材料力学习题解答第五章要点.docx
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材料力学习题解答第五章要点
5-1构件受力如图5-26所示。
试：
（1确定危险点的位置；（2用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图
解：
a1危险点的位置：
每点受力情况相同，均为危险点；
2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b1危险点的位置：
外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；
2）应力状态见下图。
c1危险点：
A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；
2）应力状态见下图。
d1）危险点：
杆件表面上各点；2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
20
10
题5-2图
解：
a1σ=50MPa,
2σ=3σ=0,属于单向应力状态
AB
A
T
（a）（c）（d）
d
3
64d
Fl
πτ=
a
bcd
ab
c
b1σ=40MPa,2σ=0,3σ=－30MPa，属于二向应力状态c1σ=20MPa,2σ=10MPa,3σ=－30MPa，属于三向应力状态
5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa）。
试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
题5-3图
解：
a取水平轴为x轴，则根据正负号规定可知：
xσ=50MPa,yσ=30MPa,xτ=0,α=－30带入式（5-3），（5-4）得ατασσ
σσ
σα2sin2cos2
2
xy
x
y
x
--+
+=
=45MPa
ατασσ
τα2cos2sin2
xy
x
+-=
=-8.66MPa
b取水平轴为x轴，根据正负号规定：
xσ=-40MPa,yσ=0,xτ=20MPa,α=120
带入公式，得：
240sin20240
cos2
4020
40---+
+-=
ασ=7.32MPa
xτ=
240cos20240sin2
40+--=7.32MPa
c取水平轴为x轴，则
xσ=-10MPa,yσ=40MPa,xτ=-30MPa,α=30
代入公式得：
60sin30（60cos2
40
1024010----+
+-=
ασ=28.48MPa
xτ=
60cos3060sin2
40
10---=-36.65MPa
5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa）。
试用解析法求：
（1指定斜截面上
a
b
c
的应力；（2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；（3最大切应力。
题5-4图
a解：
（1）求指定斜截面的上应力
取水平轴为x轴，则xσ=100MPa,yσ=40MPa,xτ=40MPa,α=45带入公式，得:
90sin4090cos2
40
1002
40100--+
+=ασ=30MPa
ατ=
90cos4090sin2
40
100+-=30MPa
（2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
22
min
max2
2
xy
x
y
xτσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
=
20120402401002
40
1002
2
=+⎪
⎭
⎫⎝⎛-±
+MPa按代数值321σσσ≥≥得
1201=σMPa，202=σMPa，03=σMPa由公式（5-7）可求得主应力方向33.140
100402220-=-⨯-
=--
=y
x
x
tgσ
σ
τα
02α=13.53，0α=
57.26
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为顺时针
57.26
3）最大切应力
由公式（5-20）602
01202
3
1max=-=
-=
σστMPa
b）解：
（1）求指定斜截面上的应力
取水平轴为x轴，xσ=60MPa,yσ=-20MPa,xτ=-30MPa,α=-30
代入公式得:
bc
a
60sin（3060cos（2
20（602
20（60
-+---+
-+=
ασ=14.02MPa
ατ=
60cos（3060sin（2
20（60-----=-49.64MPa
（2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
22
min
max2
2
xy
x
y
xτσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
307030（220（602
20（602
2
-=-+⎪
⎭
⎫⎝⎛--±
-+=
MPa按代数值321σσσ≥≥得
