最新人教版七年级上数学第三章一元一次方程 导学案.docx
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最新人教版七年级上数学第三章一元一次方程导学案
第三章：
一元一次方程
课题3.1.1从算式到方程
一．目标
1、能根据题意用字母表示未知数，然后分析出等量关系,再根据等量关系列出方程；
2、体会找等量关系，会用方程表示简单实际问题。
二．预习热身
根据条件列出式子
①比a大5的数：
；
②b的一半与8的差：
；
③x的3倍减去5：
；
④a的3倍与b的2倍的商：
；
⑤汽车每小时行驶v千米，行驶t小时后的路程为千米；⑥某建筑队一天完成一件工程的12
1，x天完成这件工程的；
⑦某商品原价为a元，打七五折后售价为元；
⑧某商品每件x元,买a件共要花元；
⑨某商品原价为a元，降价20%后售价为元；
⑩某商品原价为a元，升价20%后售价为元。
三．活动探究
活动1.根据条件列出等式：
①比a大5的数等于8：
；
②b的一半与7的差为6：
；
③x的2倍比10大3：
；
④比a的3倍小2的数等于a与b的和：
；
⑤某数x的30%比它的2倍少34：
。
像上面这种含有未知数的等式叫做方程。
列方程时要先设字母表示未知数，再根据问题中的相等关系列出方程。
活动2．
例1根据下面实际问题中的数量关系，设未知数列出方程：
（1）用一根长为24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长为多少？
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
（3）某校女生人数占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
解：
（1）设正方形的边长为xcm，列方程得：
。
（2）设x月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时；
列方程得：
。
（3）设这个学校学生数为x，则女生数为，
男生数为，依题意得方程：
。
四．盘点提升
上面的分析过程可以表示如下：
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
五．达标检测
1.课本80页练习（做在课本上）
2.练习本每本0.8元，小明拿了10元钱买了若干本，还找回4.4元。
问：
小明买了几本练习本？
（设未知数列出方程
3.长方形的周长为24cm，长比宽多2cm，求长和宽分别是多少。
（设未知数列出方程
【总结反思】：
课题3.1.1一元一次方程
一．目标
1、理解什么是一元一次方程；
2、理解什么是方程的解及解方程，学会检验一个数值是不是方程的解的方法。
二．预习热身
1.什么是方程?
答：
叫做方程。
2.判断下列是不是方程,是打“√”，不是打“×”：
实际问题设未知数列方程方程
①3+x（）②3+4=7（）③yx-=+6132（）
④61
=x（）⑤1082->-x（）⑥132≠+-x（）
三．活动探究
活动1.一元一次方程的概念
观察下面方程的特点
（1）4x=24
（2）1700+150x=2450（3）0.52x-（1-0.52x=80
小结：
上面各方程，它们都含有个未知数（元），未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程。
活动2.方程的解
如何求出使方程左右两边相等的未知数的值？
如方程3+x=4中，x=？
方程132=+-x中的x呢？
请用小学所学过的逆运算尝试解决上面的问题。
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
例检验2和-3是否为方程1332+=+xx的解。
解：
当x=2时，左边==，右边==，
∵左边右边（填＝或≠）
∴x=2方程的解（填是或不是）
当x=3-时，左边==，右边==，
∵左边右边（填＝或≠）
∴x=3方程的解（填是或不是）
四．盘点提升
1.这节课我们学习了什么内容？
2．什么是方程的解？
如何检验一个数是否是方程的解？
五．达标检测
1.判断下列是不是一元一次方程,是打“√”，不是打“×”：
①3+x=4（）②132=+-x（）③yx-=+6132（）④02=x
（）⑤1082->-x（）⑥3+4x=7x（）
2.检验3和-1是否为方程1（21-=+xx的解。
3.x=1是下列方程（）的解：
（A）21=-x（B）xx3412-=-
（C）41（3=--x）（D）254-=-xx
4、已知方程2321（2=-+-xxa是关于x的一元一次方程，则a=。
六．拓展训练
1．检验2和3-是否为方程2125
-=--xx的解。
2.老师要求把一篇有2000字的文章输入电脑，小明输入了700字，剩下的让小华输入，小华平均每分钟能输入50个字，问：
小华要多少分钟才能完成？
（请设未知数列出方程，并尝试求出方程的解）
【总结反思】：
课题3.1.2等式的性质
一．目标
掌握等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程。
二．预习热身
1．什么是等式？
用等号来表示相等关系的式子叫等式。
例如：
m+n=n+m，x+2x=3x，3×3+1=5×2，3x+1=5y这样的式子，都是等式。
2.方程是__________的等式，为了讨论解方程，我们先来研究等式有什么性质？
三．活动探究
活动1．探索等式性质
（1）观察课本81页图3．1-1，由它你能发现什么规律？
从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还_________；
从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是___________；
等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质。
等的性质1：
