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修改后张仁元毕业论文

数形结合思想在小学数学教学中的应用

（论文题目，一级标题用三号粗黑体，居中,上下空一行）

一、数学结合思想方法简述

（正文部分一级标题用小三黑体，居中,上下空一行）

数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。

数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题，这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。

在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。

对“形”的涵义绝大多数人回答为：

空间形式。

有一部分人列举空间形式的外延来代替，例如图形、图象、实物等。

基本上没有太离谱的答案。

对“结合”的涵义答案相当多。

大多数人认为“结合”就是：

相互转化（换）、相互反映、相互表达、建立对应关系等等。

对于“数形结合”的作用。

“数无形时少直觉，形少数时难入微”。

大部分人认为“数形结合”的主要作用在于将“数”转化为“形”，化抽象为形象，使学习者建立直观的认识，或使解题者便于发现问题的隐含条件，即以“形”助“数”。

但没有人将借“数”解“形”及其同义词名单独地作为答案。

应用数形结合，让抽象变直观，再由直观到抽象，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。

通过数形结合，有助于学生对数学知识的了解和记忆。

数学是十分抽象的概念、公式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的概念（模式），可以形象地帮助学生理解和记忆。

如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时，通过十分直观的图形，帮助学生理解记忆，掌握“平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。

应用数形结合，还可以训练学生数学直觉思维能力。

在数学里，存在着大量的概念、定理、公式、以及典型题例等。

当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过第一直觉进行判断，这是一个什么方面的问题，需要用什么知识点进行解答，这就是所谓的直觉思维。

根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

关于“分数乘分数”教学，首先课始创设情境：

我们学校暑假期间粉刷了部分教室

如下图，老师的引导，将抽象变直观（可另用格子部分表达）

，

提出问题：

装修工人每小时粉刷这面墙的1/5，1/4小时可以这面墙的几分之几？

其次在引出算式1/5×1/4后，教师采用三步走的策略：

第一，学生独立思考后用图来表示出1/5×1/4这个算式。

第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，一题多变，老师变条件或数据，让他再画一次（如上图4题），引领后进生。

后进生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/5×1/4这个算式所表示的意义。

第三，点评画法步骤，倍数的概念。

讲述如何转为数学式子计算，请一些画得好的同学去展示、交流。

也请一些画得不对的同学谈谈自己的问题以及注意事项。

这样让学生亲身经历、体验“数形结合”的过程。

应用数形结合的思想，培养学生的发散思维能力。

发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题。

在数学教学中，常常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知条件与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力。

如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。

应用数形结合思想，还有可有效地培养学生的创造性思维能力。

创造性思维能力是思维的最高境界。

当前，对学生进行综合素质和能力的培养，是培养创造性人才的需要。

只有具有创造性思维能力的人，才能在各自的领域中有所创造发明，才能推动科学技术、人类社会的不断发展。

（引言正文小四号字体，行距为固定值22磅）

（内容上，引言要包含课题研究背景、目的和意义，国内外研究现状等要素）

二、数形结合是一种数学思考方法

（一级标题用小三号黑体，居中,上下空一行）

　数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。

1．先形后数的作用和意义

对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。

2．案例

中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，揭示出面积变化的规律，在教学分数应用题时，让学生通过准确的线段图，很快找出单位“l”，量和量所对应的分率，确定解题的方法，从而提高学生的逻辑思维能力和解决数学问题的能力。

如：

某医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。

现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？

用图形解题意，更有利于没有学过小数除法的学生的思考，这时我运用数形结合，将题目的意思用图表示出来：

72里有几个9？

18里有几个9？

引导学生根据题意画出示意图可以先求共有几个正方形，再求有几个三角形。

用什么方法让一些没有学过小数除法的学生明白？

有的学生想：

72÷9×（18÷9）×2；有的学生想：

82×18÷（9×9）×2。

运用图形来进行拼图、搭建为学生构建一个图形空间，让学生自己来进行观察、数数、动手实践，由直观到抽象。

看清为什么产生一题多解，得出的数量关系是“长方形白布的面积÷三角巾面积=三角巾的块数”，即72×18÷（9×9÷2）=1296÷40.5。

从而明确解题思路，甚至拓宽解题思路。

当白布长度不是9分米的整数倍时，就不能主观地用面积包含关系来解答这类习题了。

因为如果用面积包含关系来解答这类习题，其答案肯定会不符合实际。

教师借助图形来分析解决学生有关倍数、分数的问题，这种方法称之为“数形结合”。

学生既学习了分数的乘、除法概念，同时又渗透了数形结合的思想方法。

（正文小四号字体，行距为固定值22磅）

三、在数学教学教学中渗透数形结合思想

现行教材和《新课标》，注重了知识、能力、数学活动经验、数学教学思想的培养，而数学思想的核心是数学本质，要揭示数学本质，主要应阐述知识之间的内在联系、规律的发现过程、数学思想方法的渗透、理性知识的应用等有理有据地发现规律，并应用发现的规律解决实际问题。