701=σMPa，02=σMPa，303-=σMPa
由公式（5-7）可求得主应力方向75.0
20（6030220=----
=--
=y
x
x
tgσ
σ
τα
02α=87.36，0α=43.18
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为逆时针57.26如图所示：
3）最大切应力由公式（5-20）502
30（702
3
1max=--=
-=σστMPa
c解:
取水平轴为x轴，则
xσ=60MPa,yσ=0,xτ=-40MPa,α=-150
代入公式得：
300sin（40（300cos（2
0602060-----++=
ασ=79.64MPa
xτ=
300cos（40300sin（2
40
60----=5.98Mpa
（2求主应力及其方向，由公式（5-8）得：
22
min
max2
2
xy
x
y
xτσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
208040（20602
0602
2
-=-+⎪⎭
⎫⎝⎛-±
+=
MPa按代数值321σσσ≥≥得
1201=σMPa，202=σMPa，03=σMPa
由公式（5-7）可求得主应力方向3
40
60402220=
-⨯--
=--
=y
x
x
tgσ
σ
τα
02α=13.53，0α=57.26
最大主应力1σ的方向与x轴正向夹角为逆时针57.26如图所示：
3）最大切应力
由公式（5-20）502
20（802
3
1max=--=
-=
σστ
5-5已知一点的应力状态如图5-30所如图所示（应力状态为MPa）。
试用图解法求：
（1指定斜截面上的应力；（2主应力及其方位，并在单元体上画出主应力状态；（3最大切应力。
题5-5图
解：
（1求指定斜截面上的应力
由图示应力状态可知xσ=40MPa,yσ=20MPa,xτ=10MPa,yτ=-10MPa
由此可确定σ-τ面内的D、D’两点，连接D、D’交于C。
以C为圆心，DD’为直径可做应力圆，斜截面与x轴正方向夹角为60
，在应力圆上，由D逆时针量取120
得E点，按比例量的E点坐标即为斜截面上的正应力和切应力：
ασ=Ex=60MPa，ατ=Ey=3.7MPa
（2）求主应力及其方程
应力圆中A、B两点横坐标对应二向应力状态的两个主应力：
Ax=max
σ
=44.14MPa，Bx=minσ=15.86Mpa
b
c
a
按照321σσσ≥≥得约定，可得三个主应力为：
1σ=44.14MPa，2σ=15.86MPa，3σ=0MPa由D转向A的角度等于20α。
量得20α=45（顺时针）因此，最大主应力与x轴正方向夹角为顺时针22.5。
（3）最大切应力等于由1σ3σ画出的应力圆的半径maxτ=22.07MPab解：
首先做应力圆：
其中D（0，-20）D'（50，+20）
1）斜截面与y轴正方向夹角45（逆），因此从D'逆时针量20α=90
得E点：
Ex=ασ=5MPa，Ey=ατ=25Mpa2Ax=maxσ=57MPa，Bx=minσ=-7Mpa
按照321σσσ≥≥得1σ=57MPa，2σ=0MPa，3σ=-7MPa主应力方向：
最大主应力与y轴夹角为
33.1921
'
=∠CAD（顺）
3最大切应力等于由
3
1,σσ画出的应力圆的半径：
32
max=τMPa
（c解：
由图示应力状态可得应力圆上两点D（-20，20）和D'
（30，-20）
连DD'交σ轴于C,以C为圆心，DD'为直径作圆，即为应力圆，如图所示
1）斜截面与x轴正方向夹角为60（顺,因此由D顺时针量120得E点Ex=ασ=34.82MPa，Ey=ατ=11.65MPa
2）主应力及其方位
应力圆与σ轴的两个交点A,B的横坐标即为两个主应力：
Ax=maxσ=37MPa，Bx=minσ=-27Mpa因此1σ=37MPa，2σ=0MPa，3σ=-27MPa
由D'到A的夹角为逆时针38.66，因此最大主应力为由y轴正方向沿逆时针量19.33所得截面上的正应力。
3）最大切应力为由31,σσ画出的应力圆半径32max=τMPa
5-6一矩形截面梁，尺寸及载荷如图5-31所示，尺寸单位为mm。
试求：
（1梁上各指定点的单元体及其面上的应力；（2作出各单元体的应力圆，并确定主应力及最大切应力。
题5-6图
解：
1）各点的单元体及应力
由梁的静力平衡求得250==BAFFkN
A,B,C三点所在截面上的弯矩6250025.0102503=⨯⨯=MNm剪力250=QFkN
2
2
.01.06
162500⨯⨯==W
MA
σ
Pa=93.75MPa（压应力）
875.462
1==
A
B
σ
σ
MPa（压应力）
75.182
.01.010
2502
33
=⨯⨯⨯
=
PaCτMPa
06.144
3==CBττ
MPa
2）作各单元体的应力圆
A点：
75.93,0,0321-===σσσMPa，maxτ=46.875MPa
B
点：
9.31==σAxMPa，7.503-==σBxMPa，02=σ，maxτ=27.3MPaC点：
==1σAx18.75MPa，==2σBx0，3σ=-18.75MPa，maxτ=18.75MPa
