高一数学寒假作业人教A版必修2空间中的垂直关系word版含答案.docx

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高一数学寒假作业人教A版必修2空间中的垂直关系word版含答案

2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）

空间中的垂直关系

1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　　　B．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β

2．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中点，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

3．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（　　）

4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD（如图2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（　　）

A．相交且垂直B．相交但不垂直

C．异面且垂直D．异面但不垂直

6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β

7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）

A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n

C．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥β

D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

8．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中真命题的个数为（　　）

A．0　　　　　　　B．1

C．2D．3

9．如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（　　）

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

10．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．

①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB.

11．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：

①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.

其中能成为增加条件的是________．（把你认为正确的条件序号都填上）

12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．

13．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．

（1）求证：

AD⊥平面PBE；

（2）若Q是PC的中点，求证：

PA∥平面BDQ；

（3）若VPBCDE＝2VQABCD，试求

的值．

14．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为

的正方形，PA⊥BD.

（1）求证：

PB＝PD；

（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥DACE的体积．

15．如图，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.

（1）求证：

BC⊥AF；

（2）若点M在线段AC上，且满足CM＝

CA，求证：

EM∥平面FBC；

（3）试判断直线AF与平面EBC是否垂直？

若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）

空间中的垂直关系

1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（　　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　　　B．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β

解析：

选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a.故选C。

2．如图所示，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中点，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1DB．AA1

C．A1D1D．A1C1

解析：

选D。

由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1。

3．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（　　）

解析：

选A。

A选项中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB，B选项中，AB与CD成60°角；C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD夹角的正切值为

。

4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　）

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析：

选D.根据所给的已知条件作图，如图所示。

由图可知α与β相交，且交线平行于l.

5．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD（如图2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（　　）

A．相交且垂直B．相交但不垂直

C．异面且垂直D．异面但不垂直

6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β

解析：

选B.对于选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；对于选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故B正确；对于选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故C错误；

对于选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：

l⊥β，l∥β，l⊂β，故D错误．故选B。

7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（　　）

A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n

B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n

C．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥β

D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β

解析：

选B。

m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；根据面面垂直的性质可知B正确；由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．故选B。

8．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，且m∥β；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中真命题的个数为（　　）

A．0　　　　　　　B．1

C．2D．3

解析：

选B.①m∥n或m，n异面，故①错误；②根据面面平行的性质以及线面垂直的性质可知②正确；③m∥α或m⊂α，m∥β或m⊂β，故③错误；④根据面面垂直的性质以及面面平行的判定可知④错误，所以真命题的个数为1，故选B.

9．如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（　　）

A．AP⊥PB，AP⊥PC

B．AP⊥PB，BC⊥PB

C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC

D．AP⊥平面PBC

解析：

选B.A中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.

10．如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．

①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB.

解析：

取AE的中点F，连接MF，NF，则MF∥DE，NF∥AB∥CE，

从而平面MFN∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；

又AE⊥MF，AE⊥NF，所以AE⊥平面MFN，从而AE⊥MN，②正确；

又MN与AB是异面直线，则③错误．

答案：

①②

11．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：

①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.

其中能成为增加条件的是________．（把你认为正确的条件序号都填上）

解析：

如果AB与CD在一个平面内，可以推出EF垂直于该平面，又BD在该平面内，所以BD⊥EF，故要证BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．

答案：

①③

12．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α∥β；②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l∥α；③设α∩β＝l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；④直线l⊥α的充要条件是l与α内的两条直线垂直．其中所有的真命题的序号是________．

13．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．

（1）求证：

AD⊥平面PBE；

（2）若Q是PC的中点，求证：

PA∥平面BDQ；

（3）若VPBCDE＝2VQABCD，试求

的值．

解：

（1）证明：

由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.

又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，

所以AB＝BD，又E是AD的中点，所以AD⊥BE，

又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.

（2）证明：

连接AC，交BD于点O，连接OQ.（图略），

因为O是AC的中点，

Q是PC的中点，所以OQ∥PA，

又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，所以PA∥平面BDQ.

（3）设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.

所以VPBCDE＝

S四边形BCDEh1，

VQABCD＝

S四边形ABCDh2.

又VPBCDE＝2VQABCD，且S四边形BCDE＝

S四边形ABCD，

∴

＝

＝

.

14．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为

的正方形，PA⊥BD.

（1）求证：

PB＝PD；

（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求三棱锥DACE的体积．

解：

（1）证明：

因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD且O为BD的中点．

又PA⊥BD，PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，

由于PO⊂平面PAC，故BD⊥PO.

又BO＝DO，所以PB＝PD.

（2）如图，设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，EO，因为EQ綊

CD＝AF，

所以AFEQ为平行四边形，所以EF∥AQ，因为EF⊥平面PCD，

所以AQ⊥平面PCD，所以AQ⊥PD，PD的中点为Q，所以AP＝AD＝

.

由AQ⊥平面PCD，可得AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD＝A，

所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又BD⊥PA，BD∩CD＝D，

所以PA⊥平面ABCD.

故VDACE＝VEACD＝

×

PA×S△ACD＝

×

×

×

×

×

＝

，

故三棱锥DACE的体积为

.

15．如图，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝4，AE＝2，EF＝1.

（1）求证：

BC⊥AF；

（2）若点M在线段AC上，且满足CM＝

CA，求证：

EM∥平面FBC；

（3）试判断直线AF与平面EBC是否垂直？

若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

解：

（1）证明：

因为EF∥AB，所以EF与AB确定平面EABF，

因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥BC.

由已知得AB⊥BC且EA∩AB＝A，所以BC⊥平面EABF.

又AF⊂平面EABF，所以BC⊥AF.

（3）直线AF垂直于平面EBC.

证明如下：

由

（1）可知，AF⊥BC.

在四边形ABFE中，AB＝4，AE＝2，EF＝1，∠BAE＝∠AEF＝90°，

所以tan∠EBA＝tan∠FAE＝

，则∠EBA＝∠FAE.

设AF∩BE＝P，因为∠PAE＋∠PAB＝90°，所以∠PBA＋∠PAB＝90°，则∠APB＝90°，即EB⊥AF.又EB∩BC＝B，所以AF⊥平面EBC.