隔板法插入法捆绑法解决组合问题.docx

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隔板法插入法捆绑法解决组合问题

110.3组合（六）教学目标:

1．掌握组合数的性质，并能应用组合数的性质解题.2．培养学生应用公式、性质的能力.教学重点:

 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题.教学难点:

 隔板法、插入法、捆绑法.教学过程:

讲授新课例1．有10个相同的小球，放入编号为1、2、3的三个不同盒子，�7�6要求每个盒子非空，共有多少种放法？

�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数，共有多少种放法？

方法一:

�7�6设x＋y＋z＝10,x≥y≥z,其正整数解为：

x＝8，y＝1，z＝1；x＝7，y＝2，z＝1；x＝6，y＝3，z＝1；x＝6，y＝2，z＝2；x＝5，y＝4，z＝1；x＝5，y＝3，z＝2；x＝4，y＝4，z＝2；x＝4，y＝3，z＝3．则放法有:

.36443313AA�7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子，再按�7�6放入每个盒子的小球数>0，设x＋y＋z＝7,x≥y≥z,其正整数解为：

x＝5，y＝1，z＝1；x＝4，y＝2，z＝1；x＝3，y＝3，z＝1；x＝3，y＝2，z＝2．则放法有:

.1533313AA方法二：

隔板法.如:

对应:

�7�63629C�7�71526C答:

�6�7练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？

611C462练习2.6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，共有多少种不同的带法？

12659C练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有种不同送法.例2.已知方程x＋y＋z＋w＝100，求这个方程的正整数解的组数.练习4.已知方程x1＋x2＋x3＝50，求这个方程有多少组非负整数解.1号2号3号1号2号3号1号2号3号2 隔板法：

就是把“|”当成隔板，把考察的对象分成若干份．例3.一座桥上有编号为1，2，3�6�7，10的十盏灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，问不同的关灯方法有多少种？

练习5.一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？

例4.一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？

课堂小结1. 隔板法；2. 插入法；3.捆绑法.捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于解决"相邻问题"及"不邻问题"。

总的解题原则是"相邻问题捆绑法，不邻问题插空法"。

在实际公务员考试培训过程中，我发现学员经常碰到这样的困惑，就是一样类型的题目，不过表达的形式有所变化，就很难用已解过的题目的方法去解决它，从而降低了学习效率。

下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式，以实际例题详细讲解。

"相邻问题"捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，也就是将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题内部各元素间排列顺序的解题策略。

例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？

【解析】：

题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人"捆绑"，视其为"一个人"，也即对"A，B"、C、D、E"四个人"进行排列，有种排法。

又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。

根据分步乘法原理，总的排法有种。

例2．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的3排法共有多少种．（结果用数值表示）解：

把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A（5,5）种排法；又3本数学书有A（3,3）种排法，2本外语书有A（2,2）种排法；根据分步计数原理共有排法A（5,5）A（3,3）A（2,2）=1440（种）.【解析】：

把3本数学书"捆绑"在一起看成一本大书，2本外语书也"捆绑"在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。

【王永恒提示】：

运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意"捆绑"起来的大元素内部的顺序问题。

解题过程是"先捆绑，再排列"。

6个球放进5个盒子，有多少种不同的方法？

其实，由抽屉原理可知，必然有两个球在一起。

所以答案是C（6,2）XA（5,5）其实就是6取2，与5的阶乘的积1、有10本不同的书：

其中数学书4本，外语书3本，语文书3本。

若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有（）种。

2、5个人站成一排，要求甲乙两人站在一起，有多少种方法？

43、6个不同的球放到5个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？

4、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目，4个舞蹈节目要排在一起，有多少不同的安排节目的顺序？

1、有ABCDE共5个人并排站在一起,如果AB必须相邻,并B在A的右边,那么不同的排法有多少种2、将袋子里面的所有球排成一排，要求红色的球彼此相邻，有（）种方法3、将袋子里面的所有球排成一排，要求红色的球互不相邻，有（）种方法部分题目答案：

