【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为6，现将该容器盛满
水，
5然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为6522容器中水的体积为V=πrl=π×（3）×6=18π.流出水的体积为V'=
（1）V=3π，如图，解：
6
苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴
2
.
2V'2×3π23=3，解得α=60°.==2.设圆柱的母线与水平面所成的角为α，则tanα=22πr2π×（3）第7讲§1.3.2球的体积和表面积432¤知识要点：
1.表面积：
S球面=4πR（R：
球的半径）.2.体积：
V球面=πR.3¤例题精讲：
【例2】表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.2解：
设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA′=14，AC=2a，又∵4πR=324π，∴R=9，∴l'=
AC=AC′2CC′2=82，∴a=8，∴S表=64×2+32×14=576.
【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（）.A．86πB．646πC．242πD．722π∴四边形ABCD为正方形.∴小圆半径r=
【解】由已知可得，B、A、C、D在球的一个小圆上.∵AB=BC=CD=DA=3，由R=r+h得R=（
2222
32.2
322R44）+（）2，解得R=6.∴球的体积V=πR3=π（6）3=86π.所以选A.2233第8讲§2.1.1平面
¤知识要点：
1.点A在直线上,记作A∈a；点A在平面α内,记作A∈α；直线a在平面α内,记作aα.2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”“符号语言”“图形语言”列表如下：
、、公理1公理2公理3图形语言文字语言符号语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.A∈l,B∈llαA∈α,B∈α过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.α∩β=lP∈α,P∈βP∈l
A,B,C不共线A,B,C确定平面α
3.公理2的三条推论：
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.¤例题精讲：
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？
【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：
EF、GH、AC三线共点.解：
∵P∈EF，EF面ABC，∴P∈面ABC.同理P∈面ADC.∵P在面ABC与面ADC的交线上，又∵面ABC∩面ADC=AC，∴P∈AC，即EF、HG、AC三线共点.【例3】求证：
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知：
直线AB,BC,CA两两相交，交点分别为A,B,C，求证：
直线AB,BC,CA共面.证明：
因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α．因为A∈α，B∈α，所以AB证明α．同理BCα，ACα.所以AB，BC，CA三直线共面．【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，
C
α
B
A
（1）AA1与CC1是否在同一平面内？
（2）点B,C1,D是否在同一平面内？
（3）画出平面AC1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线.∵
（1）解：
在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1//CC1，∴由公理2的推论可知，AA1与CC1可确定平面AC1，∴AA1与CC1在同一平面内.
（2）∵点B,C1,D不共线，由公理3可知，点B,C1,D可确定平面BC1D，∴点B,C1,D在同一平面内.（3）∵AC∩BD=O，D1C∩DC1=E，∴点O∈平面AC1，O∈平面BCD1，又C1∈平面AC1，C1∈平面BC1D，
∴平面AC1∩平面BC1D=OC1，同理平面ACD1∩平面BDC1=OE．第9讲§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
¤知识要点：
有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；
3
相交直线：
同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线1.空间两条直线的位置关系：
平行直线：
同一平面内，没有公共点；异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点.2.已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a′//a,b′//b，把a′,b′所成的锐角（或直角）叫异面直线a,b所成的角（或夹角）.a′,b′所成的角的大小与点O的选择无关，为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为（0,90°]，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a⊥b.求两条异面直线所
成角的步骤可以归纳为四步：
选点→平移→定角→计算.¤例题精讲：
【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（）.A.1条B.2条C.3条D.4条解：
过P作a′∥a，b′∥b，若P∈a，则取a为a′，若P∈b，则取b为b′．这时a′，b′相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.记a′，b′所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与a′，b′都成30°的直线．过点P与a′，b′都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是a′，b′所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和l′，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.E【例2】如图正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别C1D1为AC与BD、A1C1与EF的交点.
（1）求证：
D、B、F、E四点共面；
（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：
P、Q、R三点共线.证明：
证明
（1）∵正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1//DD1，∴BD//B1D1.又∵B1D1C1
QA1DAPBB1CF
1中，E、F为中点，∴EF//B1D1.∴EF//BD,即D、B、F、E四点共面.
