动物群落的稳定发展.docx
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动物群落的稳定发展
论文评阅要点
一、主要标准：
1、假设的合理性；
2、建模的创造性；
3、文字表达的清晰性；
4、结果的正确性。
二、论文组成概要：
1、题目
2、摘要
3、问题重述
4、模型假设与符号
5、分析建立模型
6、模型求解
7、模型检验与推广
8、参考文献与附录
三、参考给分步骤（10分制）
1、摘要部分（论文的方法、结果、表达饿清晰度）。
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3分
2、假设部分（合理性与创造性）。
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3、数学模型（创造性与完整性）。
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3分
4、解题方法与结果（创造性与正确性）。
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2分
5、模型的优缺点与推广（合理性）。
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1分
四、评阅方法
1、每位教师把卷号、分数及主要理由记录在白纸上，以便专人统计；
2、每份论文至少要三位教师评阅过，选出获奖论文的2倍数量，对分歧大的试卷讨论给分；
3、对入选论文至少要六位教师评阅过。
按分数高低排序；
4、对一、二等奖的论文要求写出30字左右的评语，与论文一起在网上发表。
五、评阅时间：
5月21日（星期六）
A题：
动物群落的稳定发展
摘要：
本文通过对某公园近两年内被运出的某种动物的年龄和性别的数据进行统计分析，并针对题目的四个问题分别建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中，应用C语言进行编程调试，通过统计学软件SAS，数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序，对建立的模型进行求解，得出了符合实际的结果。
问题一：
我们假设新生幼仔的数量为
，然后通过对各年龄阶段的存活率
、被运走的动物数量
以及该动物的总体数量的分析来建立该群落的动态变化模型
，利用该群落近两年内被运走的各年龄阶段的个体数量分布，用C语言编程计算，推测出当前该动物的年龄结构（具体结果见7页表一）。
并利用MATLAB软件对得出的数据用图形表示，利用对比分析法，得到该动物群落的基本分布轨迹，最后用统计软件SAS对模型进行相关性的分析检验，求得相关系数R与P的值，验正了模型的稳定性。
问题二：
由于现在采用注射避孕药的方法来维持该种群的稳定，而且已经没有个体被运走或被偷猎的情况，为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数
（该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量的差值）；另外从
（即年头的数量与该年年底的数量的差值）当
趋于0时，即认为该群落的个体数量是稳定的，从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题建立模型；利用MATLAB对模型进行求得，得出当不考虑不确定性因素影响时要注射药物的雌性动物数量为276头，而当考虑了双胞胎和被重复注射这两个不确定性因素影响后，得到要注射药物的雌性动物数量为352头，其中有110头是被重复注射的。
问题三：
其大致模型与问题二相近，不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量（b），即目标函数
应考虑上被运走的数量，即只是对问题二的模型进行扩充建立新的目标模型；
－b和
－b；利用MATLAB对不同b值进行求解，从而得出相应的避孕措施。
（具体结果见19页表二）
问题四：
我们引进了增量加速度的概念，利用c语言进行编程求解，然后用MATLAB软件对得到的数据进行线性回归分析，得到该群落在减少至M时重新壮大该动物群落能力的模型：
M＝3.9010+0.0047D。
最后应用统计软件SAS对模型进行稳定性分析。
关键字：
存活率年龄结构新生幼仔数稳定性最优目标增量加速度
一．问题重述与提出
位于非洲某国的国家公园中栖息着近11000头某种野生动物。
管理员要求有一个健康稳定的环境以便维持这个11000头该动物的稳定群落。
过去的20年中，整个该动物群是通过一些偷猎枪杀以及转移到外地而稳定下来的。
