8.若/,（sinx）=cos2x,且/（0）=-*,求方程/（x）=0的根。
9.求f[^-M
10.Jmax（x\^2。
第四章不定积分
（A层次）
dx
J.
Jsinxcosx
解：
原式訂器心
=ln（rgx）+C
2.
&dx
-2^1-x2-arcsinx+C
1-x2
解：
原式=J~x/v=——[in（x+1）-In（x-2）]+C
、wXI1・‘l~*Z丿5
Jsiii5xsinJxdx
=—sin2x——sinl2x+C
424
解：
原式=片dx=2、arcfg丘心rcfg長）=（arcfg長$+C
=lfj/+lf^si^+cM=lz+lln（silW+cos/）+c
2」2」sin/+cosf22
11
=—arcsinx+—
In（J1-x~+x）+C
22
cos*tdt=
=—x^arctQX--[xdx+-f
33」3」1+对
=-x'arctgx--x1--lii（l+x2）+C
366
8.
解：
原式=xcos（lnx）+Jx[sin（lnx^—dx=xcos（lnx）4-Jsin（lnx）dx
=xcos（lnx）+xsin（Inx）-Jxd[sin（Inx）]=xcosx0nx）+xsin（lnx）-Jcos（hix）clx
故Jcos（lnx）clx=—x[cosA（lnx）+sin（lnx）]+C
2
+c
XCOS*xclx
原式=\e,?
>rdt=^rde,=3pR-j>
=3fF—6/R+6R+C
=涉（2疔-2亦+2屛
13.
aInxlnInx
dx
解：
J
解：
原式訂品訂储^时哄
卅-丄｝〃-J鲁r总+丄+C
15.
xe
尙+m宀m（z）+c
舒皿+l）+c
解:
令y/x=tt贝|Jx=/3,clx=3t2dt
原式=Jsinf・3几〃=-3j/'〃cosf
=-3/'cost+3Jcosf・2tdt=-3f'cost+6Jtdsint=-3/2cos/+6/sin/-6fsin/〃f=-3rcosr+6tsint+6cosf+C
=-3x3cos>[x+6Vxsin\[x+6cosVx+C
解：
令仮=sinu,则x=sin2u,dx=2sin“cos“d"
原式=f——2sinz/cosz^/r/
Jcosu
=-2Judcosu=-2（mcosz/-1cosz/Jw）
=-2“cosm+2sinu+C=-2-71-xarcsin>[x+2y[x+C
18.
解：
原式=-]*11】（1+十则、7
ln（l+F）|
2x2
一呼+扣j（“）]+c
"^jd+』A（i+“）+c
f7cosx-3sinxf
ax
」5cosx+2sinx
原式_j（5cosx+2sinx）+（2cosx-5sinx）〃x
=x+ln|5cosx+2sinx|+C
x+\nxx+\nxe1f
+-dx
1+x」x
x+h\x
\+x
解:
Jsin'xcosxdx
原式訂
sin'xcos2xcosxdx
=Jsiifa{1-sin2x}/sinx
22.J
=丄sin"x--sinsx+C68
cosxsinx
解：
原式訂竺二心訂业〃（嗣JCOSXtgXJtgx
=jin/gxd（ln/gx）=丄（intgx）'+C
2
23.
|q2arccoiit
解：
原式=-ljl02arec08X42arccosx）
2
=--—!
—io2drcosr+c=
2In10
7COS.V
arcco&r
24.x1arctgxdx
解：
原式=裁必倂〃（》）
J
25.J
X+x-x,
-7T^/V
1rXdx3*\+x2
=+xyarctgx_£Jxdx+
=lx^-lx2-lln（l+x2）+C
解：
令x=lpdx=_\df
=-（4^dt
=-arcsin/+Jl+C…resin丄+£H+C
XX
解：
令x=atgt9dx=asec2tdt
原式停宀
rdtrsin2/+cos21t
訂命而訂sd/c®〃
=jsectdt+
costfsinr
=lnlsecr+!
