等边三角形的培优.docx

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等边三角形的培优

等边三角形培优讲义

1、等边三角形的性质：

（1）等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;

（2）等边三角形每个角的平分线与所对的中线，高线互相垂直;

（3）等边三角形的每条边上的中线、高线以及所对角的平分线相等.

2、等边三角形的判定:

（1）三条边相等的三角形是等边三角形;

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;

（3）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。

例题讲解：

1.下列三角形：

①有两个角等于

；②有一个角等于

的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

2.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，则∠APN=（）

A70B60C50D不确定

3.如图，C为线段AB上一点，在AB的同侧作等边△ACM和等边△BCN，连接AN、BM，若∠MBN=40°，则∠ANB的大小是（）

A60B65C70D80

4、如图2，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°），点P与点M分别是线段BE和AD的中点，则△CPM是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形

5、如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为_________．

第二题

第三题

6、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=_____________．

7、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为_______________.

8.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是

9.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有________个。

10.如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连接各边中点进行分割，得到第二个图（②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，…，则得到的第七个图中，共有___________个正三角形．

11、在等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方坐等边△CDE，连接BE

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长。

12、在等边△ABC中的AC延长线上取一点E,以CE为边做等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同一侧，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，求证：

（1）△CNM为等边三角形；

（2）若让△CDE绕C旋转，下列结论会发生变化吗？

AD=BE；

AD与BE交角的度数；

三角形CNM为等边三角形。

13、已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC∠AOC的角度之比为6：

5：

4，求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比

14.如图，在等边

中，

相交于点

于点

.

求证：

.

15、如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．

16、如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°，试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明

17、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．

（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是度；

（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．

18.如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是1,求六边形的周长。

19.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，求DE的长

20、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；

（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？

如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

21．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．

22.如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．

（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

点F是否在直线NE上？

都请直接写出结论，不必证明或说明理由；

（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?

若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；

（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断

（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?

若成立?

请直接写出结论，不必证明或说明理由．

23、

（1）操作发现：

如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？

并证明你发现的结论．

（2）类比猜想：

如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与

（1）相同，猜想AF与BD在

（1）中的结论是否仍然成立？

（3）深入探究：

Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？

并证明你探究的结论．

Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？

若不成立，是否有新的结论？

并证明你得出的结论．

24、阅读与理解：

图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（C与C′重合）的图形．

操作与证明：

（1）操作：

固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2；在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？

证明你的结论；

（2）操作：

若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD，BE，如图3；在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？

证明你的结论；

猜想与发现：

根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大是多少？

当α为多少度时，线段AD的长度最小是多少？

25.基本问题：

已知等边△ABC，BM=CN。

（1）写出BN、AM之间数量关系；

（2）当点M运动到BC延长线上时，其余条件不变，则

（1）的结论是否成立？

变式问题：

1。

如图等边△ABC和等边△CDE，点P为射线BC一动点，∠APK=60°，PK交直线CD于K。

（1）试探索AP、PK之间的数量关系；

（2）当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？

为什么。

26．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上［如图

（1）］，此时h3＝0可得结论：

h1＋h2＋h3＝h．”请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内［如图

（2）］，以及点P在△ABC外［如图（3）］这两种情况时，上述结论是否成立？

若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．

（1）

（2）（3）