在数学教学中，教师要注重教材，钻研教材要有深度，教材中有内涵的内容就应充分发掘出来，没有的就要进行创设，要在教学中时时渗透数形结合的思想，更重要的是教师在教学设计、教学方法、教学手段中要有渗透数形结合思想的意识。

教师充分利用教材中的主题图，让学生通过“形”找出解决问题的“数”。

在平时的教学工作中，引导学生主动而有效利用课本中的主题图或其他图形，从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题。

在课堂教学中，要给学生更大的空间．多发现学生的闪光点，让学生养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形教学对数学知识形成的意义，注意加强数形结合思想的渗透，关注学生数形结合思维能力的提高，从而培养图形与空间观念的认知能力。

四、数形结合思想在小学数学中的应用

一般来说，数形结合的应用方式主要有三种类型：

以数化形、以形变数和数形结合。

（1）以数化形由于“数”和“形”是一种对应的关系，“数”比较抽象，而“形”具有形象，直观的优点，能表达较多具体的思维。

在低年级教学中，我们常常会把数的认识与计算通过形（学具）的演示，让学生初步建立起数的概念，认识数、学习数的加减乘除法；而高年级有些数量也较复杂，我们难以把握，于是就可以把“数”的对应——“形”找出来，利用图形来解决问题。

画线段图的方法是每一个数学老师都把它当作学生学习数学的一项基本技能加以训练的，大家都知道，在教学应用题时，常可以借助形象的画线段图的方法，将问题迎刃而解。

特别是行程问题的应用题，老师们总是不忘借助线段图进行讲解；还如我们在教五年级“时间的计算”这一课，虽然很多同学通过计算就能解决问题，但知其然还要知其所然，我们就可以把时间点、时间段通过线段图来表示，学生就更容易理解，这种把数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题的方法，就是图形分析法。

（2）以形变数虽然形有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算。

如五年级数学植树问题中教学片断

模拟植树，得出线上植树的三种情况。

师：

“”代表一段路，用“/”代表一棵树，画“/”就表示种了一棵树。

请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？

学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？

师反馈，实物投影学生摆的情况。

师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：

① \___\___\___\                          两端都种

②  \___\___\___\___  或  ___\___\___\___\  一端栽种

③   ___\___\___\___\___                    两端都不种 

师生共同小结得出：

 两端都种：

棵数＝段数＋1；  一端栽种：

棵数=段数； 两端都不种 ：

棵数=段数—1。

教师利用线段图帮助学生学习。

让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习知识结合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。

（3）形数互变形数互变是指在有些数学问题中不仅仅是简单的以数变形或以形变数，而是需要形数互相变换，不但要想到由“形”的直观变为“数”的严密，还要由“数”的严密联系到“形”的直观。

解决这类问题往往需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的形数互变。

一般方法是看形思数、见数想形。

实质就是以数化形、以形变数的结合。

已知两车5小时相遇和快车每小时行60千米，则相遇时快车行驶的路程是：

60×5＝300（千米）；又知相遇点距中点40千米，肯定是快车越过了中点40千米，因此可以求出全程的长度是：

（300－40）×2＝520（千米），由此可知慢车每小时行驶的路程是：

520÷5－60＝44（千米）。

综合算式是：

（300－40）×2÷5－60＝44（千米）。

［巧妙解法］根据题意可画图如下：

观察上图，用粗线表示慢车所行的路程，用细线表示快车所行的路程，由“在距离中点40千米处相遇”可知，相遇时快车比慢车多行了（40×2）80千米，由此就可以求出快车每小时比慢车多行驶的路程是：

80÷5＝16（千米），由此可知慢车每小时行驶的路程是：

60－16＝44（千米）。

综合算式是：

60－40×2÷5＝44（千米）。

通过图形，学生轻而易举地解答出来，同时注意到数形结合应用的重要性。

五、注重对学生数形结合学习方式的应用指导

（遇一级标题换页）（一级标题用小三号黑体，居中上下空一行）

在课堂教学中，数与形的结合是教师和学生学习数学的一种思想方法，两者不能截然分开，两种都是符号，要做到数中有形，形中有数，让学生寓知识于活动之中，以形思数，帮助记忆；数形对照，加深理解；数形联系，以利解题；以形载数，以数量形；数形互释，图文并茂。

