北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形导学案.docx

北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形导学案.docx

《北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形导学案.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版数学九年级上册第1章特殊平行四边形导学案

北师大版数学九年级上册导学案

第一章

特殊平行四边形

1.1　菱形的性质与判定

第1课时　菱形的性质

【学习目标】

1．理解菱形的概念，掌握菱形的性质．

2．培养学生主动探究的习惯、严密的思维意识和审美意识．

3．经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法．

【学习重点】

理解并掌握菱形的性质．

【学习难点】

形成推理的能力．

情景导入　生成问题

1．平行四边形的一组对边平行且相等．

2．平行四边形的对角相等．

3．平行四边形的对角线互相平分．

自学互研　生成能力

先阅读教材P2－3页的内容，然后完成下面的问题：

1．菱形的定义是什么？

答：

菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形具有平行四边形的所有性质吗？

答：

菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．

1．教师拿出平行四边形木框（可活动的），操作给学生看，让学生体会到：

平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，可以得到一个菱形，说明菱形也是特殊的平行四边形，因此，菱形也具有平行四边形的所有性质．

2．如图：

将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，再打开．

思考：

（1）这是一个什么样的图形呢？

（2）有几条对称轴？

（3）对称轴之间有什么位置关系？

（4）菱形中有哪些相等的线段？

师生结论：

（1）菱形；

（2）菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线；（3）两条对称轴互相垂直；（4）菱形的四条边相等．

3．归纳结论：

菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直．

解答下列各题：

1．已知菱形ABCD的边长为3cm，则该菱形的周长为__12__cm.

2．如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A＝60°，则对角线BD＝__5__cm.

典例讲解：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长．

解：

∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD（菱形的四条边都相等），AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），OB＝OD＝

BD＝

×6＝3（菱形的对角线互相平分）．在等腰三角形ABC中，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝6.在Rt△AOB中，由勾股定理得OA2＋OB2＝AB2，∴OA＝

＝

＝3

，∴AC＝2OA＝6

.

对应练习：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB＝5cm，AO＝4cm.求BD的长．

解：

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2＋BO2＝AB2，∴BO＝

＝

＝3.∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2BO＝2×3＝6（菱形的对角线互相平分）．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索菱形的性质

知识模块二　菱形性质的应用

检测反馈　达成目标

1．已知菱形ABCD的周长为8cm，则菱形的边长为__2__cm.

2．已知菱形ABCD的两条对角线AC＝10cm，BD＝24cm，则菱形ABCD的周长为__52__cm.

3．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　B　）

A．内角和为360°　　　　　B．对角线互相垂直C．对边平行D．对角线互相平行

4．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为（　B　）

A．45°，135°　　　　　　　B．60°，120°C．90°，90°D．30°，150°

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

第2课时　菱形的判定

【学习目标】

1．理解并掌握菱形的定义及两种判定方法．

2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．

3．经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，发展学生主动探究的思想并了解说理的基本方法．

4．培养良好的探究意识以及推理能力，感悟其应用价值；培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

【学习重点】

菱形的两个判定方法．

【学习难点】

判定方法的证明及运用．

情景导入　生成问题

1．菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质：

性质1：

菱形的四条边都相等；

性质2：

菱形的对角线互相垂直．

自学互研　生成能力

先阅读教材P5－6页内容，然后完成下面的问题。

运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？

答：

2个条件：

（1）该四边形是平行四边形；

（2）该平行四边形有一组邻边相等．

1．活动1：

探下列步骤画出一个平行四边形：

（1）画一条线段长AC＝6cm；

（2）取AC的中点O，再以点O为中点画另一条线段BD＝8cm，且使BD⊥AC；

（3）顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.

猜猜你画的是什么四边形？

归纳结论：

菱形的判定方法1：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：

（1）该四边形是一个平行四边形；

（2）该四边形的两条对角线互相垂直．

2．证明菱形的判定方法1

已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.

求证：

▱ABCD是菱形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形（菱形定义）．

3．活动2：

画一画，作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.

思考：

四边形ABCD是什么四边形？

你能证明吗？

归纳结论：

菱形的判定方法2：

四条边相等的四边形是菱形．

4．证明菱形的判定方法2

已知：

如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.

求证：

四边形ABCD是菱形．

证明：

∵AB＝CD，AD＝BC.∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（菱形定义）．

解答下列各题：

1．边长等于2cm的两个等边三角形拼成的四边形一定是一个__菱__形．

2．已知四边形ABCD满足条件AB＝BC＝CD，AB∥CD，则四边形ABCD的形状一定是菱形．

典例讲解：

已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相交于点E、O、F.