5-7试用解析法求图5-32所示各单元体的主应力及最大切应力（应力单位为MPa）。
120
题5-7图
b
c
a
解：
a主应力501=σMPa，由于其它两方向构成纯剪切应力状态，
所以有，2
3
1maxσστ-=
=50MPa。
b一个主应力为50MPa，其余两个方向应力状态如图所示xσ=30MPa，yσ=-20MPa，xτ=20MPa代入公式（5-8）
273720220（302
20（302
2
-=+⎪⎭
⎫⎝⎛--±
-+=
MPa所以1σ=50MPa，2σ=37MPa，3σ=-27MPamaxτ=
2
3
1σσ-=
5.382
27
50=-MPa
b一个主应力为-30MPa，其余两方向应力状态如图所示
取xσ=120MPa，yσ=40MPa，xτ=-30MPa
代入公式22
min
max2
2
xy
x
y
xτσσσ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
3013030（2401202
40
1202
2
=-+⎪⎭
⎫⎝⎛-±
+=
MPa所以1σ=130MPa，2σ=30MPa，3σ=0MPa
maxτ=
2
3
1σσ-=
802
30（130=--MPa
5-8单元体各面上的应力如图5-33所示。
试作三向应力图，并求主应力和最大切应力。
题5-8图
解：
a三个主应力为0,321===σσσσ
三向应力圆可作如下
b这是一个纯剪切应力状态τσστσ-===321,0,其三向应力圆为
maxτ=τ
三向应力状态：
一个主应力为零
先做一二向应力状态的应力圆，得31,σσ再由21,σσ和32,σσ分别作应力圆三个应力圆包围的阴影部分各点对应三向应力状态2
2
3
122
τσσ
σ+⎪⎭
⎫
⎝⎛±
=
5-9二向应力状态如图5-34所示。
试作应力圆并求主应力（应力单位为MPa）。
题5-9图
解：
画出二向应力状态的单元体，取水平方向为x轴，则xσ=？
yσ=50MPa,xτ=？
，α=30时ασ=80MPa,ατ=0代入式（5-3）（5-4）︒-︒-+
+=
60sin60cos2
50
2
50
xxxτσσσα
=80Mpa
︒+︒-=
60cos60sin2
50
xxτστα
=0
xσ=70MPa,xτ=310-MPa
可做应力圆如图所示
由应力圆可求的三个主应力分别为
1σ=80MPa，2σ=40MPa，3σ=0MPa
最大切应力为maxτ=40MPa
5-10图5-35所示棱柱形单元体为二向应力状态，AB面上无应力作用。
试求切应力τ和三个主应力。
B
A
题5-10图
解：
画出二向应力状态单元体，取水平方向为x轴
则xσ=15MPa,yσ=-15MPa,xτ=τ，α=135时ασ=0,ατ=0代入式（5-3）（5-4）︒-︒---+
-+-=
270sin270cos2
15（15（2
15（15（xτσα
=0︒+︒---=
270cos270sin2
15（15（xττα
=0（自然满足由上式解得xτ=15MPa主应力可由公式（5-8）求
22
min
max2
2
xy
x
y
xτσσ
σ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
30015（215（15（2
15（15（2
2
-=-+⎪⎭
⎫⎝⎛---±
-+-=
MPa因此三个主应力为：
1σ=0，2σ=0，3σ=-30MPa
152
30（02
3
1max=--=
-=
σστMPa
5-11已知单元体的应力圆或三向应力图如图5-36所示（应力单位为MPa）。
试画出单元体的受力图，并指出应力圆上A点所在截面的位置。
def题5-11图
5-12图5-37所示单元体为二向应力状态。
已知：
MPa50MPa,40MPa,80===ασσσyx。
试求主应力和最大切应力。
题5-12图
解：
xσ=80MPa,yσ=40MPa,xτ=τ，ασ=50MPa,α=60将以上已知数据代入公式（5-3）（
120sin120cos2
40
802
40
8050xτ---+
+=
xτ=0
再把xσ，yσ，xτ代入公式（5-8）求主应力
22
min
max2
2
xy
x
y
xτσσ
σ
σσ+⎪⎪⎭
⎫⎝
⎛+±
+=
40800240802
40
802
2
=+⎪⎭
⎫⎝⎛-±
+=
MPa因此三个主应力为：
1σ=80MPa，2σ=40MPa，3σ=-30MPa
maxτ=
2
3
1σσ-=40MPa
5-13如图5-38所示单元体处于二向应力状态。
已知两个斜截面α和β上的应力分别为
MPa60MPa,40==αατσ；MPa
60MPa,200==ββ
τσ
。
试作应力圆，求出圆心坐标和应力圆半径
R。
β
题5-13图
解：
已知ασ=40MPa,βσ=200MPa,ατ=60MPa,βτ=60MPa
由上面两组坐标可得应力圆上两点D1,D2,连D1D2,作其垂直平分线交σ轴于C点，以C为圆
心，CD为半径作圆即为所求应力圆。
由图中几何关系可得圆心坐标C（120,0
半径2
2
80
60+=
R=100
5-14今测得图5-39所示受拉圆截面杆表面上某点K任意两互垂方向的线应变ε'和ε''。
试求所受拉力F。
已知材料弹性常数E、ν，圆杆直径d。
题5-14图
