七年级数学讲义.docx

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七年级数学讲义

一加一教育七年级数学寒假讲义

第1课时单项式乘单项式

预学目标

1．通过课本P56“电视墙面积”的情境，初步感受单项式乘单项式的运算方法．

2．观察课本P57例题，尝试完成课本P56“做一做”．

3．通过解题，体会单项式的乘法法则，初步了解乘法交换律、乘法结合律、同底数幂的运算性质是进行单项式乘法的依据．

知识梳理

1．温故

单项式是表示数与字母的______的代数式．例如：

2a表示2×a；4mn表示4______m______n；－

a2bc4表示＝______×______×______×______．

2．单项式乘法的一般步骤及依据

例如:

－6a2b·（

abc3）．

解：

原式＝－6×

·a2·a·b·b·c3→乘法______律

＝（－6×

）·（a2·a）·（b·b）·c3→乘法______律

＝－3a3b2c3→有理数______法则和______运算性质

3．单项式乘法的运算法则

根据上述解题步骤，我们发现：

单项式与单项式相乘，把它们的______、______分别相________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的______作为积的一个______．

说明：

单项式乘法的运算法则适用于两个以上的单项式乘法运算．

例题精讲

例1计算：

（1）（－4xy2）·（－2x）；

（2）

x2y2·

xyz；

（3）（

x3y2）·（－

x2y3）2；（4）（2×103）×（3×106）．

提示：

本题中都是单项式的乘法运算，可根据法则进行运算．

（1）运算时要注意符号；

（2）注意第

（2）小题中出现的字母z，仍要保留在积中；（3）要注意运算顺序；（4）用科学记数法表示两个数相乘，同样是把系数相乘，作为积的系数，再把10的指数相加．

点评；在进行单项式的乘法运算中，要注意以下几点：

一是运算顺序；二是运算符号；三是只在一个因式中出现的字母应保留在乘积的结果中．

例2．计算：

（1）（－0.25xy3）（－

xy）·（0.5x2y3）；

（2）（－2x2y）·（－

xy2）·（－x2y2）xyz．

提示：

两个以上的单项式相乘，可以把单项式与单项式相乘的运算法则进行推广，即所有单项式中系数的乘积作为积的系数；相同字母相乘为同底数幂相乘，底数不变，指数相加；只在某一个因式中出现的字母则连同它的指数保留在乘积中．

