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医学物理书1

第一章

放射物理基础

E.B.PODGORSAK

DepartmentofMedicalPhysics,

McGillUniversityHealthCentre,

Montreal,Quebec,Canada

翻译柏森王石

1.1.引言

1.1.1.基本物理常数（取四位有效数字）

·阿伏伽德罗常数:

NA=6.022×1023原子数/克－原子

·阿伏伽德罗常数:

NA=6.022×1023分子数/克－摩尔

·真空中的光速:

c=299792458m/s（≈3×108m/s）

·基本电荷:

e=1.602×10-19C

·电子静止质量:

me–=0.5110MeV/c2

·正电子静止质量:

me+=0.5110MeV/c2

·质子静止质量:

mp=938.3MeV/c2

·中子静止质量:

mn=939.6MeV/c2

·原子质量单位:

u=931.5MeV/c2

·普朗克常数:

h=6.626×10–34J·s

·真空中的介电常数:

ε0=8.854×10–12C/（V·m）

·真空中的介电常数:

μ0=4π×10–7（V·s）/（A·m）

·牛顿万有引力常数:

G=6.672×10–11m3·kg–1·s-2

·质子质量/电子质量:

mp/me=1836.0

·电子荷质比:

e/me=1.758×1011C/kg

1.1.2重要物理常数和关系的推导

·真空中的光速：

≈3×108m/s（1.1）

·简约普朗克常数×真空中的光速：

＝197.3MeV·fm≈200MeV·fm（1.2）

·精细结构常数：

（1.3）

·波尔半径：

（1.4）

·里德伯能量：

（1.5）

·里德伯常数：

（1.6）

·经典电子半径：

（1.7）

·电子康普顿波长：

（1.8）

1.1.3.物理量和单位

·物理量采用其数字值（大小）和相应单位描述。

·描述物理量符号采用斜体字，描述单位的符号用罗马字体（例如：

m=21kg；E=15MeV）。

·物理量数字值和单位间必需有空格（例如：

21kg而非21kg；15MeV而非15MeV）。

·当前使用公制单位系统如Systèmeinternationald’unités（国际单位制），缩写为SI。

SI系统基于七个基本物理量的基准单位：

长度l:

米（m）。

质量m:

千克（kg）。

时间t:

秒（s）。

电流I:

安培（A）。

温度T:

开尔文（K）。

物质的量：

摩尔（mol）。

发光强度:

