第2章 整式.docx
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第2章整式
第二章整式
黎初蕾
目录
2.1整式2
2.11单项式2
2.12多项式6
2.13升（降）幂排列9
2.14同类项13
2.2整式的加减17
2.21整式的加减
（1）17
2.22整式的加减
（2）20
2.23整式的加减（3）24
2.24整式的加减（4）27
复习课30
2.1整式
2.11单项式
教学目标
Ø理解单项式及单项式系数、次数的概念。
Ø会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
Ø初步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识。
Ø通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流能力。
教学重点
Ø掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数。
教学难点
Ø单项式概念的建立。
教学方法
Ø分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程
一、复习引入
1、列代数式
（1）若正方形的边长为a，则正方形的面积是；
（2）若三角形一边长为a，并且这边上的高为h，则这个三角形的面积为；
（3）若x表示正方形棱长，则正方形的体积是；
（4）若m表示一个有理数，则它的相反数是；
（5）小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款元。
（数学教学要紧密联系学生的生活实际，这是新课程标准所赋予的任务。
让学生列代数式不仅复习前面的知识，更是为下面给出单项式埋下伏笔，同时使学生受到较好的思想品德教育。
）
2、请学生说出所列代数式的意义。
3、请学生观察所列代数式包含哪些运算，有何共同运算特征。
由小组讨论后，经小组推荐人员回答，教师适当点拨。
（充分让学生自己观察、自己发现、自己描述，进行自主学习和合作交流，可极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性。
）
二、讲授新课
1、单项式
通过特征的描述，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：
单项式，并板书归纳得出的单项式的概念，即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a，5。
2、练习
判断下列各代数式哪些是单项式？
（1）
；
（2）abc；（3）b2；（4）－5ab2；（5）y；（6）－xy2；（7）－5。
（加强学生对不同形式的单项式的直观认识，同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学）
3、单项式系数和次数
直接引导学生进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。
以四个单项式
a2h，2πr，abc，－m为例，让学生说出它们的数字因数是什么，从而引入单项式系数的概念并板书，接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，从而引入单项式次数的概念并板书。
4、例题：
例1判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
x＋1；
；
πr2；
－
a2b。
答：
不是，因为原代数式中出现了加法运算；
不是，因为原代数式是1与x的商；
是，它的系数是π，次数是2；
是，它的系数是－
，次数是3。
例2下面各题的判断是否正确？
－7xy2的系数是7；
－x2y3与x3没有系数；
－ab3c2的次数是0＋3＋2；
－a3的系数是－1；
－32x2y3的次数是7；
πr2h的系数是
。
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：
圆周率π是常数；
当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x2，－a2b等；
单项式次数只与字母指数有关。
5、游戏：
规则：
一个小组学生说出一个单项式，然后指定另一个小组的学生回答他的系数和次数；然后交换，看两小组哪一组回答得快而准。
（学生自行编题是一种创造性的思维活动，它可以改变一味由教师出题的形式，且由编题学生指定某位同学回答，可使课堂气氛活跃，学生思维活跃，使学生能够透彻理解知识，同时培养同学之间的竞争意识。
）
6、课堂练习：
课本p56：
1，2。
三、课堂小结
①单项式及单项式的系数、次数。
②根据教学过程反馈的信息对出现的问题有针对性地进行小结。
③通过判断一个单项式的系数、次数，培养学生理解运用新知识的能力，已达到本节课的教学目的。
四、课外作业
课本p59：
1，2。
板书设计
单项式
1．单项式的定义：
2．例1：
例2：
学生练习：
教学后记
2.12多项式
教学目标
Ø通过本节课的学习，使学生掌握整式多项式的项及其次数、常数项的概念。
Ø通过小组讨论、合作交流，让学生经历新知的形成过程，培养比较、分析、归纳的能力。
由单项式与多项式归纳出整式，这样更有利于学生把握概念的内涵与外延，有利于学生知识的迁移和知识结构体系的更新。
Ø初步体会类比和逆向思维的数学思想。
教学重点
Ø掌握整式及多项式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等概念。
教学难点
Ø多项式的次数
教学方法
Ø分层次教学，讲授、练习相结合
教学过程
一、复习引入
1、列代数式：
（1）长方形的长与宽分别为a、b，则长方形的周长是；
（2）某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生人；
（3）图中阴影部分的面积为_________；
（4）鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头个，脚只。
（由于本课的主题是多项式，通过列代数式引入多项式，既是对前面知识的回顾，又由此导入新课，既符合学生的认知水平，又能为学生学习新知提供丰富的素材。
）
2、观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别。
（1）2（a＋b）；
（2）21＋x；（3）a＋b；（4）2a＋4b。
（由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼他们的口表能力。
通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教室可给予适当的提示及补充。
）
二、讲授新课
1、多项式：
板书由学生自己归纳得出的多项式概念。
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。