点评：

系数相乘要注意符号；相同字母相乘底数不变，指数相加；几个单项式的乘积仍是一个单项式，它包含乘积中所有的字母．

热身练习

1．化简（－3x2）2x3的结果是（）

A．－6x5B．－3x5C．2x5D．6x5

2．下列各题的计算中，正确的是（）

A．（－7a）·（－5a）2＝35a3B．7a2·8a3＝15a5

C．3x3·5x3＝15x9D．（－3x4）·（－4x3）＝12x7

3．计算（－

×103）2×（1.5×104）2的结果是（）

A．－1.5×1011B．

×1010C．1014D．－1014

4．若等式－（）·（3a2b）＝12a5b2c成立，则括号内应填上（）

A．4a3bcB．36a3bcC．－4a3bcD．－36a3bc

5．

（1）（ax2）（a2x）＝______；（－3x3y）·（－x4）．（－y3）＝______．

（2）－6a2b·（

abc）2＝______；（－3a2b3）2·4（－a3b2）5＝______．

（3）15xny·2xn－1·yn－1＝______；（1.2×103）×（2.5×1011）×（4×109）＝______．

（4）（－2xy2）·（__________）＝8x3y2z；（_________）·（x2y）2＝－x5y3．

6．计算：

（1）4y·（－2xy3）；

（2）（－4xy3）·（－2x）；

（3）

x2y3·

xyz·（－2x2y）；（4）（

x3y2）·（－

x2y3）2；

（5）8xnyn+1·

x2y；（6）3x2y·2xy－xy2·3xy．

7．已知x＝4，y＝－

，求代数式

xy2·14（xy）2·

x5的值，

第2课时单项式乘多项式

预学目标

1．观察课本P58图9－2中面积的两种计算方法，感受乘法分配律的应用．

2．尝试完成课本P58“做一做”，体会将单项式乘多项式转化为单项式相乘的基本运算方法．

3．观察课本P59例1，进一步感受乘法分配律和单项式乘法法则是进行单项式乘多项式运算的依据．

知识梳理

1．温故

多项式是表示几个单项式______的代数式．例如：

2a＋b表示2a与b的______；4mn－m2n表示______与______的和；－

abc3－

b2c表示______与______的和．

注意：

多项式中的每一项均包含前面的符号．

2．单项式乘多项式的一般步骤及依据

例如：

6a2b．（－

abc3－

b2c）．

3．单项式乘多项式的运算法则

对照上述解题的步骤，我们发现：

单项式与多项式相乘，用单项式乘____________，再把所得的积______．

例题精讲

例1计算：

（1）（－3xy）·（－

xy2＋xy－1）；

（2）（0.125m2n－0.75mn2－

n3）·（－8mn2）；

（3）3xy2（5－

xy4）＋（－

xy3）2；

（4）[

（a－b）2n－（a－b）1－2n]．[－

（b－a）3]．

提示：

第

（1）题中的单项式为－3xy，多项式中含有三项：

－

xy2,xy,－1，所以乘积的结果有三项；第

（2）题中，将小数化为分数；第（3）题中，有乘方的先算乘方；第（4）题中，（b－a）3＝－（a－b）3．

点评：

（1）单项式分别与多项式中的每一项相乘时，要注意确定积的各项符号：

同号相乘得正，异号相乘得负；

（2）小数变分数，计算会更简单；（3）运算时要乘上多项式的每一项，不要漏乘，特别是常数项；（4）整式的运算顺序与有理数的运算顺序相同．

例2已知ab2＝－6，求－ab（a2b5－ab3－b）的值．

提示：

由ab2＝－6无法直接求出a、b的值，可以考虑整体利用已知条件，把结果化为含有ab2形式的式子．

点评：

结合单项式乘多项式的运算法则，逆用积的乘方的运算性质，将未知项转化为已知项．

热身练习

1．下列运算中，正确的是（）

A．－2（a－b）＝－2a－bB．－2（a－b）＝－2a＋b

C．－2（a－b）＝－2a－2bD．－2（a－b）＝－2a＋2b

2．已知一个长方体的长、宽、高分别是3x－4、2x和x，则它的体积为（）

A．

（3x－4）·2x＝3x3－4x3B．

x·2x＝x2

C．（3x－4）·2x·x＝6x3－8x2D．（3x－4）·2x＝6x2－8x

3．填空：

（1）－

x（3x2－4x＋5）＝____________．

（2）（a－b）2[（a－b）2－4（a－b）＋3]＝______________．

（3）若B是一个单项式，且B（－2x2y＋3xy2）＝6x3y2－9x2y3，则B为______．

（4）当m＝______时，2m（3m－5）＋3m（1－2m）＝14．

4．计算：

（1）（－

xy）·（

x2y－

xy2＋

y）；

（2）（a＋b2－c2）·（－2a2）；

（3）（－2mn2）2－4mn3（mn＋1）；（4）3a2（a3b2－2a）－4a（－a2b）2．

5．先化简，再求值：

（1）已知a＝2011，求－3a2（a2－2a－3）＋3a（a3－2a2－3a）＋2011的值．

（2）xn（xn＋9x－12）－3（3xn＋1－4xn），其中x＝－2，n＝3．

6．当m、n为何值时，

x[x（x＋m）＋nx（x＋1）＋m]的展开式中，不含有x2和x3的项？

7．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．

第3课时多项式乘多项式

预学目标

1．观察课本P61图9－4中面积的两种计算方法，感受乘法分配律的应用．

2．尝试完成课本P61“做一做”，体会将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式的基本运算方法．

3．观察课本P62例题，进一步体会乘法分配律和单项式乘法法则是进行多项式乘多项式运算的依据．

知识梳理

1．多项式乘多项式的一般步骤及依据

例如：

2．多项式乘多项式的运算法则

对照上述解题的步骤，我们发现：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的______乘另一个多项式的______，再把所得的积相______．

例题精讲

例1计算：

（1）（x＋2y）（5a＋3b）；

（2）（2x－3）（x＋4）；

（3）（x＋y）（x2－xy＋y2）；（4）（2a3＋3a＋1）（3a3－2a－1）.

