中考复习练习之胡不归问题教师版.docx
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中考复习练习之胡不归问题教师版
0）,D为射线
中考复习之——胡不归问题
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路•由于思乡
心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径AtB（如图所示），而
忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？
胡不归？
…”.这个古老的传说，引
起了人们的思索，小伙子能否提前到家？
倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？
这就是风靡千百年的
“胡不归问题”•
例1.（2012崇安模拟），如图，占ABC在平面直角坐标系中，AB=ACA（0,2J2）,C（1,
AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为AtDtC,点P在AD上的运动速度是在CD上的个过程运动时间最少，则点
【解答】解：
假设P在AD的速度为3,在CD的速度为1,
设D坐标为（0,y）,则AD=2专*—y,CD=;|
•••设t=「一+肓,
等式变形为：
t+1y-二二=，贝yt的最小值时考虑y的取值即可,
33
•
3
一Lt+1=0,
t+（•厂二t+Jy-"）2=y2+1,
333*
•y2+（三-t）y-12+
9933
△=（^H-三t）2-4X二（-
93
•t的最小值为'；,
•-y=»
4
解法二：
假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为1V,
总时间t=二-+-=（丄_+CD）,要使t最小，就要丄—+CD最小，
3VVV33
因为AB=AC=3,过点B作BH丄AC交AC于点H,交0A于D,易证△ADHACO,所以二—=2_丄
OCDH
=3，所以二=DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD=CD，所以要丄丄+CD最小，就是要DH+BD
33
最小，就要B、D、H三点共线就行了.因为△AOCBOD，所以上!
丄='，即亠二=一，所以0D
OB0D10D
—亚
-，_
所以点D的坐标应为（0,•）.
4
【解答】解:
（1）
由题意
a-b+c=0
c=^/3
t4a+2b+c=0
?
•••抛物线解析式为y=丄丄x2-丄丄x-二，
22
•••y=：
-"x-二—（x「）2仝，
22228
•••顶点坐标（「，-丄上）.
28
（2）如图1中，连接AB，作DH丄AB于H，交0B于P,
此时丄PB+PD最小.
2
理由：
•••0A=1,OB=二,
•tan/ABO=^―,
OB3
•••/ABO=30°,
•PH=1PB,
2
.•.IPB+PD=PH+PD=DH,•此时PB+PD最短（垂线段最短）.
2
在Rt△ADH中，•••/AHD=90°,AD=—,/HAD=60°,
2
•DH=
•••丄PB+PD的最小值为匸丄丄
24
故答案为二-.
4
（3）①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，
以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点，
线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，
所以满足条件的点M有5个，即满足条件的点N也有5个，故答案为5.
②如图，Rt△AOB中，•••tan/ABO=」=,
OB3
•••/ABO=30°,
作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA，则/AEB=120°,以E为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G.
则/AFB=/AGB=60°,从而线段FG上的点满足题意,
AB
EB='=_,
COS303
•OE=OB-EB=—,
22
•F（丄，t）,EF2=EB2,
2
•（J2+（t+二）2=（亠）2,
解得匸厶亠丄或
3
66
故F「，匚一），G「，匚「）,
2626
图1
练习巩固：
1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD勺对角线AC上有一动点P,BC=6,NABC=150,则PA+PB+P啲最小值为.
【解答】解：
将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD'C',连接BD'交AC于P,交AC'于E,连
接PD,
•••/BAD=30°,/DAD'=60°,
•••/BAD'=90°,又AB=AD=AD',
•••BD.'■=6"，
/ABP=45°，又/BAP=15°,
•••/APE=/PAE=60°,
•△EAP为等边三角形，
•PA=PE,
又•••△APD◎△AED',
•PD=ED',
根据两点之间线段最短，
•AP+BP+PD的最小值=PB+PE+ED'=6二，
故答案为：
6'：
.
Dr
E
B
2.（2015内江）如图，在△ACE中，CA=CE，/CAE=30°,OO经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.
（1）试说明CE是OO的切线；
（2）若厶ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示OO的直径AB;
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当^CD+OD的最小值为6时，求OO的
2
直径AB的长.
r
【解答】解：
（1）连接OC,如图1,
r
•/CA=CE,ZCAE=30°,
•••/E=ZCAE=30°,/COE=2/A=60°,
•••/OCE=90°,
•••CE是OO的切线;
（2）过点C作CH丄AB于H，连接0C,如图2,
r
由题可得CH=h.
