苏教版七年级上册数学角提高知识点整理及重点题型梳理.docx

苏教版七年级上册数学角提高知识点整理及重点题型梳理.docx

《苏教版七年级上册数学角提高知识点整理及重点题型梳理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版七年级上册数学角提高知识点整理及重点题型梳理.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

苏教版七年级上册数学角提高知识点整理及重点题型梳理

苏教版七年级上册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

角（提高）

【学习目标】

1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算；

2.掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法；

3.掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；

5.掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算；

6．了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题．

【要点梳理】

要点一、角的概念及表示

1．角的定义：

（1）定义一：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．

图2

图1

（2）定义二：

角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．

要点诠释：

（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．

（2）平角与周角：

如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．

2.角的表示法：

角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：

要点诠释：

在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．

3.角的画法

（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．

（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．

（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．

要点二、角的比较与运算

1.角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，

1°的

为1分，记作“1′”，1′的

为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位

的角的度量制，叫做角度制．

1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．

要点诠释：

在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．

2.角的比较：

角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．

方法1：

度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．

方法2：

叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．

如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：

如下图，由图

（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图

（2）可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图（3）可得∠AOB＞∠A′O′B′．

3.角的和、差关系

如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：

∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：

∠1＝∠AOB-∠2．

要点诠释：

（1）用量角器量角和画角的一般步骤：

①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；

②重合（一边与刻度尺上的零度线重合）；

③读数（读出另一边所在线的度数）．

（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．

4.角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，

∠AOC＝∠BOC＝

∠AOB．

要点诠释：

由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．

要点三、余角、补角、对顶角

1.余角与补角

（1）定义：

一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．

类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．

（2）性质：

同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．

要点诠释：

（1）互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．

（2）一个锐角的补角比它的余角大90°．

2.对顶角

（1）定义：

由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角．

要点诠释：

（1）对顶角满足的条件：

①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

（2）只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：

①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.

