2.若复数z满足＝i（i为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a的值为________．
3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________．
（第3题） （第4题）
4.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________．
5.现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________．
6.在等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________．
7.在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线－＝1（b>0）的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________．
8.若函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的图象经过点（，2），且相邻两条对称轴间的距离为，则f（）的值为________．
9.已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为，则该正四棱锥的表面积为________．
10.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－5x，则不等式f（x－1）>f（x）的解集为________．
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－1，0），B（5，0）．若在圆M：
（x－4）2＋（y－m）2＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________．
12.已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足（＋）·＝4.若AD＝，则·的值为________．
13.已知函数f（x）＝设g（x）＝kx＋1，且函数y＝f（x）－g（x）的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是________．
14.在△ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
设向量a＝（cosα，λsinα），b＝（cosβ，sinβ），其中λ>0，0<α<β<，且a＋b与a－b互相垂直．
（1）求实数λ的值；
（2）若a·b＝，且tanβ＝2，求tanα的值．
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证：
（1）DE∥平面ACC1A1；
（2）AE⊥平面BCC1B1.
17.（本小题满分14分）
某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：
如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈（0，）．问：
对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？
18.（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的离心率为，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q（m，0）．
①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围；
②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值．
19.（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝lnx－，a>0.
（1）当a＝2时，求函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（2）若对任意x∈[1，＋∞），不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围．
20.（本小题满分16分）
已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有（a1a2…an）2＝aa.
（1）若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值；
（2）①求证：
数列{an}为等比数列；
②若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围．
2019届高三年级第二次模拟考试（十）
数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A.[选修4-2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵A＝，B＝，AB＝.
（1）求a，b的值；
（2）求A的逆矩阵A－1.
B.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值．
C.[选修4-5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
解不等式：
|2x－1|－x≥2.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点．
（1）求甲经过点C的概率；
（2）设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望．
23.（本小题满分10分）
平面上有2n（n≥3，n∈N*）个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T.
（1）若n＝3，求T的最小值；
（2）若n≥4，求证：
T≥2C.
2019届高三年级第二次模拟考试（南京、盐城）
数学参考答案
1.{x|110.（－2，3） 11.± 12.2 13.
14.
15.
（1）由a＋b与a－b互相垂直，可得（a＋b）·（a－b）＝a2－b2＝0，
所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.（2分）
又因为sin2α＋cos2α＝1，
所以（λ2－1）sin2α＝0.（4分）
因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.
又因为λ>0，所以λ＝1.（6分）
（2）由
（1）知a＝（cosα，sinα）．
由a·b＝，得cosαcosβ＋sinαsinβ＝，
即cos（α－β）＝.（8分）
因为0<α<β<，所以－<α－β<0，
所以sin（α－β）＝－＝－.（10分）
所以tan（α－β）＝＝－，（12分）
因此tanα＝tan（α－β＋β）＝＝.（14分）
16.
（1）连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1∥BB1且AA1＝BB1，
所以四边形AA1B1B是平行四边形．
又因为D是AB1的中点，
所以D也是BA1的中点．（2分）
在△BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DE∥A1C.
又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，
所以DE∥平面ACC1A1.（6分）
（2）由
（1）知DE∥A1C，因为A1C⊥BC1，
所以BC1⊥DE.（8分）
又因为BC1⊥AB1，AB1∩DE＝D，AB1，DE平面ADE，所以BC1⊥平面ADE.
又因为AE平面ADE，所以AE⊥BC1.（10分）
在△ABC中，AB＝AC，E是BC的中点，
所以AE⊥BC.（12分）
因为AE⊥BC1，AE⊥BC，BC1∩BC＝B，
BC1，BC平面BCC1B1，
所以AE⊥平面BCC1B1.（14分）
17.过点O作OH垂直于AB，垂足为H.
在直角三角形OHA中，OA＝20，∠OAH＝α，
所以AH＝20cosα，因此AB＝2AH＝40cosα.（4分）
由图可知，点P处的观众离点O最远．（5分）
在三角形OAP中，由余弦定理可知
OP2＝OA2＋AP2－2OA·AP·cos（7分）
＝400＋（40cosα）2－2×20×40cosα·（－cosα－sinα）
＝400（6cos2α＋2sinαcosα＋1）
＝400（3cos2α＋sin2α＋4）
＝800sin＋1600.（10分）
因为α∈，所以当2α＝，即α＝时，
（OP2）max＝800＋1600，
即OPmax＝20＋20.（12分）
因为20＋20<60，所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．（13分）
故对于任意α，上述设计方案均能符合要求．（14分）
18.
