・：
t
\占」；工…七E，对前两式取旋度得波动方程:
iE=o
明传导电流使电磁波传播不断损耗为一个不可逆过程。
定态电磁波：
E=E（x）eSB（x）e「代入麦氏方程组得：
亦百
•、$・E・・j/:
、‘E其中：
1E=°—沦，由第一式解出$代入第
式可得：
\2Ek2E=o，
即亥姆霍兹方程。
与介质中的最大区别
在于K匚r复数，如果是绝缘介质，厂・0,；・；，!
<・•■、・；”都是实数，上述亥
姆霍兹方程便过渡为绝缘介质中定态电磁波的方程•
13、波矢量k的物理意义是什么？
如何理解导体中的波矢量？
衰减常量：
■的
方向如何确定，相位常量1的方向又如何？
答：
波矢量k是描述电磁波传播方向的一个矢量，其量值k=兀二一称为
k
波数，导体中波矢量为一复矢量。
k，二*•浮
波矢量k的实部”描述波的传播的相位尖系，虚部:
描述波幅的衰减。
将；’二；•i—，k二：
•rz代入k1=•；•“比较实部和虚部得:
©
fP2-a2=e）2R€
[&・E=—coPo
由边界条件可确定：
」的方向。
再代入上式确定”的大小•在良导体内，：
垂直于表
面也很接近法线方向。
14、电磁波在导体中和在介质中传播时存在哪些差别？
答：
①导体与绝缘介质本质差异在于导体有自由电子，电磁波进入导体后必将引起传导电流，电场对传导电流做功使得电磁波能量转化为焦耳热，故在导体中传播电磁波是一个衰减波。
绝缘介质中传播电磁波振幅不衰减②绝缘介质平面电磁波电场与磁场相位相同，导体平面电磁波电场与磁场相位不相同③绝缘介质平面电磁波电场与磁场能量相等，导体中磁场能量远大于电场能量.
15、设电子浓度为压，电量为e,质量为m，在空气中电子在电磁波的作用
下以速度v运动，设电磁波的角频率为・■，电子的运动方程近似地为：
eE二m-dvmv
dt
式中为电子与气体分子碰撞频率，且设v为常数。
已知：
Lt-J't
E=Eoe»v=v°e
试讨论电子对空气的％和；0的影响如何。
答：
将E二E°e加，v=v°e加代入电子的运动方程：
eE二m空+m?
v,得:
dt
eE=（m**ri,）v,空气中的电流密度
..2己
f=円釧=■十，于仁十）”）比较，空气电导率
n諾ne（m/
（mA-/；用+◎2
nee2（im-•）（ne,nee2m
'•（m22/）=5rri22/Jc（叶2,2）
gm
s-i
-（m22,:
:
2
其中实部「0nQ
m-
可见，空气中电子的存在使得空气变成导体，电导率出现虚部，说明有欧姆能量损
2
耗,另外空气的电容率由；。
变为；二；。
驴2,当电子浓度为
m哎怕
ne=0,；=。
二（•）=0,当对空气的磁导率没有影响
16、将一般的边值尖系用到波导内表面处，因设波导为理想导体，n为由理想导体指向管内的法向单位矢量，故除nxE=0外，还有哪几个尖系式，它们的作用如何?
对于亥姆霍兹方程的解必加的条件\E=0可如何应用？
zE=o
n汇H/
答：
在导体表面有边界条件：
当前面两式满足时，后面两式自然满
nD”
匕n启=o
足。
nH=•，说明h方向平行于表面
nE=0,说明E只有n方向分量，考虑，E=0，即得：
占=0
Wn
17、何谓TM波、TE波和TEM波?
比较一下TEM波与平面单色波之间的尖系如何？
答：
在波导内传播的波，电场E和电磁场H不能同时为横波，设波沿Z方向传
播，波模Ez=O的波称为横电（TE）波，波模Hz=O的波称为横磁（TM）波；TEM波则为Hz=O,Ez=O的横波，平面单色波需满足Hz=Ez=O,E,B同相且相互垂直，EB沿波矢方向，故平面单色波是TEM波，而TEM波未必是平面单色波。
18、我们要用波导内的电场，沿z方向加速一个带电粒子，应在波导中建立什么波型电磁场？
答：
应建立TM波，从而在z方向上有电场可以加速电子。
19、有相距为L的两无穷大理想导体板，设x轴垂直板面，在导体板间传播的波
场与y无尖。
问在何种条件下，能得到TE型、TM型、TEM型波?
