届高考数学文总复习讲义空间点直线平面之间的位置关系.docx
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届高考数学文总复习讲义空间点直线平面之间的位置关系
第三节
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、基础知识批注——理解深一点
1．平面的基本性质
（1）公理1：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.
（2）公理2：
过不在一条直线上的三点，
有且只有一个平面.
（3）公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间中两直线的位置关系
（1）空间中两直线的位置关系
关于异面直线的理解
①“不同在任何一个平面内”指这两条直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交；
②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
③异面直线不具有传递性，即若直线a与b异面，b与c异面，则a与c不一定是异面直线．
（2）异面直线所成的角
①定义：
设a，b是两条异面直线，
经过空间任一点O作直线
a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的
锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成
的角（或夹角）．
②范围：
.
（3）公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
（4）定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l⊄α.
（2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．公理2的三个推论
推论1：
经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论2：
经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论3：
经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
3．唯一性定理
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
（3）过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
（4）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
三、基础小题强化——功底牢一点
（1）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．（ ）
（2）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．（ ）
（3）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．（ ）
（4）没有公共点的两条直线是异面直线．（ ）
答案：
（1）×
（2）√ （3）× （4）×
（二）选一选
1．在空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中的一条与另外两条分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
答案：
D
2．下列说法正确的是（ ）
A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
答案：
D
3．以下四个命题中，正确命题的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0 B．1
C．2D．3
解析：
选B
①显然是正确的，可用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.
（三）填一填
4．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________（填序号）．
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
答案：
③④
5.
如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
（1）当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
（2）当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．
解析：
（1）若四边形EFGH为菱形，
则EF＝EH，∵EF綊AC，EH綊BD，∴AC＝BD.
（2）若四边形EFGH为正方形，
则EF＝EH且EF⊥EH，
∵EF綊AC，EH綊BD，
∴AC＝BD且AC⊥BD.
答案：
（1）AC＝BD
（2）AC＝BD且AC⊥BD
[典例]
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：
（1）E，C，D1，F四点共面；
（2）CE，D1F，DA三线共点．
[证明]
（1）如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B.
又A1B∥D1C，
∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面．
（2）∵EF∥CD1，EF＜CD1，
∴CE与D1F必相交，
设交点为P，如图所示．
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈DA，
∴CE，D1F，DA三线共点．
[变透练清]
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
解析：
选D A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．
2.若本例中平面BB1D1D与A1C交于点M，求证：
B，M，D1共线．
证明：
连接BD1（图略），因为BD1与A1C均为正方体ABCDA1B1C1D1的对角线，故BD1与A1C相交，
则令BD1与A1C的交点为O，则B，O，D1共线，因为BD1⊂平面BB1D1D，
故A1C与平面BB1D1D的交点为O，与M重合，故B，M，D1共线．
[解题技法]
1．证明点共线问题的常用方法
公理法
先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法
选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上
2．证明线共点问题的常用方法
先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．
3．证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法
先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法
先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合
[典例]
（1）（2019·郑州模拟）已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是（ ）
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面D．相交、平行或异面
（2）G，N，M，H分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的是________．（填序号）
[解析]
（1）
如图，取平面ABCD为α，平面ABFE为β.若直线CH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，BE，此时CD，BE异面，即b，c异面，排除A；若直线GH为a，则a在α，β内的射影分别为CD，EF，此时CD，EF平行，即b，c平行，排除B；若直线BH为a，则a在α，β内的射影分别为BD，BE，此时BD，BE相交，即b，c相交，排除C.综上所述选D.
（2）图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．
[答案]
（1）D
（2）②④
[解题技法]
[题组训练]
1．下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；
③一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③ B．②④
C．③④D．②③
解析：
选B ①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②显然正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.
2.
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确结论的序号为________．
解析：
直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．
答案：
③④
1．（2019·衡阳模拟）若直线l与平面α相交，则（ ）
A．平面α内存在直线与l异面
B．平面α内存在唯一一条直线与l平行
C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直
D．平面α内的直线与l都相交
解析：
选A 当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面
C．平行D．垂直
解析：
选A 由BC綊AD，AD綊A1D1，知BC綊A1D1，
从而四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，
故A1B与EF相交．
3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选B 直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.
4.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥（如图），使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α（ ）
A．不存在
B．只有1个
C．恰有4个
D．有无数多个
解析：
选D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m，n确定了一个平面β.作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相交，则截得的四边形必为平行四边形，而这样的平面α有无数多个．
5．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么（ ）
A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外
解析：
选A 如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．
6.
如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．
解析：
依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．
答案：
5
7．在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．
解析：
由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．
答案：
平行 AD
8.
如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝，有以下四个结论．
①EF与GH平行；
②EF与GH异面；
③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
其中正确结论的序号为________．
解析：
如图所示．连接EH，FG，
依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，
故EH∥FG，所以E，F，G，H共面．
因为EH＝BD，FG＝BD，故EH≠FG，
所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，
故点M在平面ACB上．同理，点M在平面ACD上，
所以点M是平面ACB与平面ACD的交点，
又AC是这两个平面的交线，
所以点M一定在直线AC上．
答案：
④
9.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．
（1）AM和CN是否共面？
说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由．
解：
（1）AM和CN共面，理由如下：
连接MN，A1C1，AC.
∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
又∵A1A綊C1C，
∴四边形A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴AM和CN在同一平面内．
（2）D1B和CC1是异面直线．
理由如下：
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
∴D1，B，C，C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾，
∴假设不成立，∴D1B与CC1是异面直线．
10.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
说明理由．
解：
（1）证明：
因为FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊AD，
又因为BC綊AD，所以GH綊BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
（2）C，D，F，E四点共面，理由如下：
法一：
由BE綊AF，G为FA中点知BE綊GF，
所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.
由
（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，
所以EF与CH共面．
又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．
法二：
延长FE，DC分别与AB交于点M，M′（图略）．
因为BE綊AF，所以B为MA的中点．
因为BC綊AD，所以B为M′A的中点．
所以M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′），
所以C，D，F，E四点共面．
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