同余问题.docx
《同余问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《同余问题.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
同余问题
“差同减差,和同加和,余同取余,最小公倍加”这是同余问题的口诀。
所谓同余问题,就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数,反求这个数,称作同余问题。
首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数,下面以4、5、6为例,请记住它们的最小公倍数是60。
1、差同减差:
用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,减去这个相同的差数,称为:
“差同减差”。
例:
“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,因为4-1=5-2=6-3=3,所以取-3,表示为60n-3。
【60后面的“n”请见4、,下同】
2、和同加和:
用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:
“和同加和”。
例:
“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+1=7,所以取+7,表示为60n+7。
3、余同取余:
用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,
此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:
“余同取余”。
例:
“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。
4、最小公倍加:
所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即上面1、2、3中的60n)都满足条件,
称为:
“最小公倍加”,也称为:
“公倍数作周期”。
1求437×309×1993被7除的余数。
思路分析:
如果将437×309×1993算出以后,再除以7,从而引得到,即437×309×1993=269120769,此数被7除的余数为1。
但是能否寻找更为简变的办法呢?
437≡3(mod7)
309≡1(mod7)
由“同余的可乘性”知:
437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)
又因为1993≡5(mod7)
所以:
437×309×1993≡3×5(mod7)
≡15(mod7)≡1(mod7)
即:
437×309×1993被7除余1。
2、70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和,这一行最左边的几个数是这样的:
0,1,3,8,21,……,问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?
思路分析:
如果将这70个数一一列出,得到第70个数后,再用它去除以6得余数,总是可以的,但计算量太大。
即然这70个数中:
中间的一个数的3倍是它两边的数的和,那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?
0,1,3,8,21,55,144,……被6除的余数依次是
0,1,3,2,3,1,0,……
结果余数有类似的规律,继续观察,可以得到:
0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,1,3,2,3,……
可以看出余数前12个数一段,将重复出现。
70÷2=5……10,第六段的第十个数为4,这便是原来数中第70个数被6除的余数。
思路分析:
我们被直接用除法算式,结果如何。
3、分别求满足下列条件的最小自然数:
(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1。
(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1。
(3)用3除余1,用5除余2,用7除余2。
(4)用3除余2,用7除余4,用11除余1。
思路分析:
(1)该数减去1以后,是3,5和7的最小公倍数105,所以该数的是105+1=106
(2)该数减去1以后是5和7的公倍数。
因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。
下面列举一些同时被5除余1,被7除余1的数,即
1,36,71,106,141,176,211,246,……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。
36≡0(mod3),71≡2(mod3),符合条件的最小的数是71。
(3)我们首先列举出被5除余2,被7除余2的数,2,37,72,107,142,177,212,247,……
从以上数中寻找最小的被3除余1的数。
2(mod3),37≡(mod3)、因此符合条件的最小的数是37。
(4)我们从被11除余1的数中寻找答案。
1,12,23,34,45,56,67,78,89,100,133,144,155,166,177,188,199,210,232,243,……
1(mod3);1(mod7),不符合
12≡0(mod3),12≡5(mod7)不符合
23≡2(mod3),23≡2(mod7)不符合
34≡1(mod3),34≡6(mod7)不符合
45≡0(mod3),45≡3(mod7)不符合
56≡2(mod3),56≡0(mod7)不符合
67≡1(mod3),67≡4(mod7)不符合
78≡0(mod3),78≡1(mod7)不符合
89≡2(mod3),89≡5(mod7)不符合
100≡1(mod3),100≡2(mod7)不符合
122≡2(mod3),122≡3(mod7)不符合
133≡1(mod3),133≡0(mod7)不符合
144≡1(mod3),144≡4(mod7)不符合
155≡2(mod3),155≡1(mod7)不符合
166≡1(mod3),166≡5(mod7)不符合
177≡0(mod3),177≡2(mod7)不符合
188≡2(mod3),188≡6(mod7)不符合
199≡1(mod3),199≡3(mod7)不符合
210≡0(mod3),210≡0(mod7)不符合
221≡2(mod3),221≡4(mod7)符合
因此符合条件的数是221。
4、判断以下计算是否正确
(1)42784×3968267=1697598942346
(2)42784×3968267=1697598981248
思路分析:
若直接将右边算出,就可判断
41784×3968267=169778335328,可知以上两结果均是错的;但是计算量太大。
如果右式和左式相等,则它们除以某一个数余数一定相同。
因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数,便是原数除以9的余数。
我考虑上式除以9的余数,如果余数不相同,则上式一定不成立。
(1)从个位数字可知,右式的个位数字只能是8,而右式个位为6,因此上式不成立。
(2)右式和左式的个位数字相同,因而无法断定上式是否成立,但是
4+2+7+8+4=25,25≡7(mod9)
3+9+6+8+2+6+7=41,41≡5(mod9)
42784≡7(mod9);3968267≡5(mod9)
42784×3968267≡35(mod9)
≡8(mod9)
(1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8)≡3(mod9)
因此
(2)式不成立
以上是用“除9取余数”来验证结果是否正确,常被称为“弃九法”。
不过应该注意,用弃九法可发现错误,但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。
小学奥数竞赛专题之同余问题
[专题介绍]:
同余问题
生活中我会经常遇到与余数有关的问题,比如:
某年级有将近400名学生。
有一次演出节目排队时出现:
如果每8人站成一列则多余1人;如果改为每9人站成一列则仍多余1人;结果发现现成每10人结成一列,结果还是多余1人;聪名的你知道该年级共有学生多少名吗?
