一次函数典型应用及月考讲义.docx
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一次函数典型应用及月考讲义
中考中与不等式结合函数有关的经济类型题
近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。
例1已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套。
已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。
若设生产N种型号的时装套数为
，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为
元。
（1）求
与
的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？
最大利润是多少？
例2某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。
（1）写出每月电话费
（元）与通话次数
之间的函数关系式；
（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；
（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。
例3荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元。
（1）设运输这批货物的总运费为
（万元），用A型货厢的节数为
（节），试写出
与
之间的函数关系式；
（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？
请你设计出来。
（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？
最少运费是多少万元？
例4某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。
已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。
（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？
请你设计出来；
（2）设生产A、B两种产品获总利润为
（元），生产A种产品
件，试写出
与
之间的函数关系式，并利用函数的性质说明
（1）中哪种生产方案获总利润最大？
最大利润是多少？
例5辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。
按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。
（1）设用
辆车装运A种苹果，用
辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求
与
之间的函数关系式，并求
的取值范围；
（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与
的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。
苹果品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
2.2
2.1
2
每吨苹果获利（百元）
6
8
5
同学们，从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？
小结：
一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考.
一、图象型
例1（2003年广西）在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：
当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克.每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：
（1）分别求出x≤1，x≥1时y与x之间的函数关系式；
（2）如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？
二、预测型
例2（2002年辽宁省）随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：
（1）求入学儿童人数y（人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？
年份（x）
2000
2001
2002
…
入学儿童人数（y）
2520
2330
2140
三、决策型
例3（2003年甘肃省）某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价（含设备损耗等）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.
方案一：
由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.
方案二：
工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.
（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式（利润=总收入-总支出）；
（2）如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.
四、最值型
例4（2011山东潍坊，21，10分）2011年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：
（1）若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？
（2）设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元，试写出W关于与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能是每天的总运费最省？
注：
对于一次函数y=kx+b，当自变量x在某个范围内取值时，函数值y可取最大（或最小）值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.
五、学科结合型
例5（2002年南京市）声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称音速）是气温x（℃）的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：
气温x（℃）
0
5
10
15
20
音速y（m/S）
331
334
337
340
343
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？
注：
本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系，是物理与数学结合的一道好题.
作业
1.（2011山东泰安，28，10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5元。
（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？
（2）当倍价定为每件多少元时，一个月的获利最大？
最大利润是多少元？
2.（2011宁波市，24，10分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每株24元，乙种树苗每株30元，相关资料表明：
甲、乙两种树苗的成活率分别为85%，90%，
（1）若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%，则甲种树苗至多购买多少株？
（3）在
（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买的树苗的费用最低？
并求出最低费用．
3.（2011湖北宜昌，19，7分）某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗约4万吨.调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随着时间
（年）逐年成直线上升,y与
之间的关系如图所示.
（1）求y与
之间的关系式；
（2）请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少?
（第19题图）
一次函数精选
2009-2010海淀上期末
4．如果点a（2，6）在函数y=kx的图象上，下列所表示的各点在这个函数图象上的是（）．
（A）（-1，-2）（B）（-2，6）（C）（1，3）（D）（3，-9）
3.（101中学）要使分式
有意义，
应满足（）
（A）
≠5（B）
≠-5（C）
≠5且
≠-5（D）
为任意实数
9．已知一次函数y=kx+3，如果y随x的增大而减小，那么k需要满足的条件是__________．
16．已知一次函数的图象过点（3，5）与点（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
解：
20．用画图象的方法解不等式5x+4<2x+10．
解：
24．已知一次函数y=kx+b，y随x增大而增大，它的图象经过点（1，0）且与x轴的夹角为45°，
（1）确定这个一次函数的解析式；
（2）假设已知中的一次函数的图象沿x轴平移两个单位，求平移以后的直线及直线与y轴的交点坐标．
解：
2010-2011人大附中
1.如图，已知直线y=kx-3经过点M，则此直线与x轴、y轴围成的三角形面积为（）
A.2B.4C.
D.
2.已知关于x的一次函数y=（k-
）x+
，其中实数k满足0A．1B．2C．kD．2k-
3.甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米
的A地，再下坡到距学校16千米的B地，甲、乙两人行
程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．若
甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和
乙上、下坡的速度仍保持不变．则下列结论：
①乙往返行程中的平均速度相同；②乙从学校出发45分钟后追上甲；③乙从B地返回到学校用时l小时18分钟；④甲、乙返回时在下坡路段相遇．其中正确的结论有（）
A．②③B．①④C．①②④D．②③④
4.直线y=kx+b与直线y=
x+2k-b关于直线y=-x成轴对称，则代数式3k÷b的值为（）
A．5B．1C.2D．4
1.函数y=
中，自变量x的取值范面是__________．
2.在△ABC中，AB=AC，∠A=x°,∠B=y°，则y与x的函数关系式是___________.
3.一次函数y=（3-k）x+k-5的图象不过第一象限，则整数k=_______.