—+C
sin/
=In
yla2+x2X
+—
aa
=Inx+y/cr+x2-yla2+x2+C
=|e2xsec2xdx+2Je2xtgxdx
=Je2xdtgx+2je2xtgxdx
=elxtgx-jfgx・2elxdx+2|elxtgxdx=e2xtgx+C
xdx
爲，J（x+l）（x+2）（x+3）
解:
原式冷禺-厲7
3dx
x+3
=—[41n（x+2）-31n（x+3）-hi（x+l）]+C
2
=扣占爲+c
（2+cosx）sinx
于是
原式可擇严
Jr+33h
=|ln（r3+3r）+C
=—Intgs—+3/g—!
+C
3I22
cosx
解：
原式=J"'"'cosxdx-Jes'nxtgxsecxdx
=jAY?
sinxJ（sinA-）-Je^^secx）
=j.xJesinx-secxsinx+JsecAz/（es,nv）
jsecx（?
sinvcosxdx
=xesinv-J严仏—secx/nx+
（B层次）
1.设/⑴的一个原函数为严，求解：
jxf"（2x）（lx=^xf',（2x\l（2x）
厶
=|jv#（2x）=|#（2x）一/（2aHv=［灯（20-£/（2a>/（2a）
由题设/«-Slnv
\X丿
xcox-sinx
|=F
/.jxf'（2x）dx=g#（2x）-扌
cos2xsin2x
44x
x+1
x（l+xex）
dx
d（xex）
加（1+加）
=In（xex）-In（1+xex）+C
=x+Inx-ln（l+x^r）+C
1
x\nx
诗昨7-外2占必
x.re2uHd7+
s
U+xIHmJIX.SSUIX8JJI
+H.SSUJX5>-丫
X.2S〔xpYS8IX8ZJ+H.SS£JI
（忌丫）px.sSUIjH«m
X—UTSxpK•
X.2Ss-
=2rln（r+2）-2jz-4^-^=2心『+2）-=2/hi（r2+2）-4t—
=2xy/ex—2一4Je'-2+4迈aret"一°二+C
贝!
lv=fdv=[————-令x=tgt[曲=fcostdt=sint+C=，人+C（1+兀手Jseer山+，
取心k于是
原式=jInxd
xlnxrx1f
一—dx
yl\+X2」Jl+FX
x\nxrdx
7i+%27i+a-2
原式=J/cos?
tdt
=丄J/（l+COs2/）6〃
+*j*/cos2/〃⑵）=+*j*/〃（sin2/）+#sin2f-Jsin
+—ZsinrcosZ+-cos2/+C
28
=—（arcsiiix）-+—xy!
\-x2arcsinx-—x2+C
424
10.J
x3arccos^f
—dx
解：
令"=arccosx,
Vl-x2
Jl
=-守2八/（1」乍
=_F（l—x孚—J（l_x#d（l—F）
一字邛+C
取一-二^（1」乍，于是
原式=一二、〔（1-x2）2arccosx-|-二（1-x2）2t/arccosx
1-x2
二^（1—x手arccosx-\-（1-x2-J=dx
-x2arccos^-—x（6+x2）+C
9'7
dx
+
1+。
+垃+
I+z+gw"+7z+gw
寸
+-l:
+uiUII+Tx
亍）
-p
「（I+・）e「（elJ）E「
•2
、二
WJ2P耳.』令：
灌
jpRUXPJ?
—*HXWrHI+x、令“»
、
a丁笊M
XHrso。
€「lr
i
原式=2jln『_l»〃
=2伽『-1）-2»是/
=2rhi（r2-l）-4r+-ln—+C
72r+1丿
=2Jx+1Idx—4Jx+1—2In
x
7+x
解：
^arcsin=f9贝!
j—=sin21,cos21=»tg2t=
v1+v\+x\+x
原式=Jtdtg2t=t^tg2t-^tg2tdt
=/・fg*_J（sec2/_]｝〃
=t-tg2t-tgt+t+c=xarcsinJ一依+arcsin
Vl+x
解：
原式=J
-4circtgx-—arctgx\dxQ1+JC）
=arctgx+f——!
—rdx-—（arctgx）1
x”」x1+22
-dx
1+AT丿
_--arctgx_—（circtgx^+f—-
x2」Ix
-Lamfgx_—（acfgx），+Inx_1In（1+十）+C
x22
原式=f-!
—CQStdt
J（1-sinr）cos/
訂丄^訂出乩〃bg+丄+c
J1-sin/」cos~fcos?