烛光（cd）。

所有其它量和单位都源于这七个基本量和单位。

（见表1.1）

表1.1基本和导出物理量及其在国际单位制和放射物理中的单位

物理量符号SI放射物理中换算关系

单位使用的单位

长度

质量

时间

电流

电荷

力

动量

动能

1.1.4.自然中力的分类

各种类型粒子间相互作用存在四种不同类型的力（见表1.2）。

作用强度数量级以从大到小的顺序分别是强力、电磁力（EM）、弱力和引力，相对强度分别是1、1/137、10－6和10－39。

·电磁力和万有引力的作用距离无限大（依赖于1/r2，r是两个相互作用粒子的距离）；

·强力和弱力的作用距离则极短（几个费米的数量级）

每种力由该粒子的固有特性决定，比如：

－强力的强电荷交换称为胶子的无质量粒子；

－电磁力的电荷交换为光子；

－弱力的弱电荷交换称为W和Z0的粒子；

－万有引力的能量交换称为引力子的假想粒子。

1.1.5.基本粒子分类

目前已知两类基本粒子：

夸克和轻子。

·夸克是表现强相互作用的粒子；它们构成强子（质子和中子）；具有分数电荷（2/3或-1/3）；具有三种被称为“色”的强电荷特性中的一种：

红色、绿色和蓝色。

目前已知六种夸克：

上夸克，下夸克，奇夸克，粲夸克，顶夸克和底夸克。

·轻子是不参与强相互作用的粒子。

这一类中包括电子（e）、介子（μ）、τ（τ）和对应的中微子（νe、νμ、ντ）。

表1.2.自然界中四种基本作用力

作用力

来源

交换粒子

相对强度

强相互作用

强电荷

胶子

1

电磁作用

电荷

光子

1/137

弱相互作用

弱电荷

W和Z0

10－6

引力

能量

引力子

10－39

1.1.6.辐射分类

如图1.1所示，按电离物质的能力，辐射可分为两大类：

非电离辐射和电离辐射。

原子的电离能量（如电离一个原子所需最小能量）从碱元素的几个电子伏特到氦（惰性气体）的24.5eV。

·非电离辐射（不能电离物质）

·电离辐射（能直接或间接电离物质）：

－直接电离辐射（带电粒子）：

电子、质子、α粒子和重离子。

－间接电离辐射（中性粒子）：

光子（X射线和γ射线）、中子。

直接电离辐射通过在直接进行电离的带电粒子和介质中原子轨道电子间直接进行库仑相互作用将能量沉积在介质中。

间接电离辐射（光子或中子）通过两个步骤将能量沉积到介质中：

·第一步，在介质中释放出带电粒子（光子释放出电子或正电子，中子释放出质子或重离子）；

·第二步，释放的带电粒子通过与介质中原子的轨道电子直接进行库仑相互作用将能量沉积在介质中。

直接和间接电离辐射都用于疾病治疗，主要但不只是恶性疾病。

疾病治疗中采用放射的医学分支称为放射治疗、治疗放射学或放射肿瘤学。

放射诊断学和核医学是采用电离辐射进行疾病诊断的医学分支。

图1.1辐射分类

（图中文字内容分别是：

辐射，非电离；电离：

直接电离（带电粒子）电子、质子、等，间接电离（非带电粒子）光子、中子）

1.1.7.光子致电离辐射的分类

·特征X射线：

产生于电子在原子壳层间跃迁。

·韧致辐射：

产生于电子与核的库仑相互作用。

·γ射线：

产生于核跃迁。

·湮没光子：

产生于正负电子湮没。

1.1.8.爱因斯坦相对质量、能量和动量关系

（1.9）

（1.10）

（1.11）

（1.12）

（1.13）

其中：

v是粒子速度；

c是真空中光速；

β是粒子归一速度（即：

β=v/c）；

