奥数专题裂项法一含答案.docx

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奥数专题裂项法一含答案

奥数专题一一裂项法

（一）

同学们知道：

在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分

母分数后再计算。

（一）阅读思考

111

例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积,

3412

把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：

11n1n

——=—

nn1n（n1）n（n1）

_n1-n_1

n（n1）n（n1）

1

n（n1）

十111

%=——

n（n1）nn1

F面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。

【典型例题】

1

1

1

19851986

-1985

1986

1

1

1

19861987

-1986

1987

1

1

1

19871988

-1987

1988

1995199619951996

1_11

19961997-1996一1997

上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0,这

一来问题解起来就十分方便了。

11111

…•—

1985198619861987198719881995199619961997

1

+

1997

_11

-19851986

11

_+

19971997

像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分

例2.计算:

分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。

12

1_12

12

1223

12

12334

12

123445

12

12100一100101

1

1

1

—+—

++

11

2

123

1

+

12100

Z丄丄.….

99100100101

11111

=2（…）1><22汉33汉499000100X01

111111111

=2（1…）

2233499100100101

1

=2

（1）

101

100=2

101

200

101

99=1—

101

符号所代表的数的数的积是多少?

1

这里1是个单位分数，所以

y

n2

ntn（nt）

111111

分析与解：

减法是加法的逆运算，1丄L就变成-丄—，与

6（）£>6（）<>

111111

前面提到的等式1丄相联系，便可找到一组解，即-丄

nn+1n（n+1）6742

另外一种方法

111

设n、x、y都是自然数，且x严y，当时，利用上面的变加为减的想法，

nxy

得算式

nx

x-n—定大于零，假定x-n=t0，贝Ux=n•t,代

当t=1时，x=7,y=42当t=2时，x=8,y=24

当t

=3时，

x=9,y

-18

当t

=4时，

x=10,

y=15

当t

=6时，

x=12,

y=10

当t

=9时，

x=15,

y=10

当t

=12时,

x=18,

y=9

当t

=18时,

x=24,

y=8

当t

=36时,

x=42,

y=7

故（

）和<>所

代表的两数和分别为

49,32,27,25。

【模拟试题】（答题时间：

20分钟）

1.尝试体验：

3.已知x、y是互不相等的自然数，当--时，求xy。

18xy

【试题答案】

1.计算:

1

1

1

1

1

+

…

•+

+

12

23

34

9899

99100

111111111

二1…-

22334989999100

1

100

99

100

111

3.已知x、y是互不相等的自然数，当时，求xyo

18xy

Xy的值为：

75,81,96,121,147,200,361。

11+111因为18的约数有1,2,3,6,9,18，共6个，所以有一—一

1818汉（1+1）3636

11211

一——+

1818（12）5427

5427=81

11311

一——+

1818（13）7224

7224=96

11611

=—+

18-18（16）"12621

21126=147

11911

='-f-

18一18（19）_18020

20180=200

111811

=--y-

18一18（118）-19342

19342=361

12311

一——+

1818（23）4530

3045二75

12911

18-18（29）一9922

2299=121

还有别的解法。

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资料仅供参考!

1•丄.1.….1

112123123100

公式的变式

12

12…nn（n_1）

当n分别取1,2,3,……,100时，就有