假设有一名学生不参加演出,则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。
因此此时学生人数应是8、9、10公倍数,而8、9、10的最小公倍数是360,因此可知该年级共有361人。
研究与余数有关的问题,能帮助我们解决很多较为复杂的问题。
[分析]
1、两个整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同,就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余,即a≡b(modm)
2、同余的重要性质及举例。
〈1〉a≡a(modm)(a为任意自然)
〈2〉若a≡b(modm),则b≡a(modm)
〈3〉若a≡b(modm),b≡c(modm)则a≡c(modm)
〈4〉若a≡b(modm),则ac≡bc(modm)
〈5〉若a≡b(modm),c≡d(modm),则ac=bd(modm)
〈6〉若a≡b(modm)则an≡bm(modm)
其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性,"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"
注意:
一般地同余没有"可除性",但是:
如果:
ac=bc(modm)且(c,m)=1则a≡b(modm)
3、整数分类:
〈1〉用2来将整数分类,分为两类:
1,3,5,7,9,……(奇数)
0,2,4,6,8,……(偶数)
〈2〉用3来将整数分类,分为三类:
0,3,6,9,12,……(被3除余数是0)
1,4,7,10,13,……(被3除余数是1)
2,5,8,11,14,……(被3除余数是2)
〈3〉在模6的情况下,可将整数分成六类,分别是:
0(mod6):
0,6,12,18,24,……
1(mod6):
1,7,13,19,25,……
2(mod6):
2,8,14,20,26,……
3(mod6):
3,9,15,21,27,……
4(mod6):
4,10,16,22,29,……
5(mod6):
5,11,17,23,29,……
[经典例题]
例1:
求437×309×1993被7除的余数。
思路分析:
如果将437×309×1993算出以后,再除以7,从而引得到,即437×309×1993=269120769,此数被7除的余数为1。
但是能否寻找更为简变的办法呢?
473≡3(mod7)
309≡1(mod7)
由"同余的可乘性"知:
437×309≡3×1(mod7)≡3(mod7)
又因为1993≡5(mod7)
所以:
437×309×1993≡3×5(mod7)
≡15(mod7)≡1(mod7)
即:
437×309×1993被7除余1。
例2:
70个数排成一行,除了两头的两个数以外,每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和,这一行最左边的几个数是这样的:
0,1,3,8,21,……,问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几?
思路分析:
如果将这70个数一一列出,得到第70个数后,再用它去除以6得余数,总是可以的,但计算量太大。
即然这70个数中:
中间的一个数的3倍是它两边的数的和,那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢?