把数形结合作为培养学生形象思维能力和逻辑思维能力的终结目标。

在知识的形成过程中，突出形象的感觉、形象的储存、形象的判断、形象的创造和形象的描述，重视有效的动手操作和情境的创设，让学生动手、动跟、动口，多种感官参加学习，使操作、观察等有机结合，激发学生多向思维。

教师应充分利用学生形象思维的特点大量地用“形”解释、演示、帮助理解抽象的“数”。

如在应用题教学中特别重视发挥线段图的作用。

数学教学中的实物、示意图、线段图、平面图、立体图等是用形来表示数量关系，用形来表示数，它既能舍去应用题的具体情节，又能形象地揭示出条件与条件、条件与问题之间的关系，把数转化为形，明确显示出已知与未知的内在联系，激发学生的再造性想象，激活学生的解题思路。

在教学中，可经常进行一些根据线段图列出算式，根据算式画线段图，根据线段图编应用题，根据应用题画线段图等训练，让学生在潜移默化中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，养成根据题意画图帮助理解题意，激发学生数形结合的学习兴趣，为学生长远学习奠定好的学习方法，从而提高学生的数形转化能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。

在平时的教学中，重视在教学设计、教学方法、教学手段等多方面加以培养和训练，使学生逐渐养成数形结合的习惯，才能真正提高学生的数学分析思维能力和解决数学问题的能力，不断提高学生的逻辑思维能力和形象思维能力。

结束语

（遇一级标题换页）（一级标题用小三号黑体，居中上下空一行）

（“结论”作为全文总结，不标顺序号）

数形结合是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，发挥数与形两种信息的转换及其优势互补与整合，巧妙应用数形结合的思想方法,不仅能直观地发现解题的途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化解题的过程。

“数无形时不直观,形无数时难入微”。

华罗庚先生恰当地指出了“数”与“形”的相互依赖、相互制约的辩证关系,是对数形结合方法最通俗的、最深刻的剖析。

总之，在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中,要充分挖掘教材内容,将数形结合思想渗透于具体的问题中,在解决问题中让学生正确理解“数”与“形”的相对性,使之有机地结合起来。

当然,要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用,就要熟悉某些问题的图形背景,熟悉有关数学式中各参数的几何意义,建立结合图形思考问题的习惯,在学习中不断摸索,积累经验,加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。

用数学思想指导知识，方法的灵活运用，培养思维的深刻性、抽象性；通过组织引导对解法的简洁性的反思评估、不断优化思维品质、培养思维的严谨性、批判性。

丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。

数学方法、数学思想的自学运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。

“授之以鱼,不如授之以渔”，方法的掌握、思想的形成,才能最终使学生受益终生。

参考文献

（一级标题用小三号黑体，居中上下空一行）

（原则上遇一级标题换页。

如“结论”与“参考文献”内容较少，可合排一页）

［1］《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》北京师范大学出版社

［2］杨琴.高等数学教学中应重视数形结合思想的作用[J].才智,2009,（15）.

［3］刘雨智.浅谈数形结合在解题中的应用[J].各界（科技与教育）,2009,（02）.

［4］蒋巧君《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》小学数学教师2005年第5期

［5］曾剑华.浅淡数形结合在函数教学中的应用[J].科技创新导报,2009,（14）.

（参考文献正文五号字体，靠左顶格，行距为固定值22磅）

致谢

（遇一级标题换页）（一级标题用小三号黑体，居中上下空一行）

（“致谢”可有可无；认为必须致谢的，可以参考下文）

本论文是在黄果教授的亲切关怀和悉心指导下完成的。

从论文的选题、资料的收集到一、二、三稿的修订过程中，都经过黄教授的耐心指导和热心帮助。

黄教授经常会以电话和发邮件的方式指导论文的写作。

每次我通过电子邮件的形式发送的论文稿件，黄教授都会详细地去看，并把需要修改的部分用红色字体标记出来，再加注很多宝贵的修改建议和意见，黄教授严谨务实的工作作风非常值得我学习。

在此，我谨向导师黄教授致以崇高的敬意和衷心的感谢。

最后，向帮助我校正文字和排版以及提供写作工具的同学表示真诚的感谢。

（正文小四号字体，行距为固定值22磅）