直线和圆锥曲线的位置关系练习试题.docx
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直线和圆锥曲线的位置关系练习试题
直线与圆锥曲线的位置关系练习题
一、选择题
1.双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k>-B.k<C.k>或k<-D.-<k<
2.若直线mx+ny=4与⊙O:
x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( )
A.至多为1B.2C.1D.0
3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点,则|AB|的最大值为( )
A.2B.C.D.
4.设双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( )
A.B.5C.D.
5.已知A,B为抛物线C:
y2=4x上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点,若=-4,则直线AB的斜率为( )
A.±B.±C.±D.±
6.过点(0,2)与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线有(C)
A.1条B.2条C.3条D.无数条
7.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(A)
A.相交B.相切C.相离D.不确定
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(A)
A.(1,2)B.(1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)
9.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是原点,若|AF|=3,则△AOB的面积为(C)
A.B.C.D.2
10.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,5)C.[1,5)∪(5,+∞)D.[1,5)
11.直线l:
y=x+3与曲线-=1交点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2)B.(-1,2)C.(2,+∞)D.[2,+∞)
13.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1交于不同两点A、B,则|AB|的最大值为( )
A.2B.C.D.
14.设离心率为e的双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k2-e2>1B.k2-e2<1C.e2-k2>1D.e2-k2<1
二、填空题
1.直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是________.
2.已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程是________.
3.(2013·汕头模拟)已知点P在直线x+y+5=0上,点Q在抛物线y2=2x上,则|PQ|的最小值等于________.
4.若椭圆+=1与直线x+2y-2=0有两个不同的交点,则m的取值范围是.
5.已知两定点M(-2,0),N(2,0),若直线上存在点P,使得|PM|-|PN|=2,则称该直线为“A型直线”,给出下列直线:
①y=x+1;②y=x+2;③y=-x+3;④y=-2x.其中是“A型直线”的序号是.
三、解答题
1.设F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0
(1)求|AB|;
(2)若直线l的斜率为1,求b的值.
2.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC所在直线l的方程为4x+y-20=0.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若O是坐标原点,P,Q是抛物线C上的两动点,且满足PO⊥OQ,证明:
直线PQ过定点.
3.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(1)若直线AP与BP的斜率之积为-,求椭圆的离心率;
(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足|k|>.
4.已知i,j是x,y轴正方向的单位向量,设a=xi+(y-1)j,b=xi+(y+1)j,
且满足|a|+|b|=2.
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程;
(2)设点F(0,1),点A,B,C,D在曲线C上,若与共线,与共线,
且·=0.求四边形ACBD的面积的最小值和最大值.
5.(2013·佛山质检)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:
+y2=1.如图8-9-3所示,斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线x=-3于点D(-3,m).
(1)求m2+k2的最小值;
(2)若|OG|2=|OD|·|OE|,求证:
直线l过定点.
直线与圆锥曲线的位置关系练习题解析及答案
一、选择题
1.【解析】 由双曲线的几何意义,-<k<.【答案】 D
2.【解析】 由题意知:
>2,即<2,
∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,因此直线与椭圆有2个交点.【答案】 B
3.【解析】 设椭圆与直线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则有x1+x2=-t,x1x2=.
∴|AB|=|x1-x2|=·=,
当t=0时,|AB|max=.【答案】 C
4.【解析】 双曲线-=1的一条渐近线为y=x,
由方程组消去y得,x2-x+1=0有唯一解,所以Δ=()2-4=0,=2,
e====.【答案】 D
5.【解析】 焦点F(1,0),直线AB的斜率必存在,且不为0.
故可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x中化简得ky2-4y-4k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,①y1y2=-4,②
又由=-4可得y1=-4y2,③联立①②③式解得k=±.【答案】 D
6、解析:
易知y轴与抛物线切于原点满足条件;直线y=2与抛物线的对称轴平行也满足条件;另外画出图形,易知有一条直线与抛物线切于x轴上方,故这样的直线有3条.选C.
7.选A.
8、解析:
双曲线渐近线斜率小于直线的斜率,即所以双曲线的离心率e==<2,即1<e<2,故选A.
9、解析:
设∠AFx=θ(0<θ<π)及|BF|=m,则点A到准线l:
x=-1的距离为3,
得3=2+3cosθ⇔cosθ=.又m=2+mcos(π-θ)⇔m==,
△AOB的面积为S=·|OF|·|AB|sinθ=×1×(3+)×=,故选C.
10.解析:
直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)不在椭圆+=1外部即可.
从而m≥1,又因为椭圆+=1中m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).
答案:
C
11.解析:
当x≥0时,曲线为-=1;当x<0时,曲线为+=1,如图所示,
直线l:
y=x+3过(0,3),又由于双曲线-=1的渐近线y=x的斜率>1,故直线l与曲线-=1(x≥0)有两个交点,显然l与半椭圆+=1(x≤0)有两个交点,(0,3)记了两次,所以共3个交点.答案:
D
12.解析:
过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角,已知l的倾斜角是60°,从而≥,故≥2.答案:
D
13.答案:
C
14.解析:
由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-<k<,即k2<==e2-1.答案:
C
二、填空题
1【解析】 直线y=kx+1过定点(0,1),由题意知∴m≥1,且m≠5.