在Rt△OHC中，CH=OC?
sin/COH,
•h=OC?
sin60°=_OC,
2
•oc「一一h,
V33
•AB=2OC=^'-h;
3
（3）作OF平分/AOC，交OO于F，连接AF、CF、DF，如图3,
则/AOF=/COF=—/AOC=1（180°-60°）=60°
22
•/OA=OF=OC,
•△AOF、△COF是等边三角形，
•AF=AO=OC=FC,
•四边形AOCF是菱形，
•根据对称性可得DF=DO.
过点D作DH丄OC于H,
•/OA=OC，•/OCA=/OAC=30°,
•DH=DC?
sin/DCH=DC?
sin30°=丄DC,
•••1CD+OD=DH+FD.
2
根据垂线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
2
此时FH=OF?
sin/FOH=__OF=6,
2
则OF=4二，AB=2OF=8二.
•••当-LcD+OD的最小值为6时，OO的直径AB的长为87.
2
121
3.（2015日照）如图，抛物线yxmxn与直线yx-3交于Ab两点，交x轴于DC两
22
点，连接ACBC,已知A（0,3）,C（3,0）.
（1）抛物线的函数关系式为,tan/BAC=.
（2）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA过点P作PQLPA交y轴于点Q问：
是否存在点P使以A、
P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由.
（3）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速
度运动到E点，再沿线段EA以每秒、、2个单位的速度运动到点A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
-2
【解答】解：
（I）把A（0,3）,C（3,0）代入y=*x+mx+n,得
n=3
专X9+inx+n=0
解得：
严p.
*3
抛物线的解析式为y=：
x2-—x+3
22
联立、
解得:
x=0
"3
或口
Lv=i
•••点B的坐标为（4,1）.
如图1.
•••C（3,0）,B（4,1）,A（0,3）,
222
:
.AB=20,BC=2,AC=18,
229
•BC2+AC2=AB2,
•△ABC是直角三角形，
•••/ACB=90°,
•tan/BAC=：
=亠—=二
AC3^23
（n）方法一：
（1）存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似.
过点P作PG丄y轴于G,则/PGA=90°.
设点P的横坐标为x,由P在y轴右侧可得x>0,贝UPG=x.
•/PQ丄PA,/ACB=90°,
•••/APQ=/ACB=90°.
若点G在点A的下方，
①如图2①，当/PAQ=/CAB时，则△FAQCAB.
•••/PGA=/ACB=90°,/PAQ=/CAB,
•△PGABCA,
•匹=匹=丄
…-―丨―：
；.
•-AG=3PG=3x.
则P（x,3-3x）.
把P（x,3-3x）代入y=_Lx2-Jlx+3，得
22
-x2—x+3=3-3x,
22
整理得：
x2+x=0
解得：
xi=0（舍去），X2=-1（舍去）.
②如图2②，当/PAQ=/CBA时，则△PAQCBA.
同理可得：
AG=_PG=_x，贝UP（x,3-_x）,
333
把P（x,3-_Lx）代入y=-Lxx+3，得
322
_x2_二x+3=3_-x,
223
整理得：
x2-—x=0
3
解得：
xi=0（舍去），乂2=丄一，
3
•••P（「，」；
39
若点G在点A的上方，
1当/FAQ=ZCAB时，则△PAQs^CAB,
同理可得：
点P的坐标为（11,36）.
2当/PAQ=/CBA时，则△PAQs^CBA.
同理可得：
点P的坐标为P（丄_,上）.
39
综上所述：
满足条件的点p的坐标为（ii,36）、（23,2£）、（2工，览）;
3939
方法二：
作厶APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHPQGP,.J[II'
•••以A,P,Q为顶点的三角形与△ACB相似，
•二汗I'1'或「H：
…不=三T二「二它；
设P（2t,2t2-5t+3）,A（0,3）,H（2t,3）,
mIFJ_.1
①」；,1=:
;,
•••2t」，2「,
②皿Q-|
②厂，"
3-2t「5t+3
~2T
1=3
•••2ti=11,2t2=—1,（舍）,
•••满足题意的点p的坐标为（11,36）、（23,2生）、（2丄，奧）;
3939
（2）方法一：
过点E作EN丄y轴于N,如图3.
在Rt△ANE中，EN=AE?
sin45°=-AE,即AE=「EN,
2
•••点M在整个运动中所用的时间为匚+二=DE+EN.
1?
