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统计报告
基于因子分析的
国家经济状况的指标研究
姓名
学号
（通讯地址）
目录
摘要………………………………………………………………………………………………3
1.引言……………………………………………………………………………………………3
2.原理……………………………………………………………………………………………3
3.数据分析过程……………………………………………………………………………………………3
Ⅰ.选择指标，收集数据资料………………………………………………………………………3
Ⅱ.预处理数据的分析方法和结果………………………………………………………………4
Ⅲ.结果分析和总结………………………………………………………………………………10
（1）各因子的载荷系数分析………………………………………………………………10
（2）总结…………………………………………………………………………………………10
4.参考文献……………………………………………………………………………………10
摘要：
本文运用因子分析方法对反映国家经济状况的指标进行了实证分析。
根据中国国家统计局2009年度的国际统计数据，通过使用SPSS软件分析计算，较为详细的分析和讨论了国内生产总值、失业率、外汇储备、黄金储备作为国家经济状况指标的合理性，并对于各公共因子的因子载荷情况给出了相应评价。
最后总结从这四个指标出发分析了其对于国家经济状况的影响。
关键词：
国家经济状况的指标；因子分析；公共因子；因子载荷。
1.引言
当今世界正处于经济危机的出事恢复期，各国的各种经济状况尚且不甚稳定。
经济指标是反映一定社会经济状况数量方面的名称及其数值，如宏观经济指标CPI、GDP等。
但是国家的经济状况更注重国家的经济稳定，而经济稳定还与人民的生活是否稳定和经济的地基是否强健。
失业率、外汇储备和黄金储备恰恰能反映这些方面，分析这些指标这对于合理评价经济状况具有一定的意义。
希望能够本文可以反映一些有用的信息以供参考。
2.原理
由于各变量之间存在一定的相关性，因此有可能用指标代表的信息不重叠，这样就可以对综合指标根据专业知识和指标所反映的独特含义给予命名。
因子分析正是处理这种问题最为有效的统计方法之一。
因子分析模型：
Xi=αi1F1+αi2F2+…+αipFp+εi（i=1，2，……，n）
其中Xi（i=1，2，……，n）————原始变量
Fi（i=1，2，……，n）————公共因子
αij（i=1，2，……，n）————因子载荷
εi（i=1，2，……，n）————特殊因子
3.数据分析过程
Ⅰ.选择指标，收集数据资料。
世界各国经济状况关系到国计民生，不仅相应到各个国家的国际地位和发展前景，同时影响到国民的生活水平。
为了分析各国经济状况的表征因素，本文收集了中国、日本、韩国、美国等国家的4项指标的数据资料，即国内生产总值（美元）X1、失业率X2、外汇储备（亿美元）X3、黄金储备（万盎司）X4。
原始数据见下表，所有数据均来自《中华人民共和国统计局网站》—《国际统计数据2009》.
国家
国内生产总值
失业率
外汇储备
黄金储备
中国
43262.00
1817.004
15282.50
1929.00
印度
12175.00
1107.925
2466.00
1150.20
印度尼西亚
5144.00
432.096
493.40
235.00
日本
49093.00
1963.720
10036.70
2460.20
韩国
9291.00
297.312
2004.80
46.00
巴基斯坦
1683.00
87.516
70.10
210.40
菲律宾
1669.00
123.506
330.50
494.90
美国
142043.00
8238.494
495.80
26149.90
委内瑞拉
3138.00
216.522
325.80
1146.00
Ⅱ.预处理数据的分析方法和结果。
为了将不同的指标综合加总，首先要对原始数据进行标准化处理，从而排除不同量纲的影响，以下是对标准化处理的数据资料，根据实际情况，给出因子分析的算法步骤和计算结果。
（1）将数据标准化，见表1
表1标准化后的数据资料（StandardizedData）
国家
Z国内生产总值
Z失业率
Z外汇储备
Z黄金储备
中国
.29561
.08854
2.17471
-.21678
印度
-.38309
-.18456
-.19097
-.30908
印度尼西亚
-.53659
-.44485
-.55507
-.41756
日本
.42291
.14504
1.20643
-.15382
韩国
-.44606
-.49676
-.27610
-.43996
巴基斯坦
-.61216
-.57756
-.63321
-.42047
菲律宾
