假命题；

故答案为：

假．

【点评】本题考查了命题与定理：

判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

9．（5分）下列命题：

①两直线平行，内错角相等；②如果m是无理数，那么m是无限小数；③同旁内角相等，两直线平行；④如果a是实数，那么

是无理数；⑤64的立方根是8，其中真命题是　①②　．

【分析】利用平行线的性质、无理数的定义、立方根的知识及实数的有关知识分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：

①两直线平行，内错角相等，是真命题；

②如果m是无理数，那么m是无限小数，是真命题；

③同旁内角互补，两直线平行，是假命题；

④如果a是实数，那么

不一定是无理数，如a＝4，是假命题；

⑤64的立方根是4，是假命题，

故答案为：

①②

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、无理数的定义、立方根的知识及实数的有关知识，难度不大．

10．（5分）我们已经学习了一些定理，例如：

①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；

②全等三角形的对应角相等；

③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

④等腰三角形的两个底角相等

上述定理中存在逆定理的是　①③④　（只填序号）

【分析】根据勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线的判定、等腰三角形的判定即可判断；

【解答】解：

①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；有逆定理；

②全等三角形的对应角相等；没有逆定理；

③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；有逆定理；

④等腰三角形的两个底角相等；有逆定理；

故答案为①③④

【点评】本题考查勾股定理以及逆定理、线段的垂直平分线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：

证明：

∵BD是∠ABC的平分线（已知）

∴∠1＝∠2（角平分线定义）

∵ED∥BC（已知）

∴∠5＝∠2（　两直线平行，内错角相等　）

∴∠1＝∠5（等量代换）

∵∠4＝∠5（已知）

∴EF∥　BD　（　内错角相等，两直线平行　）

∴∠3＝∠1（　两直线平行，同位角相等　）

∴∠3＝∠4（等量代换）

∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）

【分析】依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠1＝∠5，再根据∠4＝∠5，即可得出EF∥BD，进而得出∠3＝∠4，即可得到EF是∠AED的平分线．

【解答】证明：

∵BD是∠ABC的平分线（已知）

∴∠1＝∠2（角平分线定义）

∵ED∥BC（已知）

∴∠5＝∠2（两直线平行，内错角相等）

∴∠1＝∠5（等量代换）

∵∠4＝∠5（已知）

∴EF∥BD（内错角相等，两直线平行）

∴∠3＝∠1（两直线平行，同位角相等）

∴∠3＝∠4（等量代换）

∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）

故答案为：

两直线平行，内错角相等；BD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．

12．（10分）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠D．说明AB∥CD的理由．

补全下面的说理过程，并在括号内填上适当的理由

解：

∵∠1+∠2＝180°（已知）

∠2＝∠AHB（　对顶角相等　）

∴　∠1+∠AHB＝180°　（等量代换）

∴DE∥BF（　同旁内角互补，两直线平行　）

∴∠D＝∠　CFH　（　两直线平行，同位角相等　）

∵∠　CFH　＝∠B（等量代换）

∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　）

【分析】根据已知条件和对顶角的性质得到∠1+∠AHB＝180°根据平行线的判定得到DE∥BF根据平行线的性质得到∠D＝∠CFH于是得到结论．

【解答】解：

∵∠1+∠2＝180°（已知），

∠2＝∠AHB（对顶角相等），

∴∠1+∠AHB＝180°（等量代换），

∴DE∥BF（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠D＝∠CFH（两直线平行，同位角相等），

∵∠CFH＝∠B（等量代换），

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：

∠1+∠AHB＝180°；同旁内角互补，两直线平行；CFH；两直线平行，同位角相等；CFH；内错角相等，两直线平行．

【点评】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的识别图形是解题的关键．

13．（10分）看图填空，并在括号内说明理由：

∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠ABD＝∠CBD　（　角平分线定义　）

又∠CBD＝∠D（已知）

∴　∠ABD　＝　∠D　（　等量代换　）

∴　AB　∥　CD　（　内错角相等两直线平行　）

∴∠ABC+　∠BCD　＝180°（　两直线平行同旁内角互补　）

又∠ABC＝55°（已知）

∴∠BCD＝　125°　．

【分析】由BD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补即可求出所求角的度数．

【解答】解：

∵BD平分∠ABC（已知）

∴∠ABD＝∠CBD　（角平分线定义）

又∠CBD＝∠D（已知）

∴∠ABD＝∠D（等量代换）

∴AB∥CD（内错角相等两直线平行）

∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行同旁内角互补）

又∠ABC＝55°（已知）

∴∠BCD＝125°．

故答案为：

角平分线定义；∠ABD；∠D；等量代换；AB；CD；内错角相等两直线平行；∠BCD；两直线平行同旁内角互补；125°．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

14．（10分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．有下面三个等式：

①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，相构成三个命题．解答下列问题

（1）写出这三个命题，并直接判断其是否是真命题；

（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）．

【分析】

（1）根据真命题的定义即可得出结论，

（2）根据全等三角形的判定方法及全等三角形的性质即可证明．

【解答】解：

（1）三个命题如下：

命题Ⅰ“如果①②成立，那么③成立”；

命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”；

命题Ⅲ“如果②③成立，那么①成立，这三个命题都是真命题．

（2）选择命题Ⅱ“如果①③成立，那么②成立”：

证明：

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△ABD和△ACE中，

∵

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD＝AE．

【点评】本题主要考查了真命题的定义及全等三角形的判定方法，难度适中．

15．（10分）课题学习：

平行线的“等角转化”功能．

阅读理解：

如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC．

求∠BAC+∠B+∠C的度数．

（1）阅读并补充下面推理过程

解：

过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝　∠DAE　．

又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，

所以∠B+∠BAC+∠C＝180°

解题反思：

从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．

方法运用：

（2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：

过点C作CF∥AB）

深化拓展：

（3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数．

【分析】

（1）根据平行线的性质即可得到结论；

（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D＝∠FCD，∠B＝∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；

（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．

【解答】解：

（1）∵ED∥BC，

∴∠C＝∠DAE，

故答案为：

∠DAE；

（2）过C作CF∥AB，

∵AB∥DE，

∴CF∥DE，

∴∠D＝∠FCD，

∵CF∥AB，

∴∠B＝∠BCF，

∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°，

∴∠B+∠BCD+∠D＝360°，

（3）如图3，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，

∴∠ABE＝

∠ABC＝30°，∠CDE＝

∠ADC＝35°，

∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°．

【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：

正确添加辅助线．