（1）依题意得解得
所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.（2分）
（2）解法一：
设直线的方程为y＝k（x－2），
代入椭圆C的方程，消去y，得（1＋2k2）x2－8k2x＋8k2－2＝0.
因为直线l交椭圆C于两点，
所以Δ＝（－8k2）2－4（1＋2k2）（8k2－2）>0，
解得－设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝，x1x2＝.
①设AB的中点为M（x0，y0），
则x0＝＝，y0＝k（x0－2）＝－.（6分）
当k≠0时，因为QA＝QB，所以QM⊥l，
即kQM·k＝·k＝－1.
解得m＝.（8分）
当k＝0时，可得m＝0，符合m＝.
因此m＝.
由0≤k2＝<，解得0≤m<.（10分）
②因为点Q为△FAB的外心，且点F（－1，0），
所以QA＝QB＝QF.
由（12分）
消去y，得x2－4mx－4m＝0，
所以x1，x2也是此方程的两个根，
所以x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m.（14分）
又因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以＝－，解得k2＝，
所以m＝＝.（16分）
解法二：
①设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为M（x0，y0）．
依题意两式作差，
得×＝－（x0≠0）．
又因为＝kAB＝，
所以y＝－x0（x0－2）．
当x0＝0时，y0＝0，
符合y＝－x0（x0－2）．（ⅰ）（4分）
又因为QA＝QB，所以QM⊥l，
所以（x0－m）（x0－2）＋（y0－0）（y0－0）＝0，
即y＝－（x0－m）（x0－2）．（ⅱ）（6分）
由（ⅰ）（ⅱ），解得x0＝2m，
因此y＝2m－2m2.（8分）
因为直线l与椭圆C相交，所以点M在椭圆C内，
所以＋（2m－2m2）<1，解得m<.
又y＝2m－2m2≥0，所以0≤m≤1.
综上，实数m的取值范围是.（10分）
②因为点Q为△FAB的外心，且点F（－1，0），
所以QA＝QB＝QF.
由消去y，
得x2－4mx－4m＝0.（ⅲ）（12分）
当y0≠0时，则直线l为y＝－（x－2），代入椭圆的方程，
得（2y＋x）x2－4xx＋4x－4y＝0.
将（ⅰ）代入上式化简得x2－2x0x＋3x0－2＝0.（ⅳ）
当y0＝0时，此时x0＝0，x1＝－，x2＝也满足上式．（14分）
由①可知m＝，代入（ⅲ）化简得x2－2x0x－2x0＝0.（ⅴ）
因为（ⅳ）（ⅴ）是同一个方程，
所以3x0－2＝－2x0，解得x0＝，
所以m＝＝.（16分）
19.
（1）当a＝2时，f（x）＝lnx－，f′（x）＝－，则f′
（1）＝.
又因为f
（1）＝0，所以函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝（x－1），
即x－2y－1＝0.（2分）
（2）因为f（x）＝lnx－，
所以f′（x）＝－
＝＝，（4分）
且f
（1）＝0.因为a>0，所以1－2a<1.
①当4a2－4a≥0，即a≥1时，
因为f′（x）>0在区间（1，＋∞）上恒成立，
所以函数f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．
当x∈[1，＋∞）时，f（x）≥f
（1）＝0，
所以a≥1满足条件．（6分）
②当4a2－4a<0，即0由f′（x）＝0，得x1＝1－2∈（0，1），
x2＝1＋2∈（1，＋∞），
当x∈（1，x2）时，f′（x）<0，
则函数f（x）在区间（1，x2）上单调递减，
所以当x∈（1，x2）时，f（x）（1）＝0，这与x∈[1，＋∞）时，f（x）≥0恒成立矛盾，
所以0综上，实数a的取值范围为[1，＋∞）．（8分）
（3）①当a≥1时，
因为函数f′（x）≥0在区间（0，＋∞）上恒成立，
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，
所以函数f（x）不存在极值，
所以a≥1不满足条件；（9分）
②当所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
由f′（x）＝0，得x1＝1－2∈（0，1），
x2＝1＋2∈（1，＋∞）．
列表如下：
由于函数f（x）在区间（x1，x2）是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，
所以③当a＝时，由f′（x）＝0，得x＝2.
列表如下：
此时函数f（x）仅存在极小值，不合题意，
所以a＝不满足条件．（12分）
④当0且0x2＝1＋2>1－2a.
列表如下：
所以函数f（x）存在极大值f（x1）和极小值f（x2），（14分）
此时f（x1）－f（x2）＝lnx1－－lnx2＋＝ln－.