但是近年来，偷猎被禁止，而且每年要转移这些动物也比较困难，因此，要控制现在的数量就使用了一种避孕注射法。
用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕。
要探讨这种避孕注射法的实用性，我们需要完成以下问题：
1．探讨该动物年龄在2岁到60岁之间的合理的存活率的模型，推测这个动物群落的当前的年龄结构。
2．估计每年在该群落中有多少雌性动物要注射避孕药，可以式群落固定在11000头左右。
这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定性的影响。
3．假如每年转移50至300头此动物到别处，那么上面的避孕措施将可以有怎样的改变？
4．如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止（例如由于一场灾难导致大量该动物的死亡），那时重新壮大该动物群的能力如何？
二．基本假设与符号说明
（一）模型假设
1．该公园是非开放式的，它与外界不发生关系，从而构成独立的生物群落，该动物群落不存在与其它动物种群的竞争，或虽有竞争，但其影响只局限于该动物群落的死亡率内。
2．种群是通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为主要研究对象。
3．为了讨论的必要，我们把新生的幼儿的存活率定为75％，而其后的存活率为95％，直到60岁为止。
各年龄组的该动物经过一年后即进入高一级的年龄组，而龄超过60即认为全部死亡，退出该系统。
4．由于该公园加强了对该动物群落的保护，我们认为该动物没有再被偷猎射杀。
而该动物群落个体数量的减少只是因为自然死亡以及被运走。
5．假设同一年龄组的动物个体之间是同质的，我们只考虑其平均水平，不讨论个别差异。
6．题设该动物在10～12岁开始怀孕，我们这里设定为11岁开始，经过22个月（约两年）的怀孕期后生幼仔，即可认为该雌性动物在13～60岁的时间内可以生幼仔。
7．该群落的自然死亡是在生完幼仔后才发生的，产幼仔只发生在每年的年初时段，而被运走只发生在年底时段。
（二）符号说明
：
新生幼儿的存活率，其值为0.75；
：
1～60岁个体的存活率，其值为0.95；
：
双胞胎出生的几率，其值为0.0135；
：
该动物第k年时刻的数量；
：
该动物第k年初i龄动物的数量；
：
该动物第k年初底i龄动物的数量
：
第j年被运走的动物的数量；
：
表示该动物第k年初时的总数量；
:
表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率，其值为
；
：
表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率，其值为
；
：
表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的几率，其值为
；
：
表示从13～60岁该动物的雌性个体的总数；
：
表示从1～59岁该动物的个数总和；
：
表示60岁该动物的个体总和；
：
表示13～60岁雌性动物没有被注射避孕药部分的数量；
：
表示13～60岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内不再被注射部分的数量；
：
表示13～60岁雌性动物被注射过避孕药但在两年内被重复注射部分的数量；
：
表示每年出生幼仔的数量与该年个体死亡的数量的差值；
：
表示该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量与运走个体数量的和的差值；
：
表示该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的个体数量b的差值。
三．问题分析与模型建立
问题一：
1．我们要研究该动物群落的稳定性问题，首先要根据存活率确定其当前的年龄结构。
该动物的新生幼仔存活率较低，题设是70％到80％之间，为了讨论的需要，我们这里设定为75％。
在1岁后的存活率比较高，在这里设为95％，直到60岁，而超过60岁则认为退出该系统。
因此，我们先建立出该动物群落中年龄在2岁到60岁之间的合理的存活率的模型。
模型一：
式
（1）表示该动物第k年增长的数量；
式
（2）表示该动物第k年初时的总数量，可由已有的数据计算出
来；
式（3）表示该动物被运走的数量；
式（4）和（5）表示该动物第i龄到了年底全部转化为（i＋1）龄；
式（6）和（7）表示该动物各年龄段的变化；
式（8）表示该动物新生的幼仔数量。
2．通过对该公园近两年内从这个地区运出的该动物的年龄和性别的数据进行统计分析，并利用编程工具TurboC2.0对该模型进行编程计算（源程序及计算过程见附录1），可得到当前该动物群落的年龄结构，如下表所示：