像这样，几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中，不含字母的项，叫做常数项。
例如，多项式
有三项，它们是
，－2x，5。
其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式
是一个二次三项式。
注意：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；
（2）多项式的每一项都包括它前面的符号。
（教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想。
）
2、例题：
例1判断：
①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3、a2ｂ、ab2、b3，次数为12；
②多项式3n4－2n2＋1的次数为4，常数项为1。
这两个判断能使学生清楚的理解多项式中项和次数的概念，第
（1）题中第二、四项应为－a2b、－b3，而往往很多同学都认为是a2b和b3，不把符号包括在项中。
另外也有同学认为该多项式的次数为12，应注意：
多项式的次数为最高次项的次数。
例2指出下列多项式的项和次数：
（1）3x－1＋3x2；
（2）4x3＋2x－2y2。
解：
略。
例3指出下列多项式是几次几项式。
（1）x3－x＋1；
（2）x3－2x2y2＋3y2。
解：
略。
例4已知代数式3xn－（m－1）x＋1是关于x的三次二项式，求m、n的条件。
解：
略。
（让学生口答例2、例3，老师在黑板上规范书写格式。
讲述例2时应特别提醒学生注意，多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数。
在例3讲完后插入整式的定义：
单项式与多项式统称整式。
例4分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力。
）
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点：
6、课堂练习：
课本p59：
1，2。
①填空：
－
a2b－
ab＋1是次项式，其中三次项系数是，二次项为，常数项为，写出所有的项。
②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母x、y的三次三项式，求m、n的条件。
三、课堂小结
①理解多项式的定义，能说出一个多项式是几次几项式，最高次数是几，分别由哪几项组成，各项的系数分别为多少，常数项为几。
②这堂课学习了多项式，与前一节所学单项式合起来统称为整式，使知识形成了系统。
（让学生小结，师生进行补充。
）
四、课外作业
课本p60：
板书设计
《多项式》
1．多项式的定义：
2．例：
例：
学生练习：
教学后记
2.13升（降）幂排列
教学目标
Ø理解多项式的升（降）幂排列的概念，会进行多项式的升（降）幂排列。
Ø通过尝试和交流，让学生体会到多项式升（降）幂排列的可行性和必要性。
Ø初步体验排列组合思想与数学美感，培养学生的审美观。
教学重点
Ø会进行多项式的升（降）幂排列，体验其中蕴含的数学美。
教学难点
Ø会进行多项式的升（降）幂排列，体验其中蕴含的数学美。
教学方法
Ø分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程
一、复习引入
请运用加法交换律，任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置，可以得到几种不同的排列方式？
在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐？
（以上由学生小组讨论，得出结果后，教师可投影演示，然后与全班同学共同探讨。
充分发挥学生的主体作用，让学生成为知识的发现者，感受成功的喜悦，体验其中蕴含的数学美，增强学好数学的信心。
）
由讨论发现任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置，可以得到六种不同的排列方式，在众多的排列方式中，像x2＋x＋1与1＋x＋x2这样的排列比较整齐。
二、讲授新课
1、升幂排列与降幂排列：
这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小（或变大）的。
我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。
（板书课题：
升幂排列与降幂排列。
）
例如：
把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。
若按x的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x＋5x2－2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。
板书由学生自己归纳得出的多项式概念。
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。
像这样，几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中，不含字母的项，叫做常数项。
例如，多项式
有三项，它们是
，－2x，5。
其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式
是一个二次三项式。
注意：
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；
（2）多项式的每一项都包括它前面的符号。
（教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想。
）
2、例题：
例1游戏：
规则：
五个学生上前自己选一张卡片，根据教师要求排成一列，下面同学把排列正确的式子写下来。
－35x3
－11x7y5
＋2y
－7xy3
＋3x2y2
例如：
＋2y
－7xy3
＋3x2y2
－35x3
－11x7y5
按x降幂排列：
式子：
－11x7y5－35x3＋3x2y2－7xy3＋2y
（可激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，帮助学生进一步理解新知，从活动中巩固新学知识。
）
例2把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列。
解：
按r的升幂排列为：
－1＋2πr－πr2＋
πr3。
说明：
π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、－π2、3π。
例3把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列。
（1）按a升幂排列；
（2）按a降幂排列。
解：
（1）按a的升幂排列为：
。