（2）2∵Q∈平面AC1，Q∈平面BE，P∈平面AC1，P∈平面BE，∴
新疆王新敞
奎屯
平面AC1∩平面BE=PQ.又AC1∩平面BE=R，∴R∈平面AC1，R∈平面BE，∴R∈PQ.即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：
a、b、c、d四线共面.证明：
因为a//b，由公理2的推论，存在平面α，使得aα,bα.证明c又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，dα.c'C假设cα，则c∩α=C,在平面α内过点C作c′//b，BbAa因为b//c，则c//c′，此与c∩c′=C矛盾.故直线cα.αd综上述，a、b、c、d四线共面.【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.
（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；
（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.
（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1解：
所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.
（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60.直线与平面、第10讲§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系¤知识要点：
1.直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面内（有无数个公共点）
（2）直线与平面相交（有且只有一个；公共点）（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：
lα；l∩α=P；l//α.；2.两平面的位置关系：
（没有公共点）相交平行；（有一条公共直线）.分别记作α//β；∩β=l.α
¤例题精讲：
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小.解：
分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.连结MN、DN，设AB=2，∴PM=PN=1.而AN=DN=3，由MN⊥AD，AM=1，得MN=2，
A
∴MN=MP+NP，∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.
【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC+BD=a，ACBD=b，求EG+FH.解：
四边形EFGH是平行四边形，
22
BDFCGEH
2
2
2
11EG2+FH2=2（EF2+FG2）=（AC2+BD2）=（a22b）.22
苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴
4
【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且
AEBFHD
CFCG2==.求证：
（1）E、F、G、H四点共面；
（2）三条直线EF、CBCD3
E、分别是AB和CD的中点，∴EH//H
GH、AC交于一点.证明：
∵证明
（1）在△ABD和△CBD中，又∵
GC
1BD.2
CFCG22==，∴FG//BD.∴EH∥FG.所以，E、F、G、H四点共面.CBCD33第11讲§2.2.1直线与平面平行的判定
¤知识要点：
1.定义：
直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.2.判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示为：
aα,bα,a//ba//α.图形如右图所示.¤例题精讲：
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：
AF∥平面PEC证明：
设PC的中点为G，连接EG、FG.∵证明F为PD中点，∴GF∥CD且GF=
1CD.2
∵AB∥CD，AB=CD，E为AB中点，∴GF∥AE，GF=AE，四边形AEGF为平行四边形.∴EG∥AF，又∵AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC.【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证：
EF∥平面BB1D1D.证明：
连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC，OE=证明∵DC∥D1C1，DC=D1C1，F为D1C1的中点，
1DC.2
∴OE∥D1F，OE=D1F，四边形D1FEO为平行四边形.∴EF∥D1O.又∵EF平面BB1D1D，D1O平面BB1D1D，∴EF∥平面BB1D1D.【例3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：
AM∥平面EFG.证明：
如右图，连结DM，交GF于O点，连结OE，证明B在BCD中，G、F分别是BD、CD中点，∴GF//BC，∵G为BD中点，∴O为MD中点，在AMD中，∵E、O为AD、MD中点，∴EO//AM，又∵AM平面EFG，EO平面EFG，∴AM∥平面EFG.点评：
点评要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
新疆王新敞
奎屯
AEGMDOCF
（1）求证：
MN//平面PAD；
（2）若MN=BC=4，PA=43，求异面直线PA与MN所成的角的大小.
//
（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点，∴NH=DC.解：
2//的中点，∴NH=AM，即AMNH为平行四边形.∴MN//AH.
由MN平面PAD,AH平面PAD，∴MN//平面PAD.
1
由M是AB
//
（2）连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，OM=BC，=PA，所以∠ONM∴ON//22
就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO.
0
新疆王新敞奎屯
1
1
由MN=BC=4，PA=43,得
新疆王新敞奎屯
OM=2，ON=23所以∠ONM=30，即异面直线PA与MN成30°的角点评：
已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角，方法的点评关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.
第12讲§2.2.2平面与平面平行的判定
¤知识要点：
面面平行判定定理面面平行判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符面面平行判定定理
有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；
5
号表示为：
aβ,bβ,a∩b=Pβ//αa//α,b//α
.
¤例题精讲：
【例1】如右图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
平面MNP∥平面A1BD.证明：
连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD证明上，∴PN∥平面A1BD.同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，∴平面PMN∥平面A1BD.D1C1【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中．
（1）求证：
平面A1BD∥平面B1D1C；
（2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：
平面EB1D1∥平面FBD．B1A1//证明：
证明
（1）由B1B=DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．EGC
（2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．D从而得B1E∥AG，同
升级会员 