表一该动物的年龄结构统计表
年龄（岁）
前一年数量（头）
前一年运走数量（头）
前一年剩下数量（头）
前兩年数量（头）
前兩年运走数量（头）
前两年剩下数量（头）
假设无运走数量（头）
今年数量（头）
0
792
786
806
806
746
800
1
594
0
594
604
0
604
559
600
2
564
0
564
573
20
553
531
569
3
535
0
535
544
21
523
504
540
4
508
3
505
516
13
503
478
512
5
482
4
478
490
12
478
454
486
6
457
7
450
465
13
452
431
461
7
434
20
414
441
22
419
409
437
8
412
9
403
418
14
404
388
415
9
391
15
376
397
40
357
368
394
10
371
9
362
377
14
363
349
374
11
352
22
330
358
26
332
331
355
12
334
3
331
340
13
327
314
337
13
317
23
294
322
14
308
298
320
14
301
5
296
305
27
278
283
303
15
285
13
272
289
3
286
268
287
16
270
21
249
274
14
250
254
272
17
256
0
256
260
12
248
241
258
18
243
22
221
246
20
226
228
245
19
230
14
216
233
25
208
216
232
20
218
5
213
221
17
204
205
220
21
207
13
194
209
14
195
194
208
22
196
10
186
198
10
188
184
197
23
186
0
186
188
0
188
174
187
24
176
13
163
178
2
176
165
177
25
167
30
137
169
3
166
156
168
26
158
14
144
160
4
156
148
159
27
150
12
138
151
4
147
140
151
28
142
0
142
143
3
140
132
143
29
134
20
114
135
2
133
125
135
30
127
6
121
128
3
125
118
128
31
120
3
117
121
13
108
112
121
32
113
5
108
114
16
98
106
114
33
107
8
99
108
13
95
100
108
34
101
12
89
102
10
92
94
102
35
95
10
85
96
10
86
89
96
36
90
3
87
91
12
79
84
91
37
85
7
78
86
16
70
79
86
38
80
14
66
81
12
69
75
81
39
75
10
65
76
10
66
71
76
40
71
16
55
72
12
60
67
72
41
67
21
46
68
19
49
63
68
42
63
13
50
64
13
51
59
64
43
59
10
49
60
24
36
56
60
44
56
12
44
56
17
39
53
56
45
53
6
47
53
16
37
50
53
46
50
3
47
50
25
25
47
50
47
47
6
41
47
12
35
44
47
48
44
9
35
44
45
-1
41
44
49
41
13
28
41
23
18
38
41
50
38
10
28
38
34
4
36
38
51
36
3
33
36
13
23
34
36
52
34
6
28
34
16
18
32
34
53
32
21
11
32
10
22
30
32
54
30
15
15
30
17
13
28
30
55
28
4
24
28
13
15
26
28
56
26
13
13
26
13
13
24
26
57
24
10
14
24
12
12
22
24
58
22
32
-10
22
3
19
20
22
59
20
14
6
20
22
-2
18
20
60
18
0
18
18
20
-2
17
18
生幼仔的雌性数量
784
792
734
789
13—60岁雌性数量
2735
232
2503
2772
302
2470
2569
总数量
11714
622
11092
11876
876
11000
11006
11808
注1：
0岁表示新生幼仔。
注2：