4.直线y=-x+a与y=x+b的交点为（-p,-5），则a+b=___________．
5.已知，一次函数y=-x+5的图象经过点P（a，b）和Q（c，d），则a（c-d）-b（c-d）的值为_________.
6.直线y=3x-1与y=x-k的交点在第四象限，则k的取值范围是_______.
7.已知点P（k，k2+1）在一次函数y1=（k-1）x+k2+k的图象上，则代数式k2+k+1的值为_____________.
8.拖拉机油箱有油60公升，若每小时耗油6公升，
（1）求油箱中的剩油量Q与耗油时间t之间的函数关系；
（2）画图．
9.已知：
一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点到原点的距离为3，且过A（2，1）点，求它的解析式。
规定：
如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即y=kx+b和y=bx+k（其中｜k｜≠｜b｜），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如y=-2x+
和y=
x-2就是互助一次函数．根据规定解答下列问题：
（1）填空：
一次函数y=-
x+4与它的互助一次函数的交点坐标为（）
（2）若两个一次函数y=（k-3）x+3k-2b与y=（2k+b）x-3k+b是互助一次函数，求两函数图象与y轴围成的三角形的面积
一、解答（每题6分，共：
18分）
10.学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，汽车上至少要有l名教师，现有甲种可载45人的客车，其租金400元；乙种载容30人的客车，其租金280元，
（1）问共需租多少辆汽车?
（2）求最节省费用的租车方案．
11.己知：
直线AB：
y=2x+8与x、y轴交于A、B两点，
（1）若C为x轴上一点，且△ABC面积为32，求C点坐标：
（2）若过C点的直线l与直线y=2x+8的夹角为45°，求直线l的解析式．
12.
平面直角坐标系中，原点到直线y=kx+b的距离公式为d=
，根据这个公式
解答下列问题：
（1）原点列直线y=-
x+4的距离为_______
（2）若原点到y=（1-k）x+2k的距离为该直线与y轴交点到原点距离的一半，则k=____________.
（3）若
（1）中的直线与y轴、x轴交于A、B两点，直线AC与x轴交于C点，若∠ABC的邻补角是∠ACB的邻补角的2倍，求原点到直线AC的距离。
2010-2011海淀期中
1.在平面直角坐标系中，有A（－1，－1），B（3，3）两点，现另取一点C（1，N），当N=时，AC+BC的值最小.
2.已知，如图：
点A（1，1），点B在坐轴上，试以OA为边，使三角形OAB为等腰三角形，试在图中画这个等腰三角形并求点B有坐标。
3.（6分）已知，等腰三角形的周长为8CM，若底边长为ycm，腰长为xcm.
（1）求y随x变化的函数关系式；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）画出函数的图象.
2010-2011海淀期末
1.已知函数y=
，当x=-2时，函数值为（）
A．
B．±
C．3D．±3
2．下列点一定在函数y=
的图象上的是（）
A．（-2，2）B．（1，-1）C．（-1，-1）D．（0，0）
4．若点（x1，y1）和（x2，y2）都在直线y=-3x+5上，且x1>x2，则下列结论正确的是（）
A．y1>y2B．y15．一天，王老师从学校坐车去开会，由于途中塞车，他只好步行赶到会场，开完会后，他直接回到学校，下图中能体现他离学校的距离y（千米）与时间x（时）的关系的图象是（）
9．根据图2所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x的值为
，则输出的结果是（）
A．
B．
C．
D．
（2）（3）
11．如图3是一名同学骑自行车出行的图象，从图象得知正确的信息是（）
A．整个行进过程中的平均速度是
千米/时;
B．前20分钟的速度比后半小时速度慢
C．该同学在途中停下来休息了10分钟;
D．从起点到终点该同学共用了50分钟
二、你能填得又对又快吗？
（每小题3分，共24分）
13．函数y=
中自变量x的取值范围是___________．
16．如图4是某地气温t（℃）随着高度h（千米）的增加而降低的关系图，观察图象可知该地地面气温是_______℃；当高度超过_______千米时，气温就会低于0℃．
17．函数y=kx+b（k≠0）的图象平行于直线y=2x+3，且交y轴于点（0，-1），则其解析式是_________．
数量x（个）
1
2
3
4
5
售价y（元）
8+0.2
16+0.4
24+0.6
32+0.8
40+1.0
18．某商店出售货物时，要在进价的基础上增加一定的利润，下表体现了其数量x（个）与售价y（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是_______________．
三、认真解答，一定要细心哟！
（共60分）
22．（10分）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x-1成正比例，且x=3时y=4；x=1时y=2，求y与x之间的函数关系式，并在直角坐标系中画出这个函数的图象．
25．（10分）如图10，折线ABC是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间关系的图象（注意：
通话时间不足1分钟按1分钟计费）．
（1）通话1分钟，要付电话费多少元？
通话5分钟要付多少电话费？
（2）通话多少分钟内，所支付的电话费一样多？
（3）通话3.2分钟应付电话费多少元？
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