m（v）是粒子速度为v时的质量；

m0是粒子静止质量（速度v=0）；

E是粒子总能量；

E0是粒子静止能量；

EK是粒子动能；

P是粒子动量。

·对光子，E=hν，E0=0；于是由方程（1.13）我们得到p=hν/c=h/λ，其中ν和λ分别是光子的频率和波长。

1.1.9.辐射量和单位

最重要的辐射量和单位见表1.3。

表中也列出每个量的定义及旧单位制与国际单位制的转换关系。

表1.3辐射量、单位，以及旧单位制与国际单位制中转换关系

物理量定义SI单位旧单位换算

照射量（X）

剂量（D）

等效剂量（H）

活度（A）

∆Q是收集的两种符号的电荷；

∆mair是空气质量；

∆Eab是吸收能量；

∆m是介质质量；

wR是辐射权重因子；

λ是衰变常数；

N是放射性原子数；

R是伦琴符号；

Gy是戈瑞符号；

Sv是希沃特符号；

Bq是贝克符号；

Ci是居里符号；

STP是标准温度（273.2K）和标准压力（101.3kPa）符号。

1.2.原子与原子核结构

1.2.1.原子结构的基本定义

原子由质子、中子和电子组成。

质子和中子是已知核子，构成原子的核。

·原子序数Z：

原子中质子数或电子数。

·原子质量数A：

原子中核子数（例如：

单个原子中的质子数Z加中子数N：

A＝Z＋N）。

·在A与Z之间没有根本关系，但稳定核有符合较好的经验关系式。

（1.14）

·原子质量M：

表示为原子质量单位u，1u等于12C原子质量的1/12或931.5MeV/c2。

原子的质量M小于其中每个组成粒子质量的总和，因为原子核中存在束缚粒子（核子）的固有能量。

·原子的克原子（g-atom）：

包含NA个某元素原子的克数，其中NA＝6.022×1023原子/g-atom（阿伏加德罗常数）。

所有元素的原子质量数定义为A克某元素精确包含NA个原子。

例如：

60Co的克原子是60克60Co。

60克60Co中（1g-atom）有阿伏加德罗常数个60Co原子。

·某元素单位质量的原子数NA：

·某元素单位体积的电子数：

·某元素单位质量的电子数：

注意对所有元素（Z/A）≈0.5，值得注意的例外是氢，（Z/A）＝1。

实际上，（Z/A）从低Z元素的0.5逐渐减小到高Z元素的0.4。

·在核物理中，用符号

表述核素X，其中A是原子质量数，Z是原子序数；例如核素60Co记为

，核素226Ra记为

。

·在离子物理中，用上标＋或－表示。

例如，4He原子单个离子符号为

；4He原子双离子符号记为

，即α粒子。

·如果我们假定分子质量等于构成分子的原子质量总和，那么对任何分子的混合物（化合物），该混合物（化合物）每克摩尔有NA个分子，以克为单位的克摩尔（g-mole或摩尔）数则为组成分子的原子的原子质量数总和。

例如，一克摩尔水质量数是18克水，一克摩尔CO2的质量数是44克CO2。

于是，18克水或44克二氧化碳刚好包含NA个分子（或3NA个原子，因为每个水分子和二氧化碳都包含三个原子）。

1.2.2.原子的卢瑟福模型

模型基于盖革和麦斯登1909年用薄金箔所进行α粒子散射实验结果。

该实验为验证汤姆森原子模型是否有效。

其模型假定正电子和负电子均匀分布在原子球体中，半径为几个埃的数量级。

理论计算预示，当一个α粒子被这模型的原子散射时，散射角大于90°的概率是10－3500数量级，而盖革－麦斯登实验显示α粒子散射时散射角大于90°的概率大约是104分之一（概率是10－4）。