提示：

可先把前面的因式看成一个整体，转化为单项式与多项式相乘，再展开，也可以直接按法则运算．

点评：

把多项式乘多项式转化为单项式乘多项式或按运算法则展开后，有同类项的合并同类项，最后应按某一字母的降幂顺序排列．

例2如图，大正方形的边长为a＋b，小正方形的边长为a－b，

求阴影部分的面积．

提示：

阴影部分的面积为：

大正方形的面积一空白长方形的面

积－小正方形的面积．

解答：

阴影部分的面积为：

点评：

求阴影部分的面积，一般有两种方法：

一是直接求法，二是间接求法，本题中所用的方法是间接求法，即阴影部分（不规则图形）的面积等于已知几个规则图形的面积之和．

热身练习

1．下列各式中，运算结果错误的是（）

A．（x＋2）（x－3）＝x2－x－6B．（x－4）（x＋4）＝x2－16

C．（2x＋3）（2x－6）＝2x2－3x－18D．（2x－1）（2x＋2）＝4x2＋2x－2

2．下列各式中，运算结果为x2－5x－6的是（）

A．（x－2）（x－3）B．（x－1）（x＋6）C．（x－6）（x＋1）D．（x＋2）（x＋3）

3．设多项式A是一个三项式，B是一个五项式，则A×B的结果中，多项式的项数一定（）

A．多于8项B．不多于8项C．多于15项D．不多于15项

4．

（1）（x－2）（x＋1）＝______；

（2）（x－2y）（x＋2y）＝______；

（3）（x－2）（x＋3）＝______；（4）（x－2y）（2x＋y）＝______；

（5）（－1－2p）（1－2p）＝______；（6）（－3x－2）2＝______．

5．计算（1＋x）（2x2＋ax＋1）的结果中x2项的系数为－2，则a的值为______．

6．若（x＋m）（x＋2）＝x2－6x＋n，则m＝______，n＝______．

7．若（x2＋nx＋3）（x2－3x＋m）的展开式中不含x2和x3项，则（－m）n＝______．

8．已知a＋b＝

，ab＝1，则化简（a－2）（b－2）的结果是______．

9．我们已经知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示．实际上，还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示．例如：

（2a＋b）（a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①或图②等图形的面积表示．

（1）请写出图③所表示的代数恒等式：

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为（a＋b）（a＋3b）＝a2＋4ab＋3b2．

（3）请仿照上面的方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．

第4课时乘法公式

（1）

预学目标

1．观察课本P64图9－5中面积的两种表示方法，直观感受完全平方公式的几何意义．

2．尝试根据多项式乘多项式的运算法则了解完全平方公式的推导过程．

3．通过课本P65例2，初步了解完全平方公式在多项式乘法中的应用条件及方法．

知识梳理

1．完全平方公式的几何意义

从整体考虑：

图形是边长为______的______形，它的面积可以表示

为____________．

从局部考虑：

图形是由一个边长为______的______形，一个边长为

______的______形以及两个长______、宽______的______形组成．

它的面积可以表示为____．

综上所述，可以发现：

______＝________________________．

2．完全平方公式的代数意义

（1）根据幂的意义：

（a＋b）2＝______·______．

根据多项式乘法的运算法则：

（a＋b）·（a＋b）＝________________．

由上述可得：

（a＋b）2＝___________，即两数和的平方等于__________________．

（2）根据幂的意义：

（a－b）2＝______·______．

根据多项式乘法的运算法则：

（a－b）·（a－b）＝__________．

由上述可得：

（a－b）2＝____________，即两数差的平方等于____________．

综上所述，我们把____________或____________称为____________公式．

注意：

公式中的a、b既可以代表单项式，又可以代表多项式．

例题精讲

例1利用完全平方公式计算：

（1）（3a＋b）2；

（2）（－x＋3y）2；（3）（－m－n）2；（4）（b＋c）（－b－c）.

