高中数学三角函数常见习题类型及解法.docx
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高中数学三角函数常见习题类型及解法
高中数学三角函数常见习题类型及解法[1]
高中数学三角函数常见习题类型及解法
高考试题中的三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。
因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。
一、知识整合
1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等；并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明；掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．
2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质；熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点，并会用五点画出函数yAsin（x）的图象；理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．
二、高考考点分析
20XX年各地高考中本部分所占分值在17～22分，主要以选择题和解答题的形式出现。
主要考察内容按综合难度分，我认为有以下几个层次：
第一层次：
通过诱导公式和倍角公式的简单运用，解决有关三角函数基本性质的问题。
如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。
第二层次：
三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。
如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。
第三层次：
充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质，解决较复杂的函数问题。
如分段函数值，求复合函数值域等。
三、方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：
特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：
sin2x+2cos2x=（sin2x+cos2x）+cos2x=1+cos2x；配凑角：
α=（α+β）－β，β=－
22等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
－94－
（4）引入辅助角。
asinθ+bcosθ=a2b2sin（θ+），这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=
ba
确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：
利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
（2）证明方法：
综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法：
比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：
观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：
运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：
选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析例1．已知tan的值.
解：
（1）
cossincossin
1
sin
22
322；
1tan1cos
sin1tan11
cos
2
2
2
2，求
（1）
cossincossin
；
（2）sin2sin.cos2cos2
（2）sinsincos2cos
sin
22
2
sinsincos2cos
sincos
2
2
cos2cos
sin
12
cos
sin
2
22221
43
2
.
说明：
利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函数y1sinxcosx（sinxcosx）2的值域。
解：
设tsinxcosx
1232
ytt1（t）
24
x
π4
）[，则原函数可化为
，因为t[，所以
12
当t
时，ymax3，当t
时，ymin
－95－
34
，
所以，函数的值域为y[，3。
4
3
例3．已知函数f（x）4sin2x2sin2x2，xR。
（1）求f（x）的最小正周期、f（x）的最大值及此时x的集合；
（2）证明：
函数f（x）的图像关于直线x
π8
对称。
解：
f（x）4sin2x2sin2x22sinx2（12sin2x）
2sinx2
2coxs2
π
2xsn（2
4
）
（1）所以f（x）的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2x
π4
2kπ
π2
，即xkπ
3π8
时，f（x
）最大值为；
π8
（2）证明：
欲证明函数f（x）的图像关于直线x
f（
π8
x）f（π8π8π8
π8x）
对称，只要证明对任意xR，有
成立，
π8π8x）x）
π4π4
]]
π2π2
2x）2x2x）2x
π8
因为f（
f（
x）x）x）f（
π8
，
，对称。
所以f（x）成立，从而函数f（x）的图像关于直线x12
例4．已知函数y=cos2x+
32
sinx·cosx+1（x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx（x∈R）的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：
（1）y=+1
==
12
cos2x+
32
sinx·cosx+1=
14
（2cos2x－1）+
14
+
34
（2sinx·cosx）
14
12
cos2x+sin（2x+
346
sin2x+）+
54
54
=
12
（cos2x·sin
6
+sin2x·cos
6
）+
54
－96－
所以y取最大值时，只需2x+
6
=
2
+2kπ,（k∈Z），即x=
6
6
+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移
6
+kπ,k∈Z}
6
，得到函数y=sin（x+
12
）的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的数y=sin（2x+
6
倍（纵坐标不变），得到函
）的图像；
12
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的数y=
12
倍（横坐标不变），得到函
sin（2x+
6
）的图像；
5
12
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=
4
sin（2x+
6
）+
54
的
图像。
综上得到y=
12
cos2x+
32
sinxcosx+1的图像。
说明：
本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的
图像和性质。
这类题一般有两种解法：
一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=a2b2sin（ωx+）+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。
本题
（1）还可以解法如下：
当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，
1
y=
cos
2
x
2
3
sin
xcos
sinxcosx
2
1
x
+1=
1tan
3
tanx
2
x
+1
2
化简得：
2（y－1）tanx－3tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8（y－1）（2y－3）≥0,解之得：
∴ymax=
74
34
≤y≤
74
，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+
xcos
x
3cos
2
6
,k∈Z}
例5．已知函数f（x）sin（Ⅰ）将.