1911年，卢瑟福从盖革－麦斯登实验结果推定，正电荷和原子大部分质量集中于原子核（直径为几个费米），负电荷涂抹在原子外围（直径为几个埃）。

在α粒子散射中，带正电荷的α粒子与质量和电荷都大得多的原子核发生库仑排斥作用。

相互作用使α粒子产生双曲线径迹，散射角度θ是碰撞参数b的函数。

极端情况是直接击中时，b＝0和θ＝π（反向散射），假定能量守恒，反向散射相互作用的最接近距离Dα-N为：

（1.15）

其中

Zα是α粒子的原子序数；

ZN是散射介质的原子序数；

EK（α）是α粒子的初始动能。

α粒子（电荷+2e）与原子核（电荷+Ze）间的库仑斥力遵从1/r2规律：

（1.16）

从而有b与θ的关系：

（1.17）

于是，卢瑟福散射微分截面为：

（1.18）

1.2.3.氢原子的玻尔模型

玻尔1913年在结合经典非相对论力学角动量量子化概念的四个假定基础上，发展了卢瑟福原子模型。

玻尔模型成功解决了单电子原子体系，如氢原子、一次电离的氦原子、二次电离的锂原子等等。

玻尔的四个假定是：

·假定1：

电子以确定的轨道（壳层）绕着卢瑟福原子核运动。

带负电荷的电子与带正电荷原子核间库仑吸引力为FCoul＝

，与向心力

达到平衡。

其中Z是原子核的质子数（原子序数），r是轨道半径，me是电子质量，v是电子在轨道上的速度。

·假定2：

轨道上的电子尽管保持恒定加速度，但没有能量损失（该假定违反基本自然法则，即具有加速度的带电粒子将以辐射方式损失部分能量）。

·假定3：

电子在允许轨道的角动量L＝mevr是量子化的，即

。

其中n是整数形式的主量子数，

，h是普朗克常数。

角动量的简约量子化保证角动量是一个基本值的整数倍。

·假定4：

当电子从量子数ni的开始轨道跃迁到量子数nf的结束轨道，且ni＞nf，原子或离子会产生辐射。

单电子玻尔原子半径为：

（1.19）

其中a0是玻尔半径

。

单电子玻尔原子的电子速度vn是：

（1.20）

其中α是精细结构常数（α＝1/137）。

在单电子原子（例如氢原子、一次电离的氦原子、二次电离的锂原子）中轨道电子壳层能级是：

（1.21）

其中：

ER是里德伯能量（13.61eV）；

n是主量子数（基态n＝1；激发态n＞1）；

Z是原子序数（氢原子Z＝1；一次电离氦原子Z＝2；二次电离锂原子Z＝3；以此类推）。

发射光子的波数k为：

（1.22）

其中R∞是里德伯常数。

氢原子的玻尔模型的能级图如图1.2所示。

图1.2氢原子能级图（n＝1为基态，n＞1为激发态）

（图中文字分别为：

连续电子动能、离散能级、激发态、电子基态、基态）

1.2.4.多电子原子

对多电子原子，玻尔原子理论的基本概念给轨道电子结合能和电子跃迁发射光子提供了定性分析数据。

电子占据许可壳层，每壳层中电子数目最多为2n2，其中n是壳层数（主量子数）。

·Z＞20的原子，K壳层结合能EB（K）估算为：

（1.23）

其中Zeff为有效原子序数，Zeff＝Z－s，s为屏蔽常数，对K壳层电子等于2。

·当电子从某壳层跃迁到更高的n壳层，而它又有空穴或者没有完整电子结构，原子被激发。

·当电子脱离原子时，原子发生电离。

（例如，壳层中电子获得足够能量克服结合能）。

·原子中轨道电子通过各种相互作用获得特定数量能量时，发生激发和电离。

这些相互作用包括：

（i）与带电粒子库仑相互作用；（ii）光电效应；（iii）康普顿效应；（iv）三重态过程；（v）内转换；（vi）电子俘获；（vii）俄歇效应；（viii）正电子湮没。