（2）按a的降幂排列为：
。
想一想：
观察上面两个排列，从字母b的角度看，它们又有何特点？
（由学生参照例题自己解答。
）
例4把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列。
分析：
题中含有2个字母x和y，而各项中关于x的指数层次较全，因此，选择关于x的升（降）幂排列较为合理。
解：
按x的升幂排列为：
－1－x＋2πx2＋yx3。
例5把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列。
（1）按字母x的升幂排列得：
；
（2）按字母y的升幂排列得：
。
注意：
（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；
（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。
三、课堂小结
对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。
在排列时我们要注意：
①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；
②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升（降）幂排列。
四、课外作业
板书设计
升幂排列与降幂排列
1．升幂排列与降幂排列：
2．例：
例：
学生练习：
教学后记
2.14同类项
教学目标
Ø理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。
Ø通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索知识和合作交流的能力。
Ø初步体会数学与人类生活的密切联系。
教学重点
Ø理解同类项的概念
教学难点
Ø根据同类项的概念在多项式中找同类项。
教学方法
Ø分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程
一、复习引入
1、创设问题情境
⑴、5个人＋8个人＝
⑵、5只羊＋8只羊＝
⑶、5个人＋8只羊＝
（数学教学要紧密联系学生的生活实际、学习实际，这是新课程标准所赋予的任务。
学生尝试按种类、颜色等多种方法进行分类，一方面可提供学生主动参与的机会，把学生的注意力和思维活动调节到积极状态；另一方面可培养学生思维的灵活性，同时体现分类的思想方法。
）
2、观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。
8x2y，－mn2，5a，－x2y，7mn2，
，9a，－
，0，0.4mn2，
，2xy2。
由学生小组讨论后，按不同标准进行多种分类，教师巡视后把不同的分类方法投影显示。
要求学生观察归为一类的式子，思考它们有什么共同的特征?
请学生说出各自的分类标准，并且肯定每一位学生按不同标准进行的分类。
（充分让学生自己观察、自己发现、自己描述，进行自主学习和合作交流，可极大的激发学生学习的积极性和主动性，满足学生的表现欲和探究欲，使学生学得轻松愉快，充分体现课堂教学的开放性。
）
二、讲授新课
1、同类项的定义：
我们常常把具有相同特征的事物归为一类。
8x2y与－x2y可以归为一类，2xy2与－
可以归为一类，－mn2、7mn2与0.4mn2可以归为一类，5a与9a可以归为一类，还有
、0与
也可以归为一类。
8x2y与－x2y只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是2，y的指数都是1；同样地，2xy2与－
也只有系数不同，各自所含的字母都是x、y，并且x的指数都是1，y的指数都是2。
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项（similarterms）。
另外，所有的常数项都是同类项。
比如，前面提到的
、0与
也是同类项。
通过特征的讲述，选择所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象，并称它们为同类项。
（板书课题：
同类项。
）
（教师为了让学生理解同类项概念，可设问同类项必须满足什么条件，让学生归纳总结。
）
板书由学生归纳总结得出的同类项概念以及所有的常数项都是同类项。
2、例题：
例1判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。
（1）3x与3mx是同类项。
（）
（2）2ab与－5ab是同类项。
（）
（3）3x2y与－
yx2是同类项。
（）（4）5ab2与－2ab2c是同类项。
（）
（5）23与32是同类项。
（）
（这组判断题能使学生清楚地理解同类项的概念，其中第（3）题满足同类项的条件，只要运用乘法交换律即可；第（5）题两个都是常数项属于同类项。
一部分学生可能会单看指数不同，误认为不是同类项。
）
例2游戏：
规则：
一学生说出一个单项式后，指定一位同学回答它的两个同类项。
要求出题同学尽可能使自己的题目与众不同。
可请回答正确的同学向大家介绍写一个单项式同类项的经验，从而揭示同类项的本质特征，透彻理解同类项的概念。
（学生自行编题是一种创造性的思维活动，它可以改变一味由教师出题的程式化做法，并由编题学生指定某位同学回答，可使课堂气氛活跃，学生透彻理解知识，这种形式适合初中生的年龄特征。
学生通过一定的尝试后，能得出只要改变单项式的系数，即可得到其同类项，实际是抓住了同类项概念中的两个“相同”，从而深刻揭示了概念的内涵。
）
例3指出下列多项式中的同类项：
（1）3x－2y＋1＋3y－2x－5；
（2）3x2y－2xy2＋
xy2－
yx2。
解：
（1）3x与－2x是同类项，－2y与3y是同类项，1与－5是同类项。
（2）3x2y与－
yx2是同类项，－2xy2与
xy2是同类项。
例4k取何值时，3xky与－x2y是同类项？
解：
要使3xky与－x2y是同类项，这两项中x的次数必须相等，即k＝2。
所以当k＝2时，3xky与－x2y是同类项。
例5若把（s＋t）、（s－t）分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。
（1）
（s＋t）－
（s－t）－
（s＋t）＋
（s－t）；
（2）2（s－t）＋3（s－t）2－5（s－t）－8（s－t）2＋s－t。
解：
略。
（组织学生口头回答上面三个例题，例3多项式中的同类项可由教师标出不同的下划线，并运用投影仪打出书面解答，为合并同类项作准备。
例4让学生明确同类项中相同字母的指数也相同。
例5必须把（s－t）、（s＋t）分别看作一个整体。
）
（通过变式训练，可进一步明晰“同类项”的意义，在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、提高识别能力。
）
6、课堂练习：
请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个?