-.61246
-.56370
-.58514
-.38675
美国
2.45222
2.56172
-.55463
2.65399
委内瑞拉
-.58039
-.52788
-.58601
-.30958
（2）建立指标间的相关系数矩阵，见表2
表2相关系数矩阵（CorrelationMatrix）
国内生产总值
黄金储备
失业率
外汇储备
Correlation
国内生产总值
1.000
.949
.988
.172
黄金储备
.949
1.000
.980
-.130
失业率
.988
.980
1.000
.046
外汇储备
.172
-.130
.046
1.000
Sig.（1-tailed）
国内生产总值
.000
.000
.329
黄金储备
.000
.000
.369
失业率
.000
.000
.453
外汇储备
.329
.369
.453
表2给出了各指标之间的相关系数矩阵及各个相关系数的显著性水平。
其中标的上半部分为相关系数矩阵，值的绝对值越大，相关度越高；下半部分为显著性水平矩阵，值越小，相关性越显著。
如国内生产总值与黄金储备的相关系数为0.949，检验的显著性水平为0.000。
如果显著性水平α=0.05，由于概率p值小于显著性水平α，说明国内生产总值与黄金储备的相关性很高。
由于一部分的相关系数较高，各指标呈较强的线性关系，能够从中提取公共因子，适合进行因子分析。
（3）进行KMO和巴特利特球度检验，见表3
表3KMO和巴特利特球度检验（KMOandBartlett'sTest）
Kaiser-Meyer-OlkinMeasureofSamplingAdequacy.
.596
Bartlett'sTestofSphericity
Approx.Chi-Square
57.268
df
6
Sig.
.000
由表3可知，KMO值为0.596，根据KMO值参考标准，还算适合进行因子分析；巴特利特球度检验统计量的观测值为57.268，相应的概率p值为0.000，如果取显著性水平α=0.05，由于概率p值小于显著性水平α，应拒绝零假设，认为相关性系数矩阵与单位矩阵有显著差异，适合进行因子分析。
（4）计算指标的共同度，见表4
表4指标的共同度（Communalities）
Initial
Extraction
国内生产总值
1.000
.997
黄金储备
1.000
.997
失业率
1.000
.998
外汇储备
1.000
1.000
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
由表4可知，第2列显示的是各指标的初始共同度，它表明对4个指标采用成分分析方法提取所有特征值，那么原有指标的所有方差都可被解释，指标的共同度均为1（原有指标标准化后的方差为1）。
第3列显示的是提取2个公共因子后的再生共同度，可以看到，该列的全部数据都非常大（非常接近于1），说明所有指标的共同度均很高，各个指标的丢失度都很少，即所提取的2个公共因子能很好的描述这些指标。
表格下侧的“ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis”显示用的是主成份方法提取公共因子。
（5）计算特征值、方差贡献率和累计方差贡献率，见表5
表5因子解释原有指标总方差的情况（TotalVarianceExplained）
Component
InitialEigenvalues
ExtractionSumsofSquaredLoadings
RotationSumsofSquaredLoadings
Total
%ofVariance
Cumulative%
Total
%ofVariance
Cumulative%
Total
%ofVariance
Cumulative%
1
2.946
73.662
73.662
2.946
73.662
73.662
2.945
73.616
73.616
2
1.045
26.124
99.785
1.045
26.124
99.785
1.047
26.169
99.785
3
.005
.129
99.915
4
.003
.085
100.000
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
由表5可知，第①列（Component）为各公共因子的序号。
第②列（InitialEigenvalues）为相关系数矩阵的初始特征值情况，其中“Total”为各公共因子的特征值；“%ofVariance”为各公共因子的方差贡献率；“Cumulative%”为累计方差贡献率。
如第一个公共因子的特征值为2.946，解释原有4个指标总方差的73.662%，累计方差贡献率为73.662%，第二个公共因子的特征值为1.045，解释原有4个指标总方差的26.124%，累计方差贡献率为99.785%.