·一个轨道电子从高n壳层将填充到低n原子壳层的电子空穴。

两个壳层间能量差值以特征光子形式发射，或将能量传递给一个更高n壳层电子，以俄歇电子形式从原子发射出。

·多电子原子能级图类似单电子原子结构，但内壳层电子被大得多的能量束缚，如铅原子在图1.3中所示。

·每个轨道电子壳层空穴发射特征光子（有时又称荧光光子）数目称为荧光产额ω，而每个轨道电子空穴发射俄歇电子数目等于（1－ω）。

荧光产额依赖于原子原子序数及壳层主量子数。

对于Z＜10原子，荧光产额ωK＝0；Z≈30时，荧光产额ωK＝0.5；高原子序数原子，K壳层荧光产额ωK为：

ωK＝0.96（见图1.9）。

1.2.5.核结构

大部分原子质量集中在由Z个质子和（A－Z）个中子组成的原子核中，Z是原子序数，A是该原子核的原子质量数。

·原子核半径r近似为：

（1.24）

其中，r0是假定等于电子经典半径re一半的常数（～1.4费米）。

·质子和中子通常称为核子，在强相互作用力下组成原子核。

与静电作用和万有引力不同，两个核子间强力作用距离非常短，大约几个费米数量级，且反比于两个粒子间距离的平方。

在如此短的距离内，强力起支配作用，超过其它作用强度几个数量级。

·原子核中每个核子结合能（EB）随核子数而逐渐改变，数量级为～8MeV/核子，在A≈60出现宽扩的最大值8.7MeV/核子。

对于特定原子核，结合能可从质量亏损∆m的能量当量计算出：

（1.25）

其中，

M是原子核质量，单位是原子质量单位u（注意uc2＝931.5MeV）；

mpc2是质子静止能量；

mnc2是中子静止能量。

1.2.6.核反应

目前核结构知识主要源自实验，即用入射粒子a轰击核素A。

轰击产生下列三种相互作用中的一种：

（i）弹性散射（无能量转移，但入射粒子改变径迹）；（ii）非弹性散射（入射粒子进入原子核，损失能量，再以不同方向出射）；（iii）核反应（入射粒子a进入靶核A，转变成剩余核B并出射另一个粒子b）。