2
作点D关于AC的对称点D',连接D'E,
则有D'E=DE,D'C=DC，/D'CA=ZDCA=45°,•••/D'CD=90°,DE+EN=D'E+EN.
根据两点之间线段最短可得：
当D'、E、N三点共线时，DE+EN=D'E+EN最小.
此时，•••/D'CD=ZD'NO=ZNOC=90°,
•四边形OCD'N是矩形，
ND'=OC=3,ON=D'C=DC.
对于y=_x2-X+3,
22
当y=0时，有1x2-X+3=0,
22
解得：
X1=2,X2=3.
•D（2,0）,OD=2,
ON=DC=OC-OD=3-2=1,
NE=AN=AO-ON=3-1=2,
•••点E的坐标为（2,1）.
方法二：
作点D关于AC的对称点D',DD'交AC于点M，显然DE=D'E,
作D'N丄y轴，垂足为N,交直线AC于点E,如图4,
在Rt△ANE中，EN=AE?
sin45°=二AE,即卩AE=「EN,
2
•••当D'、E、N三点共线时，DE+EN=D'E+EN最小，
•••A（0,3）,C（3,0）,
•Iac：
y=-x+3,
•M（m,-m+3）,D（2,0）,
•DM_LAC,•KdmXKac=-1,
m-2
=_b
m=—,•M（一,—）,
222
•M为DD'的中点,
•D'（3,1）,
•/Ey=D'y=1,
•E（2,1）.
方法三：
如图，5,过A作射线AF//x轴，过D作射线DF//y轴，DF与AC交于点E.
•A（0,3）,C（3,0）,
•Iac：
y=-x+3.
•/OA=OC,/AOC=90°,
•/ACO=45°,•AF//OC,•/FAE=45
•EF=AE?
sin45°
•当且仅当AF丄DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为:
•抛物线的解析式为沪IF3,且C（3,0）,
•可求得D点坐标为（2,0）
则E点横坐标为2,将x=2代入Iac:
y=-x+3.,得y=1.所以E（2,1）.
1A
图1
k
4.（2014成都）如图，已知抛物线y（x，2）（x-4）（k为常数，k>0）与x轴从左至右依次交于点A、
8
B,与y轴交于点C,经过点B的直线y3xb与抛物线的另一个交点为D.
3
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数关系式.
（2）在
（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，—动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值.
【解答】解：
（1）抛物线y=Z（x+2）（x-4）,
0
令y=0，解得x=-2或x=4,
•••A（-2,0）,B（4,0）.
•••直线y=-一x+b经过点B（4,0）,
3
•••-—X4+b=0，解得b^—,
••直线BD解析式为：
y=-x+一.
33
当x=—5时，y=3:
•••D（-5,3二）.
•••点D（—5,3乙）在抛物线\y=±（x+2）（x—4）上,
8
•-：
（—5+2）（—5—4）=37,
8
•k—狄-
9
•抛物线的函数表达式为：
y—…（x+2）（x—4）.
__9
即y—_x2-__x-：
_.
999
（2）由抛物线解析式，令x—0,得y—-k,
•-C（0,—k）,OC—k.
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以/ABP为钝角.
因此若两个三角形相似，只可能是△ABCAPB或厶ABCPAB.
①若△ABCs^APB，则有/BAC—ZPAB,如答图2—1所示.
设P（x,y）,过点P作PN丄x轴于点N，则ON—x,PN—y.
Itv
tanZBAC—tanZPAB,即：
…,
2时2
•y—!
_x+k.
2
p（x,鱼x+k）,代入抛物线解析式y—虫（x+2）（x—4）,
28
■:
■:
2
得一（x+2）（x—4）——x+k,整理得：
x—6x—16—0,
82
解得：
x—8或x——2（与点A重合，舍去），
•P（8,5k）.
•/△ABCAPB,
.ACABRnVk2+46
…，即
怔惭6725k2+100
②若△ABCs^PAB，则有ZABC—ZPAB，如答图2—2所示.设P（x,y）,过点P作PN丄x轴于点N，则ON—x,PN—y.
/•y=Lx+__.
42
•••P（X,Zx+乂），代入抛物线解析式
42
得上（x+2）（x-4）
8
解得：
•P（6，2k）.
•/△ABCRAB,
AB=CB
■■'，
•6_=（1軒2,
^64+4k26
解得k=±':
•/k>0,
•k=_,
综上所述，k=--或k=_.