^A=+^=+c=^iL+cvl-x2Vl-x2Vl-A-2
I92,・2
Jcrcos°x+b^sirrx
sec2xf
1+|-tgx
1+（2妙
（b
=^rCt8[atgX]+C
19.Jxrgxsec"
xdx
解：
原式=JxseC/secx
sec4xdx
「14X41
=x—asecx=—secx——
J444
=，sec4x_土J（/g2%+\\ltgx
20.
sinx
dx
1+sinx+cosx
sin/+cos/
sinx
解：
J——奸±2
J1+smx+cosx
dt=r-In|sint+cos"+C
XY
—-Insin—+cos
2
（C层次）
1.设F（x）为/（X）的一个原函数，F（o）=l,F（x）>0,且当x>0时，有/（■y）F（x）=二一孑,求/（x）o
解：
由题意mis从而"皿r石
于是［2F（x）F\x）dx=j（］"）2dx
r—zW占卜-吕叮占曲）
乂_+『二1%=_竺+?
，+c
X+\Jx+1x+\
由F（O）=1和戸（0）=1+0得C=0,从而
故.心亠=
2（1+x）l
xv0
“0,求/（X）的一个原函数。
x>0
sin2a\
2・设f（x）=•0,
ln（2x+1）,
解：
当xv0时，有F（x）=jf\x\ix=Jsin2xdx=-gcos2x+
当x>0时，有
F（x）=J/（x）t/x=j*In（2x+1）dx
2
=x\n（2x+1）-Jx•J_]dx
=xhi（2x+l）-x+—In（2x+1）+C?
limF（x）=+Cj,limF（x）=C,
-V—^02x—^0
故C2=G—*
因而，给G不同的值，便可得到/⑴不同原函数
f（x）=
一*cos2x+G
0
xln（2x+1）+—ln（2x+l）-x+C]
22
3.设/⑴为犬的连续函数，且满足方程:
]1618
匸/（讪叮r（讪+牛+牛+C,求/（对及常数C。
解：
将等式两端对•丫求导，得
/（x）=_xV（x）+2F+20
有/（x）=2f+；U7）W
1+对
将/U）=2x15代入原式得
…r16丫18
2J严〃叮心+百+歹
BnAJ61AJ8X，6X，8「
即——=--——+——+——+C
89989
故c=£
4.设/（inx）=,计算[j'（x）dx。
解：
令lnx=F,则x=e!
/（/）=-ln
e
Jf（x）dx=JS（l「L
=-e~xIn（1+ex）4-j厂"一•dx
=Y_Tn（1+"）+1-—―-dx
\1+幺丿
=-e~xIn（1+e，）+x-In（1+e，）+C
=x-（l+g7）ln（l+/）+C
5.
设/（/一l）=lnf,且/（0（x））=lnx,
则/（A）=lnltl
x-1
又T/（0（x））=lnx
6.设广（lnx）=F0<'-1且/（O）=O,求f（x）.
解：
当0vxS1时，/（inx）=［广（inx\lhix=Jidhix=Inx+C由f（x）连续及/（o）=0得f（x）=x
从而/（x）=K+C
由/⑴连续得f（x）=ex+\-e
7.己知/'（sin2x）=cos2x+tg2x901・•>；sin"u1-sin"u
-xdx
8.若广（sinx）=cos，x,且/（0）=-y,求方程f（x）=0的根。
=-f2cos3xJcosx=——cos4x+CJ2
.•./Cv）=-l（l-x2）2+C
X/（o）=-|,・・・c=o
2
于是/（x）=-g（l-"『
故x=\-\均为/（x）=0的二重根。
解：
原式=严）广2（学需W/x
=「/⑴广'⑴-/（0/"叫
J广⑴/,2W'
訂单壯舟丄⑷T+C
J/v）L/w」4/wJ
解：
令f（x）=max（x5,x2,1）=l,|x|vl
当xX1时，|f（x、Lx=Jx'dx=扌+G当xW一1时，jf（x\lx=jx1dx=+C2
当xS_1时，|f（x）clx=|k/x=x+C5
由于原函数的连续性，于是有
（a）
即-+cl=i+g
4
i
又邸+CJ他（尹
（b）
即一I+C3=_g+C2
32
解（町、（b）,令C3=C,则C,=-+C,C2=--+C
故/max（x\x\l）=<
卜T+c,
x+C,
x<-l
-1x>\
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