由于每个年龄段的数据均为推测值，而实际上运走的各年龄段的数量不一定全部与预测值相符，故表中“剩下数量”两组数据中出现负数可认为是独异点，不影响模型整体的准确性。
每年新生幼仔的数量（
）减去生幼仔的雌性的数量（
，由于雄性与雌性的数量比接近1：
1，我们可近似地认为13——60岁个体的雌雄数量相等），其差值即为双胞胎的数量，这个差值与生幼仔的雌性数量之比即为双胞胎的几率（
）1.35％。
由表中数据可得，
，
，
，
，这些比例都基本上接近题设的双胞胎的几率0.0135，说明以上推测得出的数据是准确的。
利用Matlab软件对以上四组数据用图形表示，并进行比较，得到该动物群落的基本分布情况图（源程序见附录2），如下图所示
图1
分析该图，可以看出，这四组曲线的轨迹、分布情况基本相同。
由于“预测当前的年龄结构情况（无运走）”一组数据没有减去被运走的个体数量，故其每个年龄层的数量都略多于前三组的数量，因此其曲线比前三组的曲线略高一点，
利用SAS软件对模型进行相关性的分析检验（源程序见附录3），得到如下结果：
图2
程序的分析及统计结论：
程序中的x1是前一年的该动物群落的年龄结构，x2是前两年该动物群落的年龄结构，x3是该动物群落没有被运出是的年龄结构，x4是预测的当前的该动物群落的年龄结构。
过程中的PROCCORR是分析变量中两两变量之间的PEAROS简单相关的。
输出结果中的结果1是一些基本的描述统计量，结果2是两两变量之间的相关矩阵，其中包括相关系数和显著性检验的概率。
由结果可知前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与前两年的该动物群落的年龄结构（x2）的相关系数R=0.99744,P=0.0001<0.01，所以前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与前两年的该动物群落的年龄结构（x2）之间存在着极显著的正相关；前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与没有运走是的该动物群落的年龄结构（x3）的相关系数R=0.99896,P=0.0001<0.01，所以前一年的该动物群落的年龄结构（x1）与没有运走时的该动物群落的年龄结构（x3）之间存在着极显著的正相关；同理可知x1与x4的相关系数R=0.99896,P=0.0001<0.01;x2与x3的相关系数R=0.99846,P=0.0001<0.01；x2与x4的相关系数R=0.99854,P=0.0001<0.01；x3与x4的相关系数R=0.99999,P=0.0001<0.01。
由以上的分析可知，x1,x2,x3,x4之间的相关系数接近1，可见模型一的稳定行很强，而且由公式推出的前一两年的数据与该公园已有的数据基本相符合，可见模型是很优的。
问题二：
由于目前该动物已经很少被移出或移入，而且偷猎枪杀的情况微乎其微，所以暂时不列入考虑范围内。
因此对该动物群落若不采用人工手段控制，则其在一定时间范围内会大幅度增加，从而破坏该种群的动态平衡。
为了保持该种群的平衡，而又不必每年运走一定数量动物，现在使用一种避孕注射法，可使该动物群落的数量固定在一定范围内，用这种方法注射一次可以使得一头成熟雌性动物在两年内不会受孕，但不会引起其它附加的反应。
我们所要做的就是估计出每年在该群落中要注射避孕药的雌性动物的数量，并且要考虑到各种不确定性因素的影响。
为了分析的方便，我们先建立初步模型，该模型暂时不考虑注射避孕药所产生的不确定性因素的影响，即不考虑两年内被重复注射的雌性数量及双胞胎的几率。
在这里我们只认为新生幼仔的数量由两部分组成，一部分为没注射过避孕药的雌性个体所生，另一部分为被注射过避孕药的雌性个体所生。
另外，由于已经没有个体被运走或被偷猎的情况，为此我们把该种群的稳定性转化为求目标函数
（该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量的差值），当
趋于0时，即认为该群落的个体数量是稳定的，从而把问题的稳定性问题转化为求单目标的最优化问题。
从而建立模型如下:
模型二：
其中：
＝
，表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率。
，表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率；
这里设
＝2596，表示从13～60岁该动物的雌性个体的总数为2596；
设
＝10243，表示从1～59岁该动物的个数总和为10243；
设
＝17，表示60岁该动物的个体总和为17；
：
表示该种群每年的新生幼仔的数量与该年死亡个体的数量总和的差值。
把已知的数据代入上述模型，从而得到以下模型：
利用Matlab软件进行编程（源程序见附录4），求得
.