写出其表示式。
答：
导体板间的电磁波满足亥姆霍兹方程，设电场的通解为：
E（x,y,z）=（Gsinkxxcoskxx）eikzz，由边界条件nE=o和占=。
cn
得：
2・
『一（牛）2,又由：
註
Fl尤\i（Qz_：
t）e“a8stx）e
＜巳二民sin：
%肘u亠）’其中《二lv_k
时得到TEM波:
冲sin（牛x）a®
収二L
20・为什么谐振腔最低频率是fno
100
有2个或都为零，则由
ExAAjCoskxXsinkyysinkzz,Ey=A2sinkycoskyysinkzzEz=A"nkxXsinkyycoskzzmp
kx=i7ky迈艮二
知谐振腔内场强E=0.8=o
21、矩形波导中的电场强度E和磁感应强度B沿传播方向的分量不同时为零，这一结论似乎违背了电磁波是横波的论断，请解释这一现象。
答：
实际上波导管的轴线方向并不是波的真正传播方向。
在波导管中的电磁波是在被管壁多次反射曲折前进的。
由于多次反射波叠加，在垂直于波导轴线方向成为驻波，而使合成波沿轴线方向前进。
22、低频电磁波用双线传输，较高频用同轴线，更高频时用波导传输。
试问高频电磁波用双线传输或低频电磁波用波导传输，可以吗？
为什么？
答：
都不可以。
高频电磁波用双线传输有向外辐射损耗和热损耗。
而低频电磁波
在波导中则不再沿波导传播，而是沿z轴方向振幅不断衰减的电磁振荡。
23、大气中的电离层能够反射广播频段的电磁波，不能反射电视频段的电磁
波，这是为什么？
答：
因为大气中的电离层是等离子体，广播频段不能在等离子
体中传播，因而被反射回来，而电视频段；・■:
:
P,可以在电离层中传播
四、计算与证明
1、考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为d和「〃的线偏振
平面波，它们都沿z轴方向传播。
（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。
（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。
解：
根据题意，设两列波的电场表达式分别为：
Ei（x,t）二Eo（x）cos（&z—\t）；E2（x,t）—E°（xjcoshz—F）
则合成波为E=Egt）E2（x,t）二E0（x）[cos（kiA■it）cos（k2Z-2t）]
k1，k2'：
；id'：
；2ki-k2'2、
=2Eo（x）cos（zt）cos（zt）
2222其中ki=kdk,k?
=k-dk；；=-■d；匕二-d；.-?
所以E=2Eo（x）cos（kz-,t）cos（dkz-d,t）
用复数表示E=2E0（x）cos（dkz-d4t）exo[i（kz-1）]相速由二=：
kz…，t确定，VP=dz/dt=j:
:
/k群速由H=dk,z—d.t确定，v9=dz/dt«/dk
2、一平面电磁波以n・45。
从真空入射到；「二2的介质，电场强度垂直于入射
面，求反射系数和折射系数。
解：
设n为界面法向单位矢量，S、S、•S”分别为入射波、反射波和折射波的玻印
亭矢量的周期平均值，则反射系数R和折射系数T定义为：
2
n2cosh
cosvEj
又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得
J引COS。
一COST“4、v；2cosncosr"
1-R仃）百COSTCOST*/,（屈1cos日+Jscos日）
根据折射定律可得：
于=30，代入上式，得
—2•岛
2、3
3、有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60。
证明这时将会发生全反
射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。
设该波在空气中的波长为=6.2810』cm,水的折射率为n=1・33。
解：
由折射定律得，临界角入二arcsin（1/1.33）=48.75，所以当平面光波以60
角入射时，将会发生全反射。
由于kx=ksinr
所以折射波相速度Vp二「7k二/ksinA-v水/sinA-c/nsinA-3c/2
透入空气的深度为
”J>/2二一sinJ-n：
=6.281072Z1>sin^60・（3/4）1.710*cm
4、频率为「的电磁波在各向异性介质中传播时，若E,D,B,H仍按e「心。
变
化，但D不再与E平行（即D=；E不成立）。
（1）证明kBkDBD二B・E二0，但一般k0。
（2）证明D=[k^E（kE）k]/。
（3）证明能流S与波矢k一般不在同一方向上。
证明：
1）麦氏方程组为：
\EB/;:
t
（D
gH=£D/a
（2）
'D=0（3）
B=0（4）
由（4）式得：
vB=Bo人七）kBoeik，,iAik•B二0
kB=0（5）
同理由（3）式得:
kDO（6）
由
（2）式得：
'
D二一kH/=kB/」（7）
BD—B（kB）/」・0（8）
由（1式得「、E二八a叫Eo=ikE--/B
B=kE/（9）
BE二（kE）E心=0（10）
由（5）、（8）可知：
k_B;D_B;E_B，所以k,E,D共面。
又由（6）可知：
k_D，所以，当且仅当E〃D时，E_k。
所以，各向异性介质中，一般kE-0。
2）将（9）式代入（7）式，便得：
D二「k（kE）/匚」•・ME・（kE）k]/
3）由（9）式得H=kE/•」
S二EH二E（kE）/」二[E2k・（kE）E]/」
由于一般情况下k「0,所以$除了k方向的分量外，还有E方向的分量，即能流S与波矢k一般不在同一方向上。
5、有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播，一个波沿x方向偏振，
另一个沿y方向偏振，但相位比前者超前72，求合成拨的偏振。
反之，一个
偏振可以分解为怎样的两个线偏振?