解：
围绕K点取单元体，两截面分别沿ε’和ε”方向。
如下图所示由广义胡克定律（y
x
Eμσσε-='1（x
yE
μσ
σ
ε-=
''1
联求解得2
1"'μ
μεεσ
-+=
EEx
2
1"'"μ
μεεμ
εσ
-++=EEEy
我们还可以取K点的单元体如下，即沿杆件横截面，纵截面截取根据单元体任意两相互垂直截面上的正应力之和为一常量得：
μ
εεσ
σ
σ-+=
+=1"'EEy
x
又σ=
A
F
所以F=σA=24
11"'dEEπμ
εε-+
5-15今测得图5-40所示圆轴受扭时，圆轴表面K点与轴线成30°方向的线应变︒30ε。
试求外力偶矩T。
已知圆轴直径d,弹性模量E和泊松比ν。
T
题5-15图
解：
围绕K点沿ε
30
方向和与之垂直的方向取单元体如左图
由沿横纵截面单元体如右图由公式（5-3、5-4得:
ττσ2
3120sin120cos2
002
0060-=--+
+=
τττ2
1120
cos60-==
ττσ2360sin（30=
--=-
τττ2
160cos
30=-=-）（
由胡克定律（（μττμτμσ
σ
ε+=⎪⎪⎭
⎫⎝⎛+=
-=
-123
23
231160
30
30EEE
（
μετ+=
13230E
又τ=
3
16d
T
WTP
π=
，16
3
τπdT=
所以（
（
μεπμεπ+=
+=
124313162303
303
EdEdT
5-16一刚性槽如图5-41所示。
在槽内紧密地嵌入一铝质立方块，其尺寸为10×10×10mm3
，铝材的弹性模量E=70GPa，ν=0.33。
试求铝块受到F=6kN的作用时，铝块的三个主应力及相应的变形。
题5-16图
解：
F力作用面为一主平面，其上的正应力为2
3
310
106⨯-
=-=A
FσMPa=-60MPa
前后面为自由表面，也为主平面，1σ=0由题意知2ε=0由胡克定律2ε=（（3
121σ
σμσ+-E
所以MPa8.193
2-==μσσ
（（608.19（25.00（10
200119
32
11---⨯=+-=
σ
σ
μσεE=6
10
2.376-⨯
（（8.190（25.060（10
2001192
13
3---⨯=+-=
σ
σμσεE
=6
10
8.763-⨯-
所以mmll3611110672.310102.376--⨯=⨯⨯=⋅=∆ε0222=⋅=∆llε
mmll3
63331064.710108.763--⨯-=⨯⨯=⋅=∆ε
5-17现测得图5-42所示受扭空心圆轴表面与轴线成45°方向的正应变︒45ε，空心圆轴外径为D,内外径之比为
α。
试求外力偶矩T。
材料的弹性常数E、ν均为已知。
题5-17图
解：
受扭圆轴表面上任一点均为纯剪切应力状态，纯剪切应力状态单元体上45和135
面上
主应力取得极大值和极小值，为主平面，1σ=τ，3σ=-τ
由胡克定律1ε=
（（3
1
1σ
μσ-E
=
45ε
代入化简得
45
1ετμ=+e
所以τ=
μ
ε+145E
由受扭圆轴表面上一点剪应力公式4
3
116α
πτ-=
=
DT
WTP
（（
μεαπμεαπταπ+-=
+⨯-=-=1161145
161161454
3
4343
EDEDDT）（）（
5-18现测得图5-43所示矩形截面梁中性层上K点与轴线成45°方向的线应变6
4510
50-︒⨯=ε，材
料的弹性模量Pa
G200E
=,25
.0=ν
。
试求梁上的载荷F之值。
题5-18图
解：
K点的应力状态如图所示其中τ由公式（3-40）求得
6
610
600010100603
2
2
323--⨯=⨯⨯⨯
==FF
bh
FQτ又K点有τσ-=3，135方向有τσ=1，代入到胡克定律有（（（μτ
μτ
τ
μσ
σε+=
+=-=
1113
1
30E
E
E
（
μετ+=
145
EPa
比轴两式有（
25.01106000456
+⨯
⨯=-
εEF=48000N=48kN
5-19图5-44所示受拉圆截面杆。
已知A点在与水平线成60°方向上的正应变4
6010
0.4-︒
⨯=ε，
直径d=20mm，材料的弹性模量3.0MPa,102003=⨯=νE。
试求载荷F。
A60°ε60°F题5-19图解：
A点应力状态如图所示由公式（5-3）s60=os-30o0+s0-s3+cos120o-0sin120o=s2240+s0-s1=+cos（-60o-0sin（60o=s-22411s（s60o-ms-30o）=Eæ3s-1msö=4E（3-m）ç÷E4è4ø由胡克定律e60=o又s=所以FA1p´202´10-6´4´200´109´4´10-412æ4Ee60°ö4=37233.7N=37.23kNF=A×s=pdçç（3-m÷=÷43-0.3èø5-20试求图5-45所示矩形截面梁在纯弯曲时AB线段长度的改变量。
已知：
AB原长为a，与轴线成45°，B点在中性层上，梁高为h，宽为b，弹性模量为E，泊松比为ν，弯矩为M。
MAMBb题5-20图解：
求AB的伸长量需先求AB方向的应变，去AB中点位置C其应力状态如图所示，其中s=MyCIZh45°a
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