333
f（x）写成Asin（x）的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
x
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f（x）的值域.
解：
f（x）
12sin
2x3
32
（1cos
2x3）
123－97－sin
2x
32cos
2x3
32sin（
2x3
3
）
32
（Ⅰ）由sin（
2x3
3
）=0
即对称中心的横坐标为（Ⅱ）由已知b=ac
cosx|12
acb
2ac
2
2
2
33k12
2
即
2x
3
k（kz）得xkz
3k12
kz
，
2
acac
2ac
2
2acac2ac2x32x3
12
，59
3sin（
2x3
cosx1，
0x
3
，
3
3
3
2
||
59
2
|，
32
sin
].
3
sin（
3
）1，
3
）1
32
，
即f（x）的值域为（3,1
综上所述，x（0,]，f（x）值域为（3,1
3
32
].
说明：
本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。
例6．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
（1）求sinB的值；
（2）
若ba=c，求ABC的面积。
解：
（1）由正弦定理及
cosCcosB
3acb
cosCcosB
3acb
，
，有
cosCcosB
3sinAsinC
sinB
，
即sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，所以sin（BC）3sinAcosB，
又因为ABCπ，sin（BC）sinA，所以sinA3sinAcosB，因为sinA0，所以cosB
13
，又0B
π，所以sinB
23ac32
3
。
（2）在ABC中，由余弦定理可得a2c2
43
，又ac，
所以有a232，即a224，所以ABC的面积为
S
12
acsinB
12
asinB2
－98－
2
例7．已知向量a（2cosα，2sinα），b=（sinα，cosα），xa（t3）b，
ykab
，且xy0，
（1）求函数kf（t）的表达式；
（2）若t[1，3]，求f（t）的最大值与最小值。
22
解：
（1）a4，b1，ab0，又xy0，
22222
所以xy[a（t3）b]（kab）ka（t3）b[tk（t3）]ab0
，
所以k
14
t
3
34
t
，即kf（t）
34
1434
t
3
34
t
；
（2）由
（1）可得，令f（t）导数t2
1
0，解得t1，列表如下：
1
9
2
2
92
12
而f
（1），f
（1），f（3），所以f（t）maxf（t）min
2
。
，
例
sinα），
b=（cosβ，sinβ），|ab|8．已知向量a（cosα，
5
（1）求cos（αβ）的值；
（2）
（2）若0α，
2
ππ2
β0，且sinβ
5
13
，求sinα
的值。
sinα），b=（cosβ，sinβ），解：
（1）因为a（cosα，
sinαsinβ），所以ab（cosαcosβ，
又因为|ab|
5
，所以
5
－99－
即22cos（αβ），cos（αβ）
5
435
；，
45
（2）0α
2
ππ2
β0，0αβπ35
又因为cos（αβ）
sinβ
513
，所以sin（αβ）
1213
，
6365
，所以cosβ，所以sinαsin[（αβ）β]
4,4]
例9．平面直角坐标系有点P（1,cosx）,Q（cosx,1）,x[
（1）求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f（x）；
（2）求的最值.
解：
（1
）OPOQcos，
cosxcosx（1cosx）coscos
2cosx1cosx
2cosx1cosx
2
2
（
4
2
即f（x）
（2）cos
x
4
）
2cosx
1cosx
，又cosx
1cosx
[2,
322
]，
cos[
223
,1]，min0，maxarccos
223
.
说明：
三角函数与向量之间的联系很紧密，解题时要时刻注意。
－100－
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