其中
，说明该模型是稳定的，即该动物群落的数量被控制在一定的范围内。
由
可知，每年大约有276头雌性动物要注射避孕药，才能使该群落的数量保持在11000头左右。
模型三（模型二的改进）：
由于每年被注射的雌性动物数量一定，所以被注射过后两年有可能又被注射，则将其归入到“被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物”内。
因此，注射避孕药所产生的不确定性因素之一即为“被注射过避孕药但在两年避孕期内被重复注射的雌性动物”。
另外不确定因素之二即双胞胎的几率问题，所以这里我们加入一个参数
。
当第一年采用注射避孕药的方法时，是不会发生有雌性个体被重复注射的情况的，故有以下模型：
其中：
＝
，表示每年没有注射避孕药的雌性动物生幼仔的几率；
，表示被注射过避孕药但在两年内不再被注射的雌性动物生幼仔的几率；
，表示被注射过避孕药但在两年内被重复注射的雌性动物生幼仔的几率；
，表示新生幼仔的存活率；
＝0.95,表示1～60岁动物的存活率；
表示新出生的幼仔中双胞胎的概率。
利用Matlab软件求解（源程序见附录5），求得
其中
，说明该模型是稳定的，即该动物群落的数量被控制在一定的范围内。
由
可知，每年大约有367头雌性动物要注射避孕药，才能使该群落的数量保持在11000头左右。
由于考虑双胞胎的机率，故必须增加注射的数量。
当注射避孕药一年后再次注射时，就会有某些数量的雌性个体被重复注射的情况出现，但这部分一定比前一年注射的雌性个体的数量少，故建立以下模型
模型四：
代入已知数据，得到以下目标函数模型：
其中
是前一年被注射避孕药的雌性个体的数量。
利用Matlab软件编写程序求解，通过对
的不同取值进行调试，（源程序见附录6）求得当
＝242时，模型稳定，此时
其中
与模型三的解相同，说明新生幼仔的数量比较稳定，而每年注射避孕药的雌性动物则减少到352头，其中有110头是在注射后一年又被重复注射的数量，而
则说明了该动物群落的个体数量是稳定的，被控制在一定范围内。
由此可知当每年注射352头时，就能把该动物群落的数量控制在11000头范围内。
问题三:
假如每年转移50至300头此动物到别处，其大致模型与问题二相近，不同之处在于要考虑到被运走的动物的数量（b），即
应表示该种群每年的新生幼仔的数量减去该年死亡个体的数量与运走个体数量的和的差值。
相应的避孕措施将改变如下：
模型五：
其中b表示该年被运走的动物的数量（50～300）；
代入已有数据，并把方程标准化，得到以下模型：
其中b的值在50～300之间变化，我们以50头为间距（即b的值分为50，100，150，200，250，300六种情况），利用软件MATLAB6.0计算得到每年转移从50至300头到别处时所应采取的避孕措施（源程序见附录7），当取b＝50时，得到以下输出结果：
：
由输出结果的提示可知，在100000次迭代后仍然无法找到最优值；由exitflag=-1可知，以上模型得到的数据是发散的，从而说明上述模型本身并不存在问题，只是计算机无法在有限的迭代次数内找到最优值。
为此解决该问题，我们对以上模型进行修改，把目标函数
定义为该动物群落在年底时的总数量与年初的数量加上被运走的数量b的差值，从而得到以下模型：
模型六：
其中
式
（1）表示目标函数，其值趋于0；
式
（2）表示该动物在第k年初的数量，其值取11000；
式（3）和（4）表示该动物第i龄到了年底全部转化为（i＋1）龄；
式（5）和（6）表示该动物各年龄段的变化；
式（7）表示该动物新生的幼仔数量；
式（8）表示该动物在13～60岁的雌性个体数量之和；
对b以10为间距，分别从50取到300头，利用MATLAB软件进行求解（源程序见附录8），得到以下表二：
被运走的数量（头）
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
被注射的数量（头）
370
361
351
342
332
322
313
304
294
285
被运走的数量（头）
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
被注射的数量（头）
27
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