·核反应可表示为：

a＋A→B＋b或A（a，b）B（1.26）

·所有核反应中一些物理量严格守恒，最重要的包括电荷、质量数、线动量和质量－能量。

·核反应的阈能定义为引发核反应的入射粒子最小动能。

入射粒子的动能阈值

源自相对论中能量和动量守恒：

（1.27）

其中mA、ma、mB、mb分别为靶核A、入射粒子a、剩余核B和出射粒子b的静止质量。

1.2.7.放射性

放射性是不稳定原子核转变成更稳定结构的特性。

新结构也可能不稳定，通过递次衰变再进行衰变，直到形成稳定的原子核结构。

衰变过程遵从指数衰减规律。

放射性物质改变由卢瑟福和索迪首次在1902年用公式表示，贝特曼在1910年重新精炼。

·t时刻的放射性活度A（t）定义为放射性核素数目N（t）与衰变常数λ的乘积：

（1.28）

·最简单的放射性衰变是放射性母核P以衰变常数λP直接衰变到稳定子核D：

（1.29）

－放射性母核数量NP（t）是时间t的函数，满足下列关系：

（1.30）

其中Np（0）是起始时间（t＝0）母核的初始数量。

－同样，时间t时母核的活度AP（t）为：

（1.31）

其中AP（0）是起始时间（t＝0）母核的初始活度。

·放射性物质的半衰期t1/2是放射性原子核数目衰减到起始时刻t＝0初始值NP（0）一半所需时间：

（1.32）

·母核的衰变常数λP和半衰期（t1/2）P关系为：

（1.33）

·比放射性活度a定义为单位质量的母核活度：

（1.34）

其中NA是阿伏加德罗常数，AP是母核原子质量数。

·放射性物质的平均寿命τP是指在时间t＝0时，该物质所有放射性原子母核平均预期生存时间：

（1.35）

·于是，衰变常数λP与平均寿命τP关系为：

λP＝1/τP（1.36）

推出λP与τP的关系：

（t1/2）P＝τPln2（1.37）

·更复杂的放射性衰变是衰变常数λP的放射性母核P衰变到子核D，放射性子核D又以衰变常数λD递次衰变为稳定的第二代子核：

（1.38）

－子核的活度AD（t）可表示为：

（1.39）

其中，AP（0）是母核在时刻t＝0的初始活度（即：

AP（0）＝λPNP（0），NP（0）是t＝0时母核的数量）。

－子核最大活度出现时间tmax由下式给出：

（1.40）

条件是时间t＝0时ND＝0。

·母核→子核→第二代子核关系中的特殊考虑是：

－对λD＜λP或（t1/2）D＞（t1/2）P，我们得到一般关系式：

（1.41）

－对λD＞λP或（t1/2）D＜（t1/2）P，我们有暂时平衡：

对t＞＞tmax（1.42）

－对λD＞＞λP或（t1/2）D＜＜（t1/2）P，可建立长期平衡，且

（1.43）

1.2.8.核素活化

核素活化是指稳定同位素母核P被中子轰击，发生核反应，转变为放射性子核D，并衰变成第二代子核G：

（1.44）

活化几率取决于核反应截面σ，通常用每个原子的靶恩来表示，1靶恩＝10－24cm2。

·子核活度AD（t）表示为：

（1.45）

其中NP（0）是母核的初始数目。

·该结果同样适合于P→D→G关系式（方程式（1.39））。

其中，不稳定母核P衰变到不稳定子核D，再递次衰变到第二代子核G。

然而，可以用σф来取代在P→D→G衰变中衰变常数λP，其中σ是母核的活化截面（cm2/原子），ф是反应堆中子通量率（cm-2·s-1）。

·类似于方程（1.4），活化过程中最大活度AD的出现时间tmax为：

（1.46）

·σф＜＜λD时，描述子核活度方程式（1.45）式变换成简单指数生长关系：

（1.47）

·核素活化一个重要例子是用反应堆中热中子轰击59Co生产60Co同位素：

（1.48）

或简写为

，活化反应截面σ为37×10－24cm2/原子（37靶恩/原子，1靶恩＝10－24cm2），反应堆中典型的中子通量率ф为1013cm-2·s-1数量级。

1.2.9.放射性衰变方式

原子序数Z和质量数A的放射性母核X通过下列衰变方式变成子核Y：

α、β－、β＋、电子俘获、γ和内转换。

α衰变：

（1.49）

其中

是一个4He核，也叫α粒子。

α衰变的一个例子是226Ra衰变成222Rn，半衰期1600年：

（1.50）

β－衰变：

（1.51）

一个中子转变成一个质子和一个电子β－，并从原子核中发射出反中微子

带走部分能量。

β－衰变的一个例子是60Co核素衰变到60Ni激发态，半衰期为5.26年：

（1.52）

β＋衰变：

（1.53）

一个质子转变成一个中子和一个正电子β＋，并从原子核中发射出中微子

带走部分能量。

β＋衰变的一个例子是13N衰变到13C：

（1.54）

电子捕获：

（1.55）

原子核捕获一个自身的K层轨道电子，一个质子转变成一个中子并发射出一个中微子

。

电子捕获的一个例子是125I衰变成125Te激发态，后者通过γ衰变和内转换衰变到125Te基态：

（1.56）

K壳层空穴被更高能级的轨道电子填充，跃迁能量以特征光子或俄歇电子形式从原子中释放。

γ衰变：

（1.57）

一般由β－或β＋衰变产生激发态的原子核

，通过发射一个或几个γ光子到达基态

。

γ衰变的一个例子是由60Co进行β－衰变产生激发态的

，通过发射能量分别为1.17和1.33MeV的两个γ射线，跃迁到稳定的

。

内转换：

（1.58）

除了发射光子，还可能原子核跃迁能量传递给K壳层轨道电子而将其发射出，这个电子的动能等于跃迁能量减去轨道电子结合能。

K壳层空穴被更高能级的轨道电子填充，跃迁能量以特征光子或俄歇电子形式放出。

内转换的一个例子是由125I发生电子捕获，生成激发态的125Te，再通过发射35keV的γ射线（7％）和内转换电子（93％）衰变到稳定的125Te。

1.3.电子相互作用

高能电子穿过介质时，通过库仑作用与原子轨道电子和原子核进行相互作用。

通过碰撞，电子可能损失其动能（碰撞损失和辐射损失）或改变其运行方向（散射）。

能量损失用阻止本领描述，散射用散射本领描述。

入射电子与原子轨道电子或原子核的碰撞可以是弹性或非弹性。

弹性碰撞中，电子改变原来轨迹但不损失能量；非弹性碰撞中，电子改变原来轨迹并将部分能量传递给轨道电子或以韧致辐射方式发射。

高能电子穿过吸收体时历经数千次碰撞，因此，包括每次与轨道电子和原子核的弹性或非弹性碰撞采用多次散射统计理论描述。

电子与半径为a的特定原子间相互作用类型依赖于