它本身是自己的同类项吗?
（学生先在课本上解答，再回答，若有错误请其他同学及时纠正。
）
三、课堂小结
①理解同类项的概念，会在多项式中找出同类项，会写出一个单项式的同类项，会判断同类项。
②这堂课运用到分类思想和整体思想等数学思想方法。
③学习同类项的用途是为了简化多项式，为下一课的合并同类项打下基础。
（课堂小结不仅仅是知识点的罗列，应使知识条理化、系统化，应上升到数学思想方法的总结与运用.采用学生相互补充完善，教师适时点拨的课堂小结方式，可训练学生的归纳能力和表达能力，提高学生学习的积极性和主动性。
）
四、课外作业
若2amb2m＋3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是______
板书设计
同类项
1．同类项的定义：
2．例：
例：
学生练习：
教学后记
2.2整式的加减
2.21整式的加减
（1）
教学目标
Ø理解合并同类项的概念，掌握合并同类项的法则。
Ø经历概念的形成过程和法则的探究过程，培养观察、归纳、概括能力，发展应用意识。
Ø渗透分类和类比的思想方法。
Ø在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点，从交流中获益。
教学重点
Ø正确合并同类项。
教学难点
Ø找出同类项并正确的合并。
教学方法
Ø分层次教学，讲授、练习相结合。
教学过程
一、复习引入
为了搞好班会活动，李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品。
他们首先购买了15本软面抄和20支水笔，经过预算，发现这么多奖品不够用，然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔。
问：
①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔？
②若设软面抄的单价为每本x元，水笔的单价为每支y元，则这次活动他们支出的总金额是多少元？
（知识的呈现过程尽量与学生已有的生活实际密切联系，从而能提高学生从事探索活动的投入程度和积极性，激发学生的求知欲。
）
二、讲授新课
1、合并同类项的定义：
（学生讨论问题2）可根据购买的时间次序列出代数式，也可根据购买物品的种类列出代数式，再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起，将它们合并起来，化简整个多项式，所的结果都为（21x＋25y）元。
由此可得：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
（板书：
合并同类项。
）
2、例题：
例1找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项，并合并同类项。
解：
原式＝
根据以上合并同类项的实例，让学生讨论归纳，得出合并同类项的法则：
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母指数保持不变。
例2下列各题合并同类项的结果对不对？
若不对，请改正。
（1）2x2＋3x2＝5x4；
（2）3x＋2y＝5xy；（3）7x2－3x2＝4；（4）9a2b－9ba2＝0。
（通过这一组题的训练，进一步熟悉法则。
）
例3合并下列多项式中的同类项：
①2a2b－3a2b＋0.5a2b；②a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3；③5（x＋y）3－2（x－y）4－2（x＋y）3＋（y－x）4。
（用不同的记号标出各同类项，会减少运算错误，当然熟练后可以不再标出。
其中第（3）题应把（x＋y）、（x－y）看作一个整体，特别注意（x－y）2n＝（y－x）2n，n为正整数。
）
解：
①
。
②
。
③原式＝5（x＋y）3－2（x－y）4－2（x＋y）3＋（x－y）4＝3（x＋y）3－（x－y）4。
例4求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值，其中x＝－3。
解：
，当x＝－3时，原式＝
。
试一试：
把x＝－3直接代入例4这个多项式，可以求出它的值吗？
与上面的解法比较一下，哪个解法更简便？
（两种方法。
通过比较两种方法，使学生认识到，在求多项式的值时，常常先合并同类项，再求值，这样比较简便。
）
6、课堂练习：
课本p66：
1，2，3。
三、课堂小结
①要牢记法则，熟练正确的合并同类项，以防止2x2＋3x2＝5x4的错误。
②从实际问题中类比概括得出合并同类项法则，并能运用法则，正确的合并同类项。
四、课外作业
课本p71：
1
合并同类项
1．合并同类项的定义：
2．例：
例：
学生练习：
板书设计
教学后记
2.22整式的加减
（2）
教学目标
Ø能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．
Ø经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力．
Ø培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度．
教学重点
Ø去括号法则，准确应用法则将整式化简．
教学难点
Ø括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．
教学关键
Ø准确理解去括号法则．
教学过程
一、新授
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？
现在我们来看本章引言中的问题（3）
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地
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