等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果________；
怎样用式子的形式表示这个性质？
注：
运用性质1时，•应注意等号两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式才能保持所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系。
如果ba=，那么=±ca
（2）观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？
可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还________；等式性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍_________；怎样用式子的形式表示这个性质？
注：
运用性质2时，应注意等式两边都乘以（或除以）同一个数，•才能保持所得结果仍是等式，但不能除以0，因为0不能作除数。
活动2.等式的性质的应用
例2利用等式的性质解下列方程：
（1）x+7=26
（2）-5x=20（3）-1
3x-5=4
分析：
-5x=20中-5x表示-5乘x，其中-5是这个式子-5x的系数，式子x•的系数为1，-x的系数为-1，如何把方程-5x=20转化为x=a形式呢？
即把-5x的系数变为1，应把方程两边同除以______。
方程-1
3x-5=4的左边的-5要去掉，同时还要把-1
3x的系数化为1，如何去掉-5呢？
根据两个互为相反数的
和为______，所以应把方程两边都加上____。
解：
（1）根据等式性质____，两边同______，得：
（2）根据等式性质____，两边都除以____，得52055
x-=--于是x=_____（3）根据等式性质______，两边都加上_____，得-13x-5+5=4+5化简，得-13
x=9再根据等式性质____，两边同除以-13（即乘以-3），得-13
x·（-3）=9×（-3）于是x=_____
请同学们自己代入原方程检验。
四．盘点提升
1．根据等式的两条性质，对等式进行变形必须等式两边同时进行，即：
•同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边；
2．等式变形时，两边加、减、乘、除的数或式必须相同；
3．利用性质2进行等式变形时，须注意除以的同一个数不能是0。
五．达标检测
1．课本第83页练习（做在练习本上）
六．拓展训练
1.回答下列问题：
（1）从a+b=b+c，能否得到a=c，为什么？
（2）从a-b=c-b，能否得到a=c，为什么？
（3）从ab=bc能否得到a=c，为什么？
（4）从ab=cb
，能否得到a=c，为什么？
6
（5）从xy=1，能否得到x=
1y
，为什么？
2.利用等式的性质解下列方程并检验
（1）-3x=15
（2）23
x-1=5
【总结反思】：
课题3.2解一元一次方程
（1）
──合并同类项
一．目标
1.会列一元一次方程解决实际问题；
2.并会合并同类项解一元一次方程。
二．预习热身
1．等式性质1：
2：
2．解方程：
（1）x-9=8
（2）3x+1=4
三．活动探究
活动1．某校三年级共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，•今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
分析：
设前年这个学校购买了x台计算机，已知去年购买数量是前年的2倍，那么去年购买___台，
又知今年购买数量是去年的2倍，则今年购买了______（即____）台；题目中的相等关系为：
三年共购买计算机140台，即前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140列方程：
_____________如何解这个方程呢？
根据分配律，x+2x+4x=（______）x=7x；
这样就可以把含x的项合并为一项，合并时要注意x的系数是1，不是0；下面的框图表示了解这个方程的具体过程：
↓合并同类项
1
7
由上可知，前年这个学校购买了20台计算机．
上面解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而达到把方程转化为ax=b的形式，其中a、b是常数。
活动2.自己试着完成例1解方程（18-62
5-2=xx
（2）364155.135.27⨯-⨯-=-+-xxxx
四．盘点提升
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤中，找等量关系是关键也是难点，本节课的两个问题的相等关系都是：
“各部分量的和＝总量”；这是一个基本的相等关系。
合并就是把类型相同的项系数相加合并为一项，也就是逆用乘法分配律，合并时，注意x或-x的系数分别是1，-1，而不是0。
五．达标检测
1．课本第88页练习第1题。
2．某班学生共60人，外出参加种树活动，根据任务的不同，要分成三个小组且使甲、乙、丙三个小组人数之比是2：
3：
5，求各小组人数。
思路：
这里甲、乙、丙三个小组人数之比是2：
3：
5，就是说把总数60•人分成___份，甲组人数占___份，乙组人数占___份，丙组人数占___份，如果知道每一份是多少，•那么甲、乙、丙各组人数都可以求得，所以本题应设每一份为x人。
关键：
本题中相等关系是什么？
____________________________________
解：
设每一份为x人，则甲组人数为__人，乙组人数为___人，丙组为___人，•列方程：
_______________
合并，得________系数化为1，得x=___
所以2x=____，3x=_____，5x=______
答：
甲组_____人，乙组___人，丙组______人。
（请同学们检验一下，答案是否合理，即这三组人数的比是否是2：
3：
5，•且这三组人数之和是否等于60）