提示：

第

（1）题可直接套用两数和的完全平方公式；第

（2）题中，（－x＋3y）2＝（3y－x）2，选用两数差的完全平方公式；第（3）题中，（－m－n）2＝[－（m＋n）]2＝（m＋n）2，选用两数和的完全平方公式；第（4）题中，（－b－c）＝－（b＋c），原式可变形为－（b＋c）2，选用两数和的完全平方公式．

解答：

点评：

为了方便运用完全平方公式，有时需要对两项的符号进行适当地变换，然后选用两数和或差的完全平方公式进行计算，

例2计算：

（1）99.82；

（2）2012．

提示：

先变形，使之符合完全平方公式，

解答：

点评：

利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是把已知的底数凑成两数和或两数差的形式，而且这两个数的平方要容易计算．

热身练习

1．下列运算中，正确的是（）

A．（m－n）2＝m2－n2B．（－3p＋q）2＝3p2－6pq＋q2

C．

D．（a＋2b）2＝a2＋2ab＋4b2

2．下列各式中，计算结果是2mn－m2－n2的是（）

A．（m－n）2B．－（m－n）2C．－（m＋n）2D．（m＋n）2

3．下列计算：

①（2a－3b）2＝4a2－9b2；②（a＋3b）2＝a2＋3ab＋9b2；③

；④

．其中，正确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

4．运用公式计算：

（1）（2a＋b）2；

（2）（a－26）2；（3）（2x＋3y）2；

（4）（2a2－3b）2（5）

（6）

5．简便计算：

（1）9992；

（2）30.82．

6．如图，一块直径为a＋b的圆形铁皮，从中间挖去两个直径分别为a和b的圆，求剩余铁皮的面积．

第5课时乘法公式

（2）

预学目标

1．观察课本P66图9－6，思考“想一想”，直观感受平方差公式的几何意义．

2．尝试根据多项式乘多项式的运算法则了解平方差公式的推导过程．

3．通过课本P66例题，初步了解平方差公式在多项式乘法中的应用条件及方法．

知识梳理

1．平方差公式的几何意义

从局部考虑：

图形中的阴影部分可以看成两个底边长分别为______、

______，高为______的______形，所以阴影面积用代数式可以表示为___

________．

从整体考虑：

图形中阴影部分的面积可以看做两个边长分别为______

和______的______形的面积之______，用代数式可以表示为____________．

综上所述，可以发现：

____________＝__________________．

2．平方差公式的代数意义

根据多项式乘法的运算法则：

（a＋b）（a－b）＝______＋______＋______＋______．

化简可得：

（a＋b）（a－b）＝______，即两数之和与这两数之差的积等于______．我们将这个等式称为______公式．

注意：

公式中的a、b既可以代表单项式，又可以代表多项式．

例题精讲

例1计算：

（1）

；

（2）

；

（3）（－4a－1）（4a－1）．

提示：

第

（1）题可直接应用平方差公式；第

（2）、（3）题需调整项的位置，将相同的项放在前面，相反的项放在后面．

点评：

若公式中的a、b是一个单项式或多项式时，结果中应添加括号，若两个多项式中相同的项不都在前面，相反的项不都在后面，应先根据加法交换律调整位置，将相同的项放在前面，相反的项放在后面，再套用平方差公式，

例2用乘法公式计算：

（1）9.9×10.1；

（2）19992－2000×1998．

提示：

第

（1）题可以写成（10－0.1）（10＋0.1）；第

（2）题中，2000×1998＝（1999＋1）（1999－1），再运用乘法公式计算．

解答：

点评：

运用乘法公式计算，首先要把算式改写成乘法公式的形式．一般地，给出的算式是可以写成乘法公式所要求的形式的，利用乘法公式也确实能简化计算．

热身练习

1．下列多项式的乘法中，可以利用平方差公式计算的是（）

A．（a－nb）（nb－a）B．（－1－a）（a＋1）

C．（－m＋n）（－m－n）D．（ax＋b）（a－bx）

2．下列运算中，结果为m2－36n2的是（）

A．－（m＋6n）（m－6n）B．（m－6n）（m＋6n）

C．（m＋4n）（m－9n）D．（m－6n）（6n－m）

3．计算（m2－n2）－（m－n）（m＋n）的结果是（）

A．－2n2B．0C．2m2D．2m2－2n2

4．若x2－y2＝6，x＋y＝－3，则x－y的值为（）

A．－3B．3C．2D．－2

5．计算：

（1）（4a＋3）（4a－3）；

（2）（－x＋1）（－x－1）；

（3）（－2x－y）（2x－y）；（4）（a＋2b）（a－2b）－

b（a－8b）；

（5）9.6×10.4．

6．用公式计算：

（1）

（2）20103－2009×2010×2011.