2、【解】P（5,5）×P（5,5）3、【解】P（4,4）×P（5,5）1、将袋子里面的所有球分成三组，每组至少一个，有（）种方法2、将袋子里面的所有球分成三组，每组恰好三个，有（）种方法3、将袋子里面的所有球分成至多三组，每组至少一个，有（）种方法54、将袋子中的五个红球排成一排，若要求1号球不在第一个位置，3号球不在第二个位置，5号球不在第三个位置，7号球不在第四个位置，9号球不在第五个位置，有（）种方法"不邻问题"插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。

例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？

【解析】：

题目要求A和B两个人必须隔开。

首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成DCE，则D、C、E"中间"和"两端"共有四个空位置，也即是：

〕D〕C〕E〕，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。

由乘法原理，共有排队方法：

。

例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？

【解析】：

直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：

所有不同的添加方法为=504种。

例5．一条马路上有编号为1、2、�6�7�6�7、9的九盏路灯，为了节约用电，可以把其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？

【解析】：

若直接解答须分类讨论，情况较复杂。

故可把六盏亮着的灯看作六个元素，然后用不亮的三盏灯去插7个空位，共有种方法（请您想想为什么不是），因此所有不同的关灯方法有种。

【王永恒提示】：

运用插空法解决排列组合问题时，一定要注意插空位置包括先排好元素"中间空位"和"两端空位"。

解题过程是"先排列，再插空"。

例6．练习：

一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添加进去2个新节目，有多少种安排方法？

（国考2008-57）A．20B．12C．6D．4678解排列组合应用题的21种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:

题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）9A、60种B、48种C、36种D、24种解析：

把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，选.2.相离问题插空排:

元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：

除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3.定序问题缩倍法:

在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：

在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.4.标号排位问题分步法:

把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：

先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5.有序分配问题逐分法:

有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.

（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：

先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有种，选.

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、种B、种C、种D、种答案：

.6.全员分配问题分组法:

例6.

（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

解析：

把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有种，故共有种方法.说明：

分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.10

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种答案：

.7.名额分配问题隔板法:

例7：

10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

解析：

10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为种.8.限制条件的分配问题分类法:

例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

解析：

因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.9.多元问题分类法：

元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9

（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种解析：

按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有个，个，合并总计300个,选.

（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

解析：

被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

解析：

将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.10.交叉问题集合法：

某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式.例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：

设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四11棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

种.11.定位问题优先法：

某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

例11.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析：

老师在中间三个位置上选一个有种，4名同学在其余4个位置上有种方法；所以共有种。

.12.多排问题单排法:

把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.

（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种解析：

前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：

看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：

逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有种,选.解析2：

至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：

甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有台,选.14.选排问题先取后排:

从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.

（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

解析：

先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有种，再排：

在四个盒中每次排3个有种，故共有种.

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？

解析：

先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.15.部分合条件问题排除法:

在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15.

（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70种B、64种C、58种D、52种解析：

正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有个.12

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A、150种B、147种C、144种D、141种解析：

10个点中任取4个点共有种，其中四点共面的有三种情况：

①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为，四个面共有个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是种.16.圆排问题单排法:

把个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列个普通排列：

在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的元素全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：

首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式种不同站法.说明：

从个不同元素中取出个元素作圆形排列共有种不同排法.17.可重复的排列求幂法:

允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：

完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：

将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有种不同方案.18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：

把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：

一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：

从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:

例20.

（1）30030能被多少个不同偶数整除？

解析：

先把30030分解成质因数的形式：

30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为13个.

（2）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？

解析：

因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.21.利用对应思想转化法:

对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.

（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？

解析：

因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.

（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？

解析：

可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：

向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.排列组合问题的求解策略（本周回顾）方肇飞（归纳版）1.计数原理：

①加法原理：

N=n1+n2+n3+�6�7+nM（分类）②乘法原理：

N=n1·n2·n3·�6�7nM（分步）；2.排列（有序）与组合（无序）；排列一般为总元素中选部分，然后对选出元素进行安排，要各得其所。

（一对一）3.公式和性质：

（自己写）4.排列组合混合题的解题原则：

先选后排，先分再排。

5.排列组合题的主要解题方法：

解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答。

同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。

下面介绍几种常用的解题方法。

14一、合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

例1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（）A．120种B．96种C．78种D．72种分析：

由题意可先安排甲，并按其分类讨论：

1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有种排法，由分类计数原理，排法共有种，选C。

二、正难反易转化法对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理。

例2、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？

分析：

关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只