六．拓展训练
1.足球的表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑白皮块的数目比为3：
5，一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？
解：
设每份为_____个，则黑色皮块有_____个，白色皮块有_______个列方程_________
合并，得_________
系数化为1，得x=_____
黑色皮块为___×___=____（个），白色皮块有____×___=____（个）
2.某学生读一本书，第一天读了全书的13多2页，第二天读了全书的1
2
少1•页，•还剩23页没读，问
全书共有多少页？
（设未知数，列方程，不求解）
解：
设全书共有____页，那么第一天读了（）页，第二天读了（）页。
本问题的相等关系是：
_____________+_______________+_____________=全书页数；
列方程：
_______________________。
8
3.课本第88页练习第2题。
【总结反思】：
课题3.2解一元一次方程
（2）
──移项
一．目标
1.会寻找问题中的等量关系，运用方程解决实际问题；
2.理解“移项法则”的依据，会用移项法则解方程。
二．预习热身
解方程：
（1）3x-2x=7
（2）
14
x+
12
x=3
三．活动探究
活动1.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
分析：
设这个班有x名学生，根据第一种分法，分析已知量和未知量间的关系。
（1每人分3本，那么共分出______本；共分出3x本和剩余的20本，可知道这批书共有________本；
根据第二种分法，分析已知量与未知量之间的关系。
（2每人分4本，那么需要分出_______本；需要分出4x本和还缺少25本那么这批书共有________本；
这批书的总数是一个定值（不变量）,表示它的两个式子应相等；根据这一相等关系，列方程：
__________________
本题还可以画示意图，帮助我们分析：
注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：
“表示同一个量的两个不同式子相等”。
9
分析：
方程3x+20=4x-25的两边都含有x的项（3x与4x），•也都含有不含字母的常数项（20与-25）怎样才能使它转化为x=a（常数）的形式呢？
要使方程右边不含x的项，根据等式性质1，两边都减去4x，同样，把方程两边都减去20，方程左边就不含常数项20，即3x+20-4x-20=4x-25-4x-20即3x-4x=-25-20
将它与原来方程比较，相当于把原方程左边的+20
变为-20后移到方程右边，把原方程右边的4x变为-4x后移到左边。
像上面那样，把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程等号右边的项改变符号后移到等号的左边，•也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边，注意要先变号后移项，别忘了变号。
↓移项
↓合并同类项
↓系数化为1由此可知这个班共有45个学生。
活动2.自己动手做一做
例3解方程
（1）3x+7=32-2x
（2）12
33+=-xx
四．盘点提升
上面解方程中“移项”的作用很重要：
“移项”使方程中含x的项归到方程的同一边（左边），不含x的项即常数项归到方程的另一边（右边），这样就可以通过“合并”把方程转化为x=a形式。
在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？
解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项”。
五．达标检测
1.下列移项对不对？
如果不对，错在哪里？
应当怎样改正？
（1）从3x+6=0得3x=6；
（2）从2x=x-1得到2x-x=1；
（3）从2+x-3=2x+1得到2-3-1=2x-x；2.解方程：
（1）6x-7=4x-5
（2）12
x-6=
34
x
10
（3）3x+5=4x+1（4）9-3y=5y+5
【总结反思】：
课题3.2解一元一次方程（3）
──合并同类项与移项
一．目标
1.学会探索数列中的规律，建立等量关系；
2.探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程。
二．预习热身解下列方程：
（1）9x—5x=8
（2）4x－6x－x=－15（3）7
2
32
=+
xx
三．活动探究
活动1.前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题，其实许多数列、游戏活动中也蕴
含着方程知识。
例3：
有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243„„其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？
引导学生观察这列数有什么规律？
（从符号和绝对值两方面）
学生讨论后发现：
后面一个数是前一个数的－3倍。
师生共同分析，完成解答过程：
解：
设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为－3x，第3个数为－3×（－3x=9x根据这三个数的和是－1710，得x－3x＋9x=－1710合并同类项，得7x=－1710
系数化为1，得
x=－243所以－3x=729
9x=－2187
答：
这三个数是－243、729、－2187
引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。
学生讨论、分析，探索规律，找出相等关系，如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。
活动2.