5
（3）方法一：
如答图3,由
（1）知：
D（-5,3匚）,
答图3
如答图2-2,过点D作DN丄x轴于点N,贝UDN=37,ON=5,BN=4+5=9,
•••tan/DBA=—
BN9
•••/DBA=30°.
过点D作DK//x轴，则/KDF=/DBA=30°.
过点F作FG丄DK于点G,贝UFG=--DF.
2
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：
t=AF+「DF,
2
•t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值.
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.
过点A作AH丄DK于点H，贝Ut最小=AH,AH与直线BD的交点，即为所求之F点.
•/A点横坐标为-2,直线BD解析式为：
y=-丄
•y=^：
x（-2）+亠=27,
•F（-2,2二）.
综上所述，当点F坐标为（-2,2铝：
、）时，点M在整个运动过程中用时最少.
方法二：
作DK//AB,AH丄DK,AH交直线BD于点F,
•//DBA=30°,
•/BDH=30°,
FD
•FH=DFxsin30°=,
2
•••当且仅当AH丄DK时，AF+FH最小，
AFNT]
点M在整个运动中用时为：
T■'：
■,
丄M
•••Ibd：
y=-丄上x+M_i
33
二Fx=Ax=-2,
二F（-2,小』5）-
2..
5.（2017徐州二模）二次函数y=ax—2x+c图象与x轴交于A、C两点，点C（3,0）,与y轴交于点
B（0，-3）.
（1）a-，c-；
（2）如图①，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD求•2PD-PC的最小值.
（3）如图②，点M在抛物线上，若Sambc=3，求点M的坐标.
【解答】解：
（1）把C（3,0）,B（0,-3）代入y=ax2-2x+c
得到，，解得［丹•
L9a-6+c=0I匚二-3故答案为1，-3.
（2）如图1中，作PH丄BC于H.
.•./PCH=45°
在Rt△PCH中,
PH=—PC.
2
•/「DP+PC="■（PD+一PC）=-（PD+PH）,
2
根据垂线段最短可知，当
H共线时“J:
「DP+PC最小，最小值为匚DH
在Rt△DH'B中，TBD=4,/DBH'=45
.DH-BD=2_,
2
•••匚DP+PC的最小值为匚？
2匚=4.
（3）如图2中，取点E（1,0）,作EG丄BC于G,易知EG=^2.
•••Sebc=?
BC?
EG=?
3」=3,
22
•过点E作BC的平行线交抛物线于
Mi,
=3，二匕二:
[=3,
•••直线BC的解析式为y=x-3,
•••直线M1M2的解析式为y=x-1,
r3W17
由*
V—
2、
1+VFF或
x~~2
I-」，尸
...M1（3眄1如）,M2（3+阿比向
222
根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点
）,
M3、M4也满足条件,
易知直线M3M4的解析式为y=x-5,
由’
Z解得］
脚或（
-2x-3
尸-4〔
•M3（1.-4）,M4（2,-3）,
x=2
尸-3
综上所述，满足条件的点M的坐标为•M1（3^^,丄^^）,M2（彳+佰，丄+佰），M3（1.
2222
4）,M4（2,-3）.
交于点C,经过点A的直线y=3x-b与抛物线的另一个交点为D.
（1）若点D的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为.
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P,使得以A、BP为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标.
（3）在
（1）的条件下，设点E是线段AD上一点（不含端点），连接BE,—动点Q从点B出发，沿线段
2J3
BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位运动到点D停止，问当点E的坐标
3
为多少时，点Q运动的时间最少?
【解答】解：
（1）vy=a（x+3）（X—1）,
•••点A的坐标为（-3,0）、点B两的坐标为（1,0）,
•直线y=-*x+b经过点A,
•b=—3';,
•y=-m：
j：
x—3■:
当x=2时，y=—,
则点D的坐标为（2,—57）,
•••点D在抛物线上，
•a（2+3）（2—1）=—57,
解得，a=-€二，
则抛物线的解析式为y=-二（x+3）（x—1）=—7x2—27x+3二;
PH丄x轴于H，设点P坐标（m,n）,
（2、如图1中，作
BAC=ZPBA,
•tan/BAC=tan/PBA,
二=—2-,即n=-
3-riH-1
m=—4或1（舍弃），
4（叶1）解得
Ln=a（irH-3）（inT）
当m=—4时，n=5a,
•/△BPAs^ABC,
•坐=如
…，=时
2
•AB=AC?
PB,
二4=.「一
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