解：
偏振方向在X轴上的波可记为
Ex=Aocos（,t[kz）二Aocos（,t°x）
在y轴上的波可记为
Ey二代cos（rt-kz/2）=Aocos（■t-;:
oy）=%y-®oxr/2
合成得轨迹方程为：
E；E：
二AAcos",tox）cos2（,t「：
％）〕
=A：
[cos20t-九）+sin2gt一%）]=A；
的线偏振的合成。
&平面电磁波垂直射到金属表面上，试证明透入金属内部的电磁波能量全部变
为隹耳执。
丿」八\\I八、、
证明：
设在z>0的空间中是金属导体，电磁波由zvO的空间中垂直于导体表面入射。
已知导体中电磁波的电场部分表达式是：
E=EoePe'Rp>
于是，单位时间内由z=0表面的单位面积进入导体的能量为S二EH，其中
S的平均值为
H=kE/•」二（〔〕•）nE厂」
S=/Re（E*H>=-Eo/2J
在导体内部：
J二咗h：
；E0才电匕。
金属导体单位体积消耗的焦耳热的平均值为：
dQ=yRe（J*E）=：
；E2eQz/2
作积分：
Q工二注；。
一e7dz・；飞*4「即得界面上单位面积对应的导体中消耗的平均焦耳热。
又因为「二■•任所以Q・；吕/4・七0/2.駅，原题得证。
7、已知海水的=1,-=1S•nr1，试计算频率为50,106和109Hz的三种
电磁波在海水中的透入深度。
解：
取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：
=1/:
=21''、:
-・7/~
由于v=1,所以：
=1/.6匚
8、平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上，入射角为刊。
求导电介质中
电磁波的相速度和衰减长度。
若导电介质为金属，结果如何？
提示：
导电介质中的波矢量k=B+ia，a只有z分量。
（为什么？
）解：
根据题意，取入射面为xz平面，z轴沿分界面法线方向，如图所示。
（'2」；「rsirp齐）■丄〔（•2■—sim円片.,2」2二2
2c2c
其相速度为：
+衰减深度为：
仏=1/：
如果是良导体，k2的实部与其虚部相比忽略，贝U：
（灼si"）2/c2+P；■町=0
曲二切卩&/2
22sinildpsirij二2u2c
«z=-Aysin2dSin4®+co2卩2A：
）；A
2c2c
9、无限长的矩形波导管，在z=0处被一块垂直插入的理想导体平板完全封闭，求在z二二至Uz=0这段管内可能存在的波模。
解：
在此结构的波导管中，电磁波的传播满足亥姆霍兹方程：
、、2Ek2E=0,k9—E二0
电场的三个分量通解形式相同，均为：
E（x,y,z）=（CiSinkxx-DiCOskxx）（C2sinkyyD2coskyy）（C3sinkzz-D3coskzz）边界条件为:
在x=0及x=a两平面：
Ey=：
Ez=：
0，:
:
Ex/：
:
x=0在y=0及y二b两平面：
Ex二Ez=0、:
:
Ey/:
:
y=0在z=0平面：
Ex=Ey=05:
:
E2/=0由此可得:
Ex=AcoskxXsinkyysinkzZ
Ey=A2sinkxxcoskyysinkzzEz_2
AaS
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