1.课本P92第13题
2.小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：
“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？
”你能帮小红解决吗？
四．盘点提升
1.你是怎样分析数列中的规律的？
2.你学会判明方程的解是否合理吗？
3.试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的一般过程五．达标检测
1.三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数。
2.在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39；
（1）培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？
（2）若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？
（学生练习，教师点评。
）
【总结反思】：
课题3.2解一元一次方程（4）
──合并同类项与移项
一．目标
1.经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想；
2.通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题，解决问题的能力。
二．预习热身
解下列方程：
（1）2385--=-xx
（2）xxx58.42.13-=--
三．活动探究
活动1.某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t。
新、旧工艺的排水量之比为2:
5，两种工艺的排水量各是多少?
分析:
因为新、旧工艺的废水排水量之比为2:
5，所以可设它们分别为2xt和5xt，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程。
解：
设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt，根据废水排量与环保限制的最大量之间的关系，得5x-200=
移项，得合并同类项，得系数化为1，得x=所以2x=,5x=
答：
新、旧工艺产生的废水排量分别为。
活动2.一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游（旅费统一支付），联系了标价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：
教师全部付费，学生按七五折付费;乙公司给的优惠条件是：
全部师生按八折付费，请你参谋参谋，选择哪家公司较省钱？
四．盘点提升
五．达标检测（学生练习，教师巡视，指导）1.课本P90练习第2题
2.课本P91第8题【总结反思】：
课题3.3解一元一次方程
（二）
----去括号
一．目标：
1、了解“去括号”是解方程的重要步骤；
2、准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的方程；
3、能找出条件中的相等关系，会列一元一次方程解答应用题。
二．预习热身
1、叙述去括号法则，化简下列各式：
（1）=；
（2）=；
（3）
=；
2、解方程：
2x+5=5x-7
前几节学习的是不带括号的一类方程的解法，本节课是学习带有括号的方程的解法，如果去掉括号，就与前面的方程一样了，所以我们要先去括号。
要去括号，就要根据去括号法则，及乘法分配律，特别是当括号前是“－”号，去括号时，各项都要变号，若括号前有数字，则要乘遍括号内所有项，不能漏乘并注意符号。
三．活动探究
活动１：
（１）你会解方程
吗？
这个方程有什么特点？
解：
去括号，得，移项得，合并同类项，得，系数化为1，得。
（２）解方程
。
解：
去括号，得，移项，得，合并同类项，得，
系数化为1，得。
去括号应注意什么？
（１），（２），
（３）:
解下列方程
１２x-（x+10=5X+2（X-1２3X-7（X-1=3-2（X+3
活动２：
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。
已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。
（教师引导学生寻找相等关系，列出方程。
）顺水行速=船速度+水流速度逆水行速=船速度-水流速度船速度指水不动（静水中的速度.
一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此可填空：
顺流速度________顺流时间________逆流速度_________逆流时间解：
设船在静水中的平均速度为千米/时，则顺流行驶的速度为千米/时，逆流行驶的速度
为千米/时，
根据相等，得方程
去括号，得移项，得合并同类项，得系数化为1，得
答：
船在静水中的平均速度为千米/时。
解方程的步骤：
活动３：
完成９５页的练习四．盘点提升
：
本结课你学到了什么？
还有什么问题要解决？
四达标检测（１００分）1、解方程
（1）
（１０分）
（2）
（１０分）
（３）
（１０分）（４）
（１０分）
（５）当x取何值时，代数式和的值相等？
（１５分）
（６）当x取何值时，代数式4x－5与3x－6的值互为相反数？
（１５分）
（７）当y取何值时，代数式2（3y＋4）的值比5（2y－7）的值大3？
（１５分）
（８）一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/时。
顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的速度和两城之间的航程.（１５分）
课题3.3解一元一次方程
（二）----去分母
一．目标：
１会运用等式性质2正确去分母解一元一次方程。
２去分母时，不含分母的项会漏乘公分母，及没有对分子加括号。
二．预习热身
1、解方程：
（14-3（2-x=5x（2=3x-1
解（2有几种放法：
哪种最简单：
2、求下列各数的最小公倍数：
（1）2，3，4；
（2）3，6，8；
（3）3，4，18；
三、活动探究
活动１（１）一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是３３，求这个数。
（２）解方程：
解：
两边都乘以，去分母，得依据去括号，得依据
移项，得依据
合并同类项，得依据
系数化为1，得依据
解有方程有几个骤：
活动２（１）解方程：
解：
两边都乘以，去分母，得去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
去分母应注意什么：
活动３完成书上９８页的练习
四．盘点提升
：
本结课你学到了什么？
还有什么问题要解决？
四达标检测（１００分）
（1）
4232+=-xx；（１０分）
（2）
21141+=--xx；（１０分）
（3）223131
x
x--=--；（１０分）
（4）
32213415xxx--+=-；（１０分）
（5）
162312=+-+xx
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