（2）性质：

对顶角相等．

要点四、方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．

要点诠释：

（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；

（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；

（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；

（4）图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点．

要点五、钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．

【典型例题】

类型一、角的比较与运算

1.利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．

【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．

【答案与解析】

解：

除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．

【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：

30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．

2.计算下列各题：

（1）152°49′12″+20.18°；

（2）82°-36°42′15″；

（3）35°36′47″×9；（4）41°37′÷3．

【答案与解析】

解：

（1）解法一：

∵20.18°＝20°10′48″

即：

152°49′12″+20.18°＝173°．

解法二：

∵152°49′12″＝152.82°，

∴152.82°+20.18°＝173°．

即：

152°49′12″+20.18°＝173°．

（2）将82°化为81°59′60″，则

∴82°-36°42′15″＝45°17′45″．

423″＝7′3″，324′+7′＝5°31′，

∴35°36′47″×9＝320°31′3″．

∴41°37′÷3＝13°52′20″．

【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．

举一反三：

【变式】计算：

（1）23°45′36″+66°14′24″；

（2）180°-98°24′30″；

（3）15°50′42″×3；（4）88°14′48″÷4．

【答案】

解：

（1）23°45′36″+66°14′24″＝90°；

（2）180°-98°24′30″＝81°35′30″；

（3）15°50′42″×3＝47°32′6″；

（4）88°14′48″÷4＝22°3′42″．

3.（2016春•龙口市期中）如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，

（1）求∠MON的度数；

（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；

（4）从上面结果中看出有什么规律？

【思路点拨】

（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；

（2）和（3）均根据

（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据

（2）和（3）中的结论进行总结．

【答案与解析】

解：

（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，

∴∠BOC=120°

∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC

∴∠COM=60°，∠CON=15°

∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．

（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，

∴∠BOC=α+30°

∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC

∴∠COM=

+15°，∠CON=15°

∴∠MON=∠COM﹣∠CON=

．

（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，

∴∠BOC=90°+β

∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC

∴∠COM=45°+

，∠CON=

．

∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．

（4）从上面的结果中，发现：

∠MON的大小只和∠AOB得大小有关，与∠A0C的大小无关．

【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．

举一反三：

【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线。

某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝

（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？

若正确，请把得到这个结论的过程写出来。

【答案】

解：

正确，理由如下：

∵∠AOB的平分线OM，

∴∠AOM＝∠MOB

又∵∠MON＝∠AOM－∠AON＝∠MOB－∠AON＝（∠BON－∠MON）－∠AON

即有∠MON＝∠BON－∠MON－∠AON

∴2∠MON＝∠BON－∠AON

∴∠MON＝

（∠BON－∠AON）

类型二、余角、补角、对顶角

4.（2015春•万州区期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．

（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？

（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；

（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想∠MON与α、β有数量关系吗？

如果有，指出结论并说明理由．

【思路点拨】

（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；

（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可；

（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON=∠MOC﹣∠NOC求出即可．

【答案与解析】

解：

（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，

∴∠AOC=90°+60°=150°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC=

∠AOC=75°，∠NOC=

∠BOC=30°

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．

（2）如图2，∠MON=

α，

理由是：

∵∠AOB=α，∠BOC=60°，

∴∠AOC=α+60°，

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，

∴∠MOC=

∠AOC=

α+30°，∠NOC=

∠BOC=30°

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（

α+30°）﹣30°=

α．

（3）如图3，∠MON=

α，与β的大小无关．

理由：

∵∠AOB=α，∠BOC=β，

∴∠AOC=α+β．

∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，

∴∠MOC=

∠AOC=

（α+β），

∠NOC=

∠BOC=

β，

∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣

β=α+

β．

∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC

=

（α+β）﹣

β=

α

即∠MON=

α．

【总结升华】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得出∠MON=∠MOC﹣∠NOC．

【角397364角的有关计算例4】

举一反三：

【变式】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分AOB，OE在BOC内，且BOE＝

EOC，DOE＝70°，求EOC的度数.

【答案】

解：

设∠EOC＝

°，则BOE＝

EOC＝

°，根据题意可得：

.

解得：

.

∴EOC＝2BOE＝80°.

5．如图所示，AB和CD相交于点O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，试说明OM和ON成一条直线.

【答案与解析】

解：

∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），

∴∠AOC＝2∠AOM，∠BOD＝2∠BON（角平分线定义）.

∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），

∴∠AOM＝∠BON（等量代换）.

∵∠AON+∠BON＝180°（邻补角定义），

∴∠MON＝∠AON+∠AOM＝180°（等量代换），

∴OM和ON共线.

【总结升华】要得出OM和ON成一条直线，就要说明∠MON是平角，从图中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要证明它们的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本题得证.

类型三、方位角及钟表上有关角问题

6.轮船在海面上以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午8时到达A处，测得灯塔C在北偏西45°方向，上午10时到达B处，又测得灯塔C在北偏西60°方向．

（1）根据题设条件，选用适当的比例尺画出图形；

（2）量出BC的图上距离，并推算出BC的实际距离；轮船继续向北航行到达D处，这时灯塔C在轮船的正西方向，这时CD的实际距离是多少?

（3）你能确定轮船到达D处时的时间吗?

【答案与解析】

解：

（1）如图所示．作图步骤如下：

①从点A引南北、东西方向的两条直线，并画出∠DAC＝45°；

②轮船从8时到10时共航行了30海里，在南北方向上截取AB＝7mm（这时图距7mm表示30海里）；

③画∠DBC＝60°，射线AC、BC的交点C就是灯塔C的实际位置；

④在图上作∠CDA＝90°，CD与AD交于点D．

（2）从图中依次量出BC≈22mm，BD≈11mm，CD≈19mm，那么BC的实际距离为

≈94（海里），CD的实际距离为19×

≈81（海里）．

（3）BD的实际距离为

≈47（海里），轮船船速为15海里／时，所以，轮船到达D处所需时间为

≈3.14（小时），即3小时8分24秒．3小时8分24秒+10小时＝13小时8分24秒．

答：

轮船到达D处时的时间是13时8分24秒．

【总结升华】以A点作为南北方向所构成的平角的顶点，由观察点A、B的位置以及它们与灯塔C的夹角，由此可确定灯塔C的位置，然后根据比例尺和草图准确地画图，并计算即可．

7.时钟在四点与五点之间，在什么时刻分针与时针在同一条直线上？

【思路点拨】时钟在四点与五点之间时，时针与分针在同一条直线上，可知时针与分针可以重合或者成180°角．从而可以设四点过x分后，两针在同一直线上，从而列出方程求解．

【答案与解析】

解：

设四点过x分后，两针在同一直线上，

若两针重合，则

，解得

；

若两针成180度角，则

，解得

．

所以在4点

分或4点

分时，两针在同一直线上．

【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则：

1分针的速度为

＝6°/分；②时针的速度为

＝0.5°/分．

这样也可以当作追及问题进行处理．

举一反三：

【变式】（2015春•淄博校级期中）在时刻8：

30时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（　　）

A．60°B．70°C．75°D．85°

【答案】C．

解:

8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格．∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∴8点30分分针与时针的夹角是2.5×30°=75°.