【答案】 m≥1,且m≠5
2【解析】 设直线l与椭圆相交于A、B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),则
两式相减得=-,又x1+x2=8,y1+y2=4,∴=-,
故直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.
【答案】 x+2y-8=0
3.【解析】 设直线l′平行于直线x+y+5=0,且与抛物线相切,设l′:
y=-x+m,
由得y2+2y-2m=0,由Δ=4+8m=0,得m=-.
则两直线距离d==,即|PQ|min=.【答案】
4解析:
由消去x并整理得(3+4m)y2-8my+m=0,
根据条件得,解得3.
5解析:
由条件知考虑给出直线与双曲线x2-=1右支的交点情况,作图易知①③直线与双曲线右支有交点,故填①③.
三、解答题
1.解:
(1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4,
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=.
(2)l的方程为y=x+c,其中c=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组
化简得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x2=,x1x2=.
因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|,即=|x2-x1|.
则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,解得b=.
2.解:
(1)设抛物线C的方程为y2=2mx,由
得2y2+my-20m=0.∵Δ>0,∴m>0或m<-160.设B(x1,y1),C(x2,y2),
则y1+y2=-,∴x1+x2=+=10+.
再设A(x3,y3),由于△ABC的重心为F,
则解得
∵点A在抛物线上,∴2=2m.∴m=8,抛物线C的方程为y2=16x.
(2)证明:
当PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=kx+b,显然k≠0,b≠0,∵PO⊥OQ,∴kPOkOQ=-1,设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∴xPxQ+yPyQ=0.
将直线y=kx+b代入抛物线方程,得ky2-16y+16b=0,
∴yPyQ=.从而xPxQ==,∴+=0.∵k≠0,b≠0.
∴直线PQ的方程为y=kx-16k,PQ过点(16,0);
当PQ的斜率不存在时,显然PQ⊥x轴,又PO⊥OQ,
∴△POQ为等腰三角形.由
得P(16,16),Q(16,-16),此时直线PQ过点(16,0),∴直线PQ恒过定点(16,0).
3.解:
(1)设点P的坐标为(x0,y0).由题意,有+=1.①
由A(-a,0),B(a,0)得kAP=,kBP=.
由kAP·kBP=-,可得x=a2-2y,代入①并整理得(a2-2b2)y=0.
由于y0≠0,故a2=2b2.于是e2==,所以椭圆的离心率e=.
(2)证明:
依题意,直线OP的方程为y=kx,设点P的坐标为(x0,y0).
由条件得消去y0并整理得x=.②
由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2x=a2.整理得(1+k2)x+2ax0=0.
而x0≠0,于是x0=,代入②,整理得(1+k2)2=4k22+4.
由a>b>0,故(1+k2)2>4k2+4,即k2+1>4,因此k2>3,所以|k|>.
4.解析:
(1)∵|a|+|b|=2,∴+=2.
由椭圆的定义可知,动点P(x,y)的轨迹是以点F1(0,-1),F2(0,1)为焦点,以2为长轴的椭圆.∴点P(x,y)的轨迹C的方程为:
x2+=1.
(2)由条件知AB和CD是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且AB⊥CD,直线AB、CD中至少有一条存在斜率,不妨设AB的斜率为k,又AB过点F(0,1),故AB的方程为y=kx+1,将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx-1=0,设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1=,x2=,
从而|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,亦即|AB|=.
①当k≠0时,CD的斜率为-,同上可推得|CD|=,
故四边形ABCD面积S=|AB||CD|=×=.
令u=k2+,得S==2.
∵u=k2+≥2,当k=±1时u=2,S=,且S是以u为自变量的增函数,
∴≤S<2.
②当k=0时,CD为椭圆长轴,|CD|=2,|AB|=,∴S=|AB||CD|=2.
故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为,2.
5.【解】
(1)设直线l的方程为y=kx+t(k>0).由题意知t>0.
由方程组得(3k2+1)x2+6ktx+3t2-3=0.由题意知Δ>0,所以3k2+1>t2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=-,
所以y1+y2=.所以xE=-,yE=,
此时kOE==-.所以OE所在直线的方程为y=-x.
由题意知D(-3,m)在直线OE上,所以m=,即mk=1,
所以m2+k2≥2mk=2,当且仅当m=k=1时等号成立.此时由Δ>0,得0<t<2.
因此当m=k=1且0<t<2时,m2+k2取最小值2.
(2)证明 由
(1)知OD所在直线的方程为y=-x,将其代入椭圆C的方程,并由k>0,
解得G(-,).又E(-,),D(-3,),
由距离公式及t>0,得|OG|2=(-)2+()2=,
|OD|==,
|OE|==.
由|OG|2=|OD|·|OE|,得t=k.因此直线l的方程为y=k(x+1).
所以直线l恒过定点(-1,0).