导弹追踪问题数学建模matlab_精品文档.doc
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数学实验结课论文
——导弹跟踪问题
班级：
信息与计算科学
姓名：
孔雪婷
学号：
2012518083
实验一导弹跟踪问题
一．实验目的
本实验主要涉及常微分方程。
通过实验复习微分方程的建模和求解，介绍两种求解微分方程的数值方法：
Euler法和改进的Euler法，还介绍了仿真方法。
二．实际问题
某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌艇一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。
该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹的速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。
试问导弹在何时何处击中敌艇？
三．数学模型
设坐标系如下，取导弹基地为原点0（0,0）。
轴指向正东方，y轴指向正北方。
当t=0时，导弹位于O，敌艇位于点（0，H），（H=120（km））设导弹t时刻的位置为P（），由题意，
（4.1）
其中。
另外在t时刻，敌艇位置应该为，其中=90（km/h）。
由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌艇，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向，故有
（4.2）
（4.3）
方程（4.3）初值条件想
x（0）=0，y（0）=0（4.4）
构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。
由（4.2）得
两边对t求导得
即有
把（4.1）写为代入上式，就得到轨迹方程。
这是一个二阶非线性微分方程，加上初值条件，则初值问题
上式分别为（4.5），（4.6），（4.7）。
就是导弹的轨迹的数学模型。
四．解析方法
方程（4.5）可以降阶。
令，则式（4.5）化为一介可分离变量方程
易得
由式（4.7）得，从而
于是有
（4.8）
于是积分又可以得到
利用式（4.6）得,于是导弹轨迹方程为
（4.9）
设导弹击中敌艇于B（L，H），以y=H代入（4.9）得
（4.10）
而导弹击中敌艇的时刻
（4.11）
将数据代入（4.10），（4.11）式，得
L=25（km），T0.2778（h）
五．数值方法
1.Euler方法
Euler方法十分简单，就是用差商代替微商，即将代之以，而将代之以。
设导弹到达（）处的时刻为tk，那么得到计算的迭代格式为
上式分别为（4.15）（4.16）（4.17）
于是
使用MATLAB，编辑文件m4_.m：
functionm4_1（n）
H=120;
h=H/n;
lamda=90/450;
x
（1）=0;p
（1）=0;
y=0:
h:
H;
fori=0:
n-1
x（i+2）=x（i+1）+h*p（i+1）;
p（i+2）=p（i+1）+h*（lamda*sqrt（1+p（i+1）^2）/（H-y（i+1）））;
end
[x；p]’
L=x（n+1）
T=x（n+1）/90
输入m4_1（4）得到
ans=
00
00.0500
1.50000.1167
5.00250.2174
11.52540.4221
L=
11.5254
T=
0.1281
使用MATLAB，建立m4_2.m：
functionm4_2（N）
k=1;
forn=N
H=120;
h=H/n;
lamda=90/450;
x0=0;p0=0;
fori=0:
n-1
x1=x0+h*p0;
p1=p0+h*（lamda*sqrt（1+p0^2）/（H-i*h））;
x0=x1;
p0=p1;
end
L（k）=x1;
T（k）=x1/90;
k=k+1;
end
[N;L;T]'
键入m4_2（[4,8,12,24,48,96,120,240]）得到
ans=
4.000011.52540.1281
8.000015.95370.1773
12.000017.97320.1997
24.000020.55080.2283
48.000022.24940.2472
96.000023.32860.2592
120.000023.58030.2620
240.000024.15100.2683
由方程（4.1），（4.3）解出的表达式，取时间步长，对应
时导弹轨迹上点的坐标为，则Euler格式为
上式分别为（4.21）（4.22）（4.23）
当计算到即停止，于是，
使用matlab，编辑m文件：
functionm4_3（t）
H=120;Ve=90;Vw=450;
x
（1）=0;y
（1）=0;T
（1）=0;
fori=1:
10e6
M=（Ve*T（i）-x（i））/（H-y（i））;
x（i+1）=x（i）+Vw*t/sqrt（1+1/M.^2）;
y（i+1）=y（i）+Vw*t/sqrt（1+M.^2）;
T（i+1）=t+T（i）;
ify（i+1）>=H
break;
end
end
[T;x;y]'
L=x（i+1）
T=x（i+1）/Ve
m4_3（0.1）
>Inm4_3at6
ans=
000
0.1000045.0000
0.20005.361589.6795
0.300022.6750131.2155
L=22.6750
T=0.2519
m4_3（0.05）
Warning:
Dividebyzero.
>Inm4_3at6
ans=
000
0.0500022.5000
0.10001.037444.9761
0.15003.412167.3504
0.20007.646289.4484
0.250014.8679110.7580
0.300029.1948128.1070
L=
29.1948
T=
0.3244
2.改进的Euler方法
改进的Euler迭代式
上式分别为（4.24）（4.25）（4.26）（4.27）（4.28）
六．仿真方法
设导弹和敌艇在初始时刻分别位于。
此时，导弹指向。
而在时，导弹的位置，其中，敌艇的位置则为。
这时导弹沿方向飞行，的倾角为；在时导弹的位置为。
以此方式，当时，导弹的位置为，其中
（4.33）
（4.34）
（4.35）
（4.36）
而敌艇的位置为。
如之前一样，当时，仿真停止。
这时
，
七．实验任务
1.应用数学软件MATLAB对问题（4.12）~（4.14）进行数值计算，先运用Euler法，与表4.2以及表4.3的数据比较，并以更小的步长计算结果，再用改进的Euler法计算（步长与Euler法相同）
用改进的Euler方法取步长为0.1和0.05时计算，用MATLAB验证结果。
m.文件
functionm4_5（t）
H=120;Ve=90;Vw=450;
x
（1）=0;y
（1）=0;T
（1）=0;
fori=1:
10e6
M=（Ve*T（i）-x（i））/（H-y（i））;
x1（i+1）=x（i）+Vw*t/sqrt（1+1/M.^2）;
y1（i+1）=y（i）+Vw*t/sqrt（1+M.^2）;
T（i+1）=i*t;
x（i+1）=0.5*（x1（i+1）+x（i）+Vw*t/sqrt（1+（（H-y1（i+1））/（Ve*T（i+1）-x1（i+1）））.^2））;
y（i+1）=0.5*（y1（i+1）+y（i）+Vw*t/sqrt（1+（（Ve*T（i+1）-x1（i+1））/（H-y1（i+1）））.^2））;
ify（i+1）>=H
break;
end
end
[T;x;y]'
L=x（i+1）
T=x（i+1）/Ve
运行结果：
m4_5（0.1）
Warning:
Dividebyzero.
>Inm4_5at6
ans=
000
0.10002.680844.8397
0.200012.575288.2868
0.300027.0724130.2557
L=
27.0724
T=
0.3008
m4_5（0.05）
Warning:
Dividebyzero.
>Inm4_5at6
ans=
000
0.05000.518722.4880
0.10002.106044.9219
0.15005.098267.2021
0.200010.161089.0691
0.250019.6565108.9880
0.300024.2409130.9903
L=
24.2409
T=
0.2693
得到的结果与书上表4.6和4.7结果一致。
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