0,1,3,8,21,55,144,……被6除的余数依次是
0,1,3,2,3,1,0,……
结果余数有类似的规律,继续观察,可以得到:
0,1,3,2,3,1,0,5,3,4,3,5,0,1,3,2,3,……
可以看出余数前12个数一段,将重复出现。
70÷2=5……10,第六段的第十个数为4,这便是原来数中第70个数被6除的余数。
思路分析:
我们被直接用除法算式,结果如何。
例4、分别求满足下列条件的最小自然数:
(1)用3除余1,用5除余1,用7除余1。
(2)用3除余2,用5除余1,用7除余1。
(3)用3除余1,用5除余2,用7除余2。
(4)用3除余2,用7除余4,用11除余1。
思路分析:
(1)该数减去1以后,是3,5和7的最小公倍数105,所以该数的是105+1=106
(2)该数减去1以后是5和7的公倍数。
因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。
下面列举一些同时被5除余1,被7除余1的数,即
1,36,71,106,141,176,211,246,……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。
36≡0(mod3),71≡2(mod3),符合条件的最小的数是71。
(3)我们首先列举出被5除余2,被7除余2的数,2,37,72,107,142,177,212,247,……
从以上数中寻找最小的被3除余1的数。
2(mod3),37≡(mod3)、因此符合条件的最小的数是37。
(4)我们从被11除余1的数中寻找答案。
1,12,23,34,45,56,67,78,89,100,133,144,155,166,177,188,199,210,232,243,……
1(mod3);1(mod7),不符合
12≡0(mod3),12≡5(mod7)不符合
23≡2(mod3),23≡2(mod7)不符合
34≡1(mod3),34≡6(mod7)不符合
45≡0(mod3),45≡3(mod7)不符合
56≡2(mod3),56≡0(mod7)不符合
67≡1(mod3),67≡4(mod7)不符合
78≡0(mod3),78≡1(mod7)不符合
89≡2(mod3),89≡5(mod7)不符合
100≡1(mod3),100≡2(mod7)不符合
122≡2(mod3),122≡3(mod7)不符合
133≡1(mod3),133≡0(mod7)不符合
144≡1(mod3),144≡4(mod7)不符合
155≡2(mod3),155≡1(mod7)不符合
166≡1(mod3),166≡5(mod7)不符合
177≡0(mod3),177≡2(mod7)不符合
188≡2(mod3),188≡6(mod7)不符合
199≡1(mod3),199≡3(mod7)不符合
210≡0(mod3),210≡0(mod7)不符合
221≡2(mod3),221≡4(mod7)符合
因此符合条件的数是221。
例5判断以下计算是否正确
(1)42784×3968267=1697598942346
(2)42784×3968267=1697598981248
思路分析:
若直接将右边算出,就可判断
41784×3968267=169778335328,可知以上两结果均是错的;但是计算量太大。
如果右式和左式相等,则它们除以某一个数余数一定相同。
因为求一个数除以9的余数只需要先求这个数数字之和除以9的余数,便是原数除以9的余数。
我考虑上式除以9的余数,如果余数不相同,则上式一定不成立。
(1)从个位数字可知,右式的个位数字只能是8,而右式个位为6,因此上式不成立。
(2)右式和左式的个位数字相同,因而无法断定上式是否成立,但是
4+2+7+8+4=25,25≡7(mod9)
3+9+6+8+2+6+7=41,41≡5(mod9)
42784≡7(mod9);3968267≡5(mod9)
42784×3968267≡35(mod9)
≡8(mod9)
(1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8)≡3(mod9)
因此
(2)式不成立
以上是用"除9取余数"来验证结果是否正确,常被称为"弃九法"。
不过应该注意,用弃九法可发现错误,但用弃九法没找出错误却不能保证原题一定正确。
习题
1、求16×941×1611被7除的余数。
3、判断结果是否正确:
(1)5483×9117=49888511
(2)1226452÷2683=334
4、乘法算式
3145×92653=291093995的横线处漏写了一个数字,你能以最快的办法补出吗?
5、13511,13903,14589被自然数m除所得余数相同,问m最大值是多少?
第14讲数论之同余与余数问题
【和差积的余数同余余数的和差积】
【1】
【解析】(9+7+2)×(9-7)×(7-2)=18×2×5=180,180除以11余4.
【2】
【解】、、除以3,余数是0,所以只须看表达式除以3余几.
注意:
如果a除以3余,b除以3余.,那a×b除以3所得的余数就是内×除以3所得的余数
因为4、7除以3余1,所以、,除以3,余数也是1.
因为5、8除以3余2,所以、除以3,余数与,除以3的余数相同而=16除以3余1,所以=×2除以3余2,=×除以3余l(=1×1)
于是除以3,所得余数与l+4+l+2+1+1除以3,所得余数相同,即余数是1.
【3】
【解】有已知,乙,丙,丁三人取走的七盒中,糖的块数是丁所取糖块数的5倍.八盒糖的总块数是
9+17+24+28+30+31+33+44=216216除以5的余数为1,所以甲取走的一盒除以5余1.因此甲取走的一盒中有31块奶糖.
【4】
【解法1】甲余11人,乙余36-11=25人.甲团人数与乙团人数的积除以36,余数与11×25除以36的余数相同,即余23.所以最后一卷拍了23张,还可拍36-23=13张.
【解法2】因为除去最后一辆车,其它个车里两团代表人数都是36的倍数,所以剩下胶片是最后一辆车里两团代表拍完照留下的.25×11÷36=7……23还可拍36-23=13(张).
【5】
【分析】任何数乘方的尾数都是4个数一周期.
7是7、9、3、1循环,因为2010÷4=502…2,所以尾数是9.
8是8、4、2、6循环,因为98÷4余2,所以尾数是4.
9是9、1、9、9循环,因为2009÷4余1,所以尾的数是9.
9+9×4=45,个位为5.