求证：

四边形AECF是菱形．

证明：

∵四形边ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠2，∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴▱AECF是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）．

对应练习：

如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.

求证：

四边形ADCE是菱形．

证明：

∵MN是AC的垂直平分线．∴DA＝DC，OA＝OC，∠AOD＝∠EOC＝90°，∵CE∥AB，∴∠DAO＝∠ECO，∴△ADO≌△CEO（ASA），∴AD＝CE.∴四边形ADCE是平行四边形．又∵DA＝DC，∴▱ADCE是菱形．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索菱形的判定方法

知识模块二　菱形判定定理的应用

检测反馈　达成目标

1．如图，可以确定四边形ABCD是菱形的条件是（　B　）

A．AB＝BC，CD＝BD

B．∠1＝∠2＝∠3＝∠4

C．AB＝CD，AC⊥BD

D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD

（第2题图）

2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB＝5，OA＝3，OB＝4，则▱ABCD的周长是__20__．

3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：

四边形AEDF是菱形．

证明：

由AD⊥BC，BD＝CD，得AB＝AC.再由中位线得证四边形AEDF是平行四边形，AE＝AF.∴平行四边形AEDF是菱形．

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

1.2　矩形的性质与判定

第1课时　矩形的性质

【学习目标】

1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．

2．经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．

3．培养严谨的推理能力以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．

【学习重点】

掌握矩形的性质，并学会应用．

【学习难点】

理解矩形的特殊性质．

情景导入　生成问题

1．菱形的定义是什么？

答：

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直．

自学互研　生成能力

先阅读教材P11－12页的内容，然后完成下列的问题。

1．矩形的定义是什么？

答：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）．

2．矩形具有一般平行四边形的所有性质吗？

答：

因为矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的所有性质．

1．拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？

为什么？

（演示拉动过程如图）

2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形．

归纳结论：

矩形定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）．

3．学生观察教师的教具，研究其变化情况后，可以发现：

矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．

思考：

矩形还具有哪些特殊的性质？

为什么？

归纳结论：

矩形性质1：

矩形的四个角都是直角；矩形性质2：

矩形的对角线相等．

4．矩形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

答：

矩形是轴对称图形，有两条对称轴．

5．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，探究AO与BD的数量关系．

归纳结论：

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

解答下列各题：

1．平行四边形、矩形、菱形都具有的性质是（　B　）

A．对角线相等　　　　　　　　B．对角线互相平行C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（　C　）

A．20　　　　B．10　　　　C．5　　　　D.

典例讲解：

已知：

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4cm，求矩形对角线的长．

解：

∵四边形ABCD是矩形．∴AC与BD相等且互相平分．∴OA＝OB.又∠AOB＝60°，∴△OAB是等边三角形．∴矩形的对角线长AC＝BD＝2OA＝2×4＝8cm.

对应练习：

已知：

如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE＝BC.求证：

CE＝EF.

证明：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，且AD∥BC.∴∠1＝∠2.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°.∴∠B＝∠AFD.又AD＝AE，∴△ABE≌△DFA（AAS）．∴AF＝BE.∴EF＝EC.

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索矩形的性质

知识模块二　矩形性质的应用

检测反馈　达成目标

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝3cm，则EF＝__3__cm.

2．若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为22或20cm.

3．已知：

如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

解：

设AD＝xcm，则对角线长（x＋4）cm，在Rt△ABD中，由勾股定理：

x2＋82＝（x＋4）2，解得x＝6，则AD＝6cm；利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高有一个基本关系式：

AE·DB＝AD·AB，解得AE＝4.8cm.

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

第2课时　矩形的判定

【学习目标】

1．会证明矩形的判定定理．

2．能运用矩形的判定定理进行简单的计算与证明．

3．能运用矩形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．

【学习重点】

理解并掌握矩形的判定方法及证明，掌握判定的应用．

【学习难点】

定理的证明方法及运用．

情景导入　生成问题

1．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．

2．菱形的判定方法有哪些？

答：

定义法：

有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

判定定理：

（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（2）四边相等的四边形是菱形．

自学互研　生成能力

先阅读教材P14“做一做”，完成下面的问题：

1．运用矩形的定义进行矩形的判定，应具备几个条件？

答：

2个条件：

（1）该四边形是平行四边形；

（2）该平行四边形有一个角是直角．

2．“做一做”中随着∠α的变化，两条对角线的长度会发生怎样的变化？

答：

随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．

1．动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．

思考：

（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？

（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？

你能证明吗？

归纳结论：

对角线相等的平行四边形是矩形．

已知：

如图，在▱ABCD中，AC、DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证：

▱ABCD是矩形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC.又∵BC＝CB，AC＝DB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC＝∠DCB.∵AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝∠DCB＝