第③列（ExtractionSumsofSquaredLoadings）为相关系数矩阵提取公共因子后的特征值情况。
可以看到，前2个公共因子共解释了原有4个指标的99.785%的信息。
总体上，原有指标的信息丢失很少，说明提取2个公共因子是比较适合的。
第④列（RotationSumsofSquaredLoadings）为相关系数矩阵的最终特征值情况，因子旋转后，前2个公共因子的累计方差贡献率和各公共因子的方差贡献率均有了改变，使得公共因子更易于解释。
（6）输出因子分析结果的碎石图，如图6所示。
由图6可知，横坐标为特征值序号，纵坐标为特征值。
图中明显的拐点虽然为3，但是保留2个公共因子将能概括原有指标的大部分信息（99.785%），说明保留2个公共因子是合适的。
图6因子的碎石图（ScreePlot）
（7）输出因子载荷矩阵，见表7
表7因子载荷矩阵（ComponentMatrixa）
Component
1
2
失业率
.999
.001
国内生产总值
.990
.128
黄金储备
.983
-.176
外汇储备
.045
.999
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
a.2componentsextracted.
表7是因子分析的核心结果，根据该表可以写出该案例的因子分析模型。
（失业率）X1’=0.999F1+0.001F2
（国内生产总值）X2’=0.990F1+0.128F2
（黄金储备）X3’=0.983F1-0.176F2
（外汇储备）X4’=0.045F1+0.999F2
模型中各公共因子前的系数表示该公共因子对指标的影响程度，即因子载荷。
表格下侧的“ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.”显示采用的是主成分分析方法提取公共因子，“a.2componentsextracted.”表示提取了2个公共因子。
可以看出，这2个公共因子的实际意义并不很清楚。
（8）输出旋转后的因子载荷矩阵，见表8
表8旋转后的因子载荷矩阵（RotatedComponentMatrixa）
Component
1
2
失业率
.998
.032
黄金储备
.988
-.145
国内生产总值
.986
.158
外汇储备
.014
1.000
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
RotationMethod:
VarimaxwithKaiserNormalization.
a.Rotationconvergedin3iterations.
由表8可知，第一公共因子F1在（失业率）X1’、（国内生产总值）X2’、（黄金储备）X3’上有较大载荷，说明它主要解释了这3个指标，可以命名为“本国因素因子”。
这个因子的贡献率达到约73.662%，对国家关于本国因素的综合评估起主要作用。
第二公共因子F2在（外汇储备）X4’上有完全载荷，说明它解释了这个指标，可以命名其为“外汇因素因子”。
这个因子转化矩阵因子的贡献率达到约26.124%，对国家关于外汇因素的综合评估起主要作用。
可见，与旋转前相比，公共因子的实际意义比较清晰。
表格下方显示的“RotationMethod:
VarimaxwithKaiserNormalization.”为旋转方法选取方差最大化，“a.Rotationconvergedin3iterations”为实际迭代次数选择3次。
（9）输出因子旋转中的正交矩阵，见表9
表9因子转化矩阵（ComponentTransformationMatrix）
Component
1
2
1
1.000
.031
2
-.031
1.000
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
RotationMethod:
VarimaxwithKaiserNormalization.
未旋转的因子载荷矩阵（表7）乘以因子转换矩阵（表9），就可得到旋转后的因子载荷矩阵（见表8）。
（10）输出因子旋转后的因子载荷图，如图10所示。
分别以第一因子、第二因子作为坐标轴，根据旋转后的因子载荷矩阵作图。
由图10可知，标志（失业率）X1’、（国内生产总值）X2’、（黄金储备）X3’比较靠近，而（外汇储备）X4’自居一处。
由此直观说明旋转后各公共因子的指标的分布集中情况。
图10因子旋转后的因子载荷图（ComponentScoreCoefficientMatrix）
（11）输出公共因子得分系数矩阵（见表11）并计算因子得分。
表11公共因子得分系数矩阵（ComponentScoreCoefficientMatrix）
Component
1
2
国内生产总值
.332
.132
黄金储备
.339
-.158
失业率
.339
.012
外汇储备
-.014
.956
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
RotationMethod:
VarimaxwithKaiserNormalization.