【6】
【分析】求结果除以l0的余数即求从l到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的,而对于一个数的幂方的个位数,我们知道它总是4个一循环的,因此把每个加数的个位数按20个一组,则不同组中对应的数字应该是一样的.
首先计算的个位数字为M.2005个加数中有100组多5个数,100组的个位数是M×100的个位数即O,另外5个数为,它们和的个位数字是1+4+7+6+5=23的个位数3.
【7】
【分析】同余的性质的应用.
【解】∵143≡3(mod7)
∴≡(mod7)
∵≡1(mod7)
∴≡5(mod7).
【评析】这类题都是通过找几次方除以7得余数1作为突破,大大简化题目的难度。
【巩固】
【解析】2011÷8余3,与除以8的余数相同,3×3除以8余1,所以
【同余-用于求除数】同余:
a÷x余r,b÷x余r,则(a-b)是x的倍数。
【基础知识练习】
【分析】所求自然数减去63的差可被247与248整除,再考虑这个差被26除的余数.
【解】设所求自然数减去63,差是A,则A被247与248整除,
247=19×13,248=2×124
所以A被13与2整除,13与2互质,得A被26整除.原来的自然数是A+63,所以只要考虑63被26除后的余数.
63=26×2+11
因此这个自然数被26除余11
答:
所求余数是11.
【评析】如果一个整数能被甲、乙两数整除,并不能得出它被甲、乙两数的积整除.在甲、乙两数互质时,才能导出这个数被甲、乙两数的积整除.
【1】
【解析】由85-69=16,93-85=8,推出A=8或4或2,97÷8=12……1.所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人。
【2】
【解析】这个数A除55l,745个数去除551,745,1,1133,1327,所得的余数相同,所以有551,745,1133,1327两两做差而得到的数一定是除数A的倍数.
1327-1133=194,1133-745=388,745-551=194,1327-745=582,1327-551=776,1133-551=582.
这些数都是A的倍数,所以A是它们的公约数,而它们的最大公约数(194,388,194,582,776,582)=194.
所以,这个数最大可能为194.
【3】
【分析与解】设这个除数为M,设它除63,90,130所得的余数依次为a,b,c,商依次为A,B,C.
63÷M=A……a90÷M=B……b130÷M=C……c
a+b+c=25,则(63+90+130)-(a+b+c)=(A+B+C)×M,即283-25=258=(A+B+C)×M.
所以M是258的约数.258=2×3×43,显然当除数M为2、3、6时,3个余数的和最大为3×(2-1)=3,3×(3-1)=6,3×(6-1)=15,所以均不满足.
而当除数M为43×2,43×3,43×2×3时,它除63的余数均是63,所以也不满足.
那么除数M只能是43,它除63,90,130的余数依次为20,4,1,余数的和为25,满足.
显然这3个余数中最大的为20.
【余数三大类问题-用于求被除数】
(1)余同:
最小公倍数的倍数+余数,
(2)差同(差=除数-余数):
最小公倍数的倍数-差
(3)都不同:
结合中国剩余定理与不定方程两边对某数求余数的方法。
【1】
【分析】N加上1,就可以被10、9、8、…、2整除.
【解】由于N十l被10、9、8、…、2整除,而10、9、8、…、2的最小公倍数是
5×9×8×7=2520
因此,N十1被2520整除.
N的最小值是
2520一1=2519
答:
N的最小值是2519.
【2】
【解】设这个数为23a+7,因为它除以19余9,所以,23a+7一9=19a+4a一2被19整除,即4a一2被19整除.令a=l,2,…,代入检验,在a=10时,4a-2=38第一次被19整除,所以所求的自然教最小是23×10+7=237
【3】
【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n除以3余1,n除以5余1.n能被7整除.
则将n-1是3、5的倍数,即是15的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数,即15t+1=7A,将系数与常数对7取模,有t+1≡0(mod7),所以t取6或6与7的倍数和.
对应孔数为15×6+l=91或91与105的倍数和,满足题意的孔数只有91.
即这个圆圈上共有91个孔.
【活学活用】
【1】
【解析一:
教材方法】甲、乙两数的差被3整除,即甲、乙两数被3除的余数相同.
一个自然数被3除,余数只有3种情况,即0、1、2.
由分析可知:
甲、乙两数被3除,余数相同,下面分三种情况讨论
(1)如果甲、乙两数被3除都余1,那么,它们的和被3整除,不符合题意.
(2)如果甲、乙两数被3除都余1,那么,它们的和被3除余2,也不符合题意.
(3)如果甲、乙两数被3除都余2,那么,它们的和被3除正好余l.
答:
甲数被3除的余数是2.
【解析二:
致远推荐】A+B=3m+1,A-B=3n,解得2A=3m+3n+1,所以A=[3×(m+n)+1]÷2,