因为0所以ln<0，x1－x2<0，x1－1＋2a<0，x2－1＋2a>0，
所以f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）所以0综上，实数a的取值范围为.（16分）
20.
（1）因为（a1a2）2＝aa3，所以a＝a1a3，
因此a1，a2，a3成等比数列．（2分）
设公比为t，因为a1，2a2，3a3成等差数列，
所以4a2＝a1＋3a3，即4×＝1＋3×，
于是4t＝1＋3t2，解得t＝1或t＝，
所以＝1或.（4分）
（2）①因为（a1a2…an）2＝aa，
所以（a1a2…anan＋1）2＝aa，
两式相除得a＝a1·，
即a＝a1a，（*）（6分）
由（*），得a＝a1a，（**）
（*）（**）两式相除得＝，
即a＝aa，
所以a＝an＋1an＋3，
即a＝anan＋2，n≥2，n∈N*，（8分）
由
（1）知a＝a1a3，所以a＝anan＋2，n∈N*，
因此数列{an}为等比数列．（10分）
②当0由n＝1时，可得0所以an＝a1qn－1≤2n－1，
因此a1＋a2＋…＋an≤1＋2＋…＋2n－1＝2n－1，
所以0当q>2时，
由a1＋a2＋…＋an≤2n－1，得≤2n－1，
整理得a1qn≤（q－1）2n＋a1－q＋1.（14分）
因为q>2，0因此a1qn<（q－1）2n，即<，
由于>1，因此n所以q>2不满足条件．
综上，公比q的取值范围为（0，2]．（16分）
21.A.
（1）因为A＝，B＝，AB＝，
所以即（4分）
（2）因为|A|＝2×3－1×4＝2，（6分）
所以A－1＝＝.（10分）
B.直线l的参数方程为（t为参数），化为普通方程为x－y＋2＝0.（2分）
设点P（cosθ，sinθ），
则点P到直线l的距离d＝＝，（6分）
取θ＝－时，cos＝1，此时d取最大值，
所以距离d的最大值为.（10分）
C.当x≥时，由2x－1－x≥2，得x≥3.（4分）
当x<时，由1－2x－x≥2，得x≤－.（4分）
综上，原不等式的解集为{x|x≥3或x≤－}．（10分）
22.
（1）设“甲从进口A开始到出口B经过点C”为事件M，
甲选中间的路的概率为，在前面从岔路到达点C的概率为，这两个事件相互独立，所以选择从中间一条路走到点C的概率为P1＝×＝.（2分）
同理，选择从最右边的道路走到点C的概率为P2＝×＝.
因为选择中间道路和最右边道路行走的两个事件彼此互斥，
所以P（M）＝P1＋P2＝＋＝.
故甲从进口A开始到出口B经过点C的概率.（4分）
（2）随机变量可能的取值X＝0，1，2，3，4，（5分）
则P（X＝0）＝C××＝，
P（X＝1）＝C××＝，
P（X＝2）＝C××＝，
P（X＝3）＝C××＝，
P（X＝4）＝C××＝，（8分）
概率分布为：
X
0
1
2
3
4
P
数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.（10分）
23.
（1）当n＝3时，共有6个点，
若染红色的点的个数为0或6，
则T＝C＝20；
若染红色的点的个数为1或5，
则T＝C＝10；
若染红色的点的个数为2或4，
则T＝C＝4；
若染红色的点的个数为3，则T＝C＋C＝2；
因此T的最小值为2.（3分）
（2）首先证明：
任意n，k∈N*，n≥k，有C>C.
证明：
因为C－C＝C>0，所以C>C.
设这2n个点中含有p（p∈N，p≤2n）个染红色的点，
①当p∈{0，1，2}时，
T＝C≥C＝
＝4×.
因为n≥4，所以2n－3>n，
所以T>4×＝4C>2C.（5分）
②当p∈{2n－2，2n－1，2n}时，
T＝C≥C，
同理可得T>2C.（6分）
③当3≤p≤2n－3时，
T＝C＋C，
设f（p）＝C＋C，3≤p≤2n－3，
当3≤p≤2n－4时，
f（p＋1）－f（p）＝C＋C－C－C＝C－C，
显然p≠2n－p－1，
当p>2n－p－1即n≤p≤2n－4时，f（p＋1）>f（p），
当p<2n－p－1即3≤p≤n－1时，f（p＋1）即f（n）f（4）>…>f（n）；
因此f（p）≥f（n）＝2C，即T≥2C.
综上，当n≥4时，T≥2C.（10分）
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