第6课时乘法公式（3）

预学目标

1．进一步熟悉完全平方公式、平方差公式，紧扣公式的特征，正确地选择公式进行运算．

2．观察课本P67例5、例6，感受乘法公式的灵活运用．

知识梳理

1．整体思想的运用

（1）三项式的平方

例如：

（a＋b＋c）2＝[（a＋b）＋c]2或（a＋b＋c）2＝[a＋（b＋c）]2，我们一般将括号内的任意两项看成一个整体，使之符合运用______公式的形式．

试一试：

（a＋b－c）2＝[（________）－c]2或[a＋（________）]2；

（a－b＋c）2＝[（________）＋c]2或[a－（________）]2；

（a－b－c）2＝[（______）－c]2或[a－（________）]2．

（2）三项式乘三项式

例如：

（a＋b＋c）·（a＋b－c）＝[（a＋b）＋c]．[（a＋b）－c]，我们一般将括号内的______的两项或______的两项看成一个整体，使之符合______公式的形式，

试一试：

（a＋b＋c）．（a－b－c）＝[______＋（______）]·[______－（______）]；

（a－b＋c）·（a＋c＋c）＝[（______）－______]·[（______）＋______]；

（a－b－c）·（a＋b－c）＝[（______）－______]·[（______）＋______]．

2．乘法公式的变形

（1）由（a＋b）2＝（a2＋b2）＋2ab，得a2＋b2＝____________，ab＝____________；

（2）由（a－b）2＝（a2＋b2）－2ab，得a2＋b2＝____________，ab＝____________；

（3）由（a＋b）2＝（a2＋b2）＋2ab，（a－b）2＝（a2＋b2）－2ab，得a2＋b2＝____________；

（4））由（a＋b）2＝（a2＋b2）＋2ab，（a－b）2＝（a2＋b2）－2ab，得ab＝____________；

（5））由（a＋b）2＝（a2＋b2）＋2ab，（a－b）2＝（a2＋b2）－2ab，得（a＋b）2＝___________；

（6）由（a＋b）2＝（a2＋b2）＋2ab，（a－b）2＝（a2＋b2）－2ab，得（a－b）2＝____________．

例题精讲

例1用乘法公式计算：

（a－b＋c）2．

提示：

本题中，底数不是两数差或和的形式，但可以把其中任意两项看成一个整体，然后运用两数和或差的完全平方公式进行计算．

解答

点评：

乘法公式是具有共同特征的某一类运算的概括总结，因此具有代表性，公式中的字母不但可以表示具体的数，还可以表示单项式或多项式．本题中，可以把三个数中的任意两个看成一个整体．

例2计算：

（1）（a－b＋c）（a＋b－c）；

（2）（3a＋2b－4c）（3a＋2b＋4c）．

提示：

两个小题中，两个多项式中三项的绝对值分别相等，但它们的符号有些相同，有些不同．这时，我们把符号相同的项看成第一个数，符号不同的数看成第二个数，运用乘法公式计算．第

（1）题中，a的符号相同，看成第一个数，b与c的符号不同，把（b－c）看成第二个数；第

（2）题中，3a与2b的符号相同，把（3a＋2b）看成第一个数，再把符号不同的4c看成第二个数．

解答：

．

点评：

在平方差公式中，“a”、“b”可以是单项式，也可以是多项式，在平方时，应给单项式和多项式加上括号，尤其是两个含三项并且这三项的绝对值分别相等的多项式相乘，要根据它们的符号用括号把它们分类为第一个数和第二个数．

例3计算：

提示：

显然不能直接运用完全平方公式展开，否则三项乘三项乘三项为27项，计算量大．可逆用积的乘方anbncn＝（abc）n，将

、

、

连乘，再运用平方差公式求积的乘方．

点评：

灵活运用平方差公式可以使相关计算简便，计算过程中有时需要对所求的算式进行适当地变形．

热身练习

1．如果x2＋ax＋121可以写成两个数的和的平方，那么a的值为（）

A．22B．11C．±22D．±11

2．若（3x＋2y）2＝（3x－2y）2＋A，则代数式A为（）

A．－12xyB．12xyC．24xyD．－24xy

3．填空：

（1）（

m－

）2＝

m2＋（）＋

；

（2）（a＋b－c－d）（a－b－c＋d）＝[（__