×180°＝90°.∴▱ABCD是矩形（矩形的定义）．

2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？

请证明你的结论，并与同伴交流．

归纳结论：

有三个角是直角的四边形是矩形．

解答下列各题：

1．对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．

2．下列说法错误的是（　C　）

A．有一组对角互补的平行四边形一定是矩形

B．两条对角线相等的平行四边形一定是矩形

C．对角线互相平分的四边形一定是矩形

D．有三个角是直角的四边形一定是矩形

典例讲解：

已知：

如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：

四边形EFGH是矩形．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAB＋∠ABC＝180°.又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC，∴∠EAB＋∠ABG＝

×180°＝90°.∴∠AFB＝90°，∴∠EFG＝∠AFB＝90°.同理可证∠AED＝∠BGC＝∠EFG＝90°.∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．

对应练习：

如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求▱ABCD的面积．

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝

AC，BO＝

BD.∵AO＝BO，∴▱ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．在Rt△ABC中，AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm，∴BC＝

＝4

（cm）．∴S▱ABCD＝AB·BC＝4×4

＝16

（cm2）．

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索矩形的判定方法

知识模块二　矩形判定定理的应用

检测反馈　达成目标

1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（　D　）

A．AB＝CD　　　　　　B．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD

2．下列说法正确的是（　D　）

A．一组对边平行且相等的四边形是矩形

B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形

C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形

D．一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形

3．在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，则它的面积是__48__．

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：

四边形ADCE是矩形．

证明：

∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD＝

∠BAC，∠CAN＝

∠CAM.∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝

（∠BAC＋∠CAM）＝

×180°＝90°.在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）

课后反思　查漏补缺

1．收获：

________________________________________________________________________

2．存在困惑：

________________________________________________________________________

1.3　正方形的性质与判定

第1课时　正方形的性质

【学习目标】

1．掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．

2．掌握正方形的性质，能正确运用正方形的性质解题．

【学习重点】

探索正方形的性质定理．

【学习难点】

掌握正方形的性质的应用方法．

情景导入　生成问题

1．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直．

2．矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．

3．有一组邻边相等的平行四边形叫菱形；有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

自学互研　生成能力

阅读教材P20“议一议”及其上面的内容，然后完成下面的问题：

1．正方形的定义是什么？

答：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

2．正方形是矩形吗？

是菱形吗？

答：

正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形．

1．在我们的生活中除了矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？

2．展示正方形图片，让学生观察它们有什么共同特征．

归纳结论：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

3．做一做：

用一张长方形的纸片折出一个正方形．

4．观察：

这个正方形具有哪些性质？

归纳结论：

正方形的四个角都是直角，四条边相等．正方形的对角线相等且互相垂直平分．

5．议一议：

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？

你能用一个图直观地说明吗？

答：

如图：

解答下列各题：

1．正方形具有而矩形不具有的性质是（　B　）

A．四个角都是直角　　　　　B．一条对角线平分一组对角C．对角线相等D．对边互相平行

2．下列性质，正方形具有而菱形不具有的性质是③⑤⑦（填序号）①四边相等；②对角线互相平分；③对角线相等；④对角线互相垂直；⑤四个角都是直角；⑥每一条对角线平分一组对角；⑦有4条对称轴．

典例讲解：

如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．

分析：

根据直角三角形全等的判定定理，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF＝∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE，所以可得∠EAF＝45°.

解：

在Rt△ABF与Rt△AGF中，∵AB＝AG，AF＝AF，∠B＝∠AGF＝90°，∴△ABF≌△AGF（HL），∴∠BAF＝∠GAF，同理易得：

△AGE≌△ADE，有∠GAE＝∠DAE；即∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝

（∠DAG＋∠BAG）＝

∠DAB＝45°，故∠EAF＝45°.

对应练习：

四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF.

（1）求证：

△ADE≌△ABF；

（2）填空：

△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；

（3）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积．

解：

（1）由SAS证明△ADE≌△ABF；（3）由勾股定理得AE＝10，由

（1）得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，进而证∠EAF＝90°，∴△AEF的面积＝

AE2＝

×100＝50.

交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　探索正方形的性质

知识模块二　正方形性质的应用

检测反馈　达成目标

1．如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PM⊥AD于M，PN⊥AB于N，若AB＝4，则四边形ANPM的周长等于（　B　）

A．4　　　B．8　　　C．4

　　　D．8

2．如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A、C作l的垂线，垂足分别为E、F.若AE＝1，C