ComponentScores.
根据表11可以写出因子得分函数：
FAC1_1=0.332X1’+0.339X2’+0.339X3’-0.014X4’
FAC2_1=0.132X1’-0.158X2’+0.012X3’+0.956X4’
将原始的标准化值代入因子得分函数，就可以计算各样本的因子得分，因子得分以新变量的形式显示在数据编辑窗口（见表12），并以此对观测指标进行进一步的分析。
表12因子得分（ComponentScore）
国家
FAC1_1
FAC2_1
FAC1_2
FAC2_2
FAC1_3
FAC2_3
中国
.09050
2.15149
.09050
2.15149
.09050
2.15149
印度
-.29736
-.17754
-.29736
-.17754
-.29736
-.17754
印度尼西亚
-.47897
-.52637
-.47897
-.52637
-.47897
-.52637
日本
.15855
1.23094
.15855
1.23094
.15855
1.23094
韩国
-.46932
-.24493
-.46932
-.24493
-.46932
-.24493
巴基斯坦
-.55153
-.60995
-.55153
-.60995
-.55153
-.60995
菲律宾
-.53495
-.56970
-.53495
-.56970
-.53495
-.56970
美国
2.56938
-.67438
2.56938
-.67438
2.56938
-.67438
委内瑞拉
-.48630
-.57956
-.48630
-.57956
-.48630
-.57956
（12）输出因子得分的协方差阵，见表13
表13因子得分的协方差矩阵（ComponentScoreCovarianceMatrix）
Component
1
2
1
1.000
.000
2
.000
1.000
ExtractionMethod:
PrincipalComponentAnalysis.
ComponentScores.
表13也是2个公共因子间的相关矩阵。
可以看出，旋转后的2个公共因子之间几乎是不相关的。
Ⅲ.结果分析和总结。
（1）各因子的载荷系数分析。
各因子的载荷系数（见表8）反映了该因子与原始变量的关系及解释能力。
①第一公共因子F1在（失业率）X1’、（国内生产总值）X2’、（黄金储备）X3’上有较大载荷，说明它主要解释了这3个指标。
F1的载荷系数绝对值大小表明，对于各国来说，最能反映国家经济状况的是失业率、黄金储备和国内生产总值。
，其次是外汇储备。
这个结论与国际普遍认同的以GDP为衡量国家经济状况标准有些许差异。
失业率与黄金储备一跃而上成为了与GDP并肩的影响因素，甚至它们的载荷比GDP略大。
说明了一个国家的经济状况并不能仅仅有它的国内生产总值来反映，还需要看国民生活稳定（体现为失业率）和经济的地基（体现为黄金储备）。
失业率低的国家可以保证国民的普遍生活水平，国民生活稳定对于经济稳定有很大的帮助，而经济稳定的国家必然会有良好的经济状况。
黄金储备作为一国的国际储备资产的重要组成部分，其储备量的多寡关系到一国对外经济贸易的资信程度。
它在稳定国民经济、抑制通货膨胀、提高国际资信等方面有着特殊作用。
这种作用无论是在发达国家还是在发展中国家都是相当显著的。
②第二公共因子F2在（外汇储备）X4’上有完全载荷，说明它解释了这个指标。
（2）总结。
通过以上分析，对于国家经济状况的指标有了新的了解。
针对这些新的指标，国家可以采取一定的措施，如
增加政府支出，是商品市场需求增加，从而刺激产商扩大生产，增加工人的雇佣，降低失业率；控制国外商品的进口，刺激本国经济，扩大就业率，降低失业率；增加黄金储备量，提高抗击经济危机的能力；适度增加外汇储备，以增强宏观调控的能力，维护国家和企业在国际上的信誉，增强国家的经济稳定。
4.参考文献
（1）中华人民共和国统计局网站《国际统计数据2009》。
（2）《应用统计学》教材第八章例8.3，第十一章案例2。
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