高等几何试题及答案.docx
《高等几何试题及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等几何试题及答案.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高等几何试题及答案
系专业班学号姓名
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
试卷类型：
A
高等几何
使用专业年级考试方式：
开卷（）闭卷（√）共6页
题号
一
二
三
四
五
六
合计
得分
填空题（每小题4分，共20分）
1、设
（1），
（-1），
（
）为共线三点，则
。
2、写出德萨格定理的对偶命题：
。
3、若共点四直线a,b,c,d的交比为（ab,cd）=-1，则交比（ad,bc）=______。
4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：
。
5、二次曲线的点坐标方程为
，则其线坐标方程为是。
选择题（每小题2分，共10分）
1.下列哪个图形是仿射不变图形？
（）
A.圆B.直角三角形
C.矩形D.平行四边形
2.
表示（）
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点
B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点
C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点
D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点
3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？
（）
A.一次B.两次
C.三次D.四次
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有（）：
A.三角形的垂心B.梯形
C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D.椭圆
5.二次曲线按射影分类总共可分为（）
类类
类类
三、判断题（每小题2分，共10分）
1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。
（）
2.两直线能把射影平面分成两个区域。
（）
3.当正负号任意选取时，齐次坐标
表示两个相异的点。
（）
4.在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此
射影变换一定是对合。
（）
5.配极变换是一种非奇线性对应。
（）
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
四、作图题（8分）
已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使（ab,cd）=-1。
（画图，写出作法过程和根据）
五、证明题（10分）
如图，设FGH是完全四点形ABCD对边三点形，过F的两直线TQ与SP分别交AB，BC，CD，DA于T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明：
TS与QP的交点M在直线GH上。
六、计算题（42分）
1.（6分）平面上经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求单比（ABP）
2.（6分）已知仿射平面上直线l的非齐次坐标方程为x-2y+1=0，求
（1）l的齐次坐标方程；
（2）l上无穷远点的坐标；
（3）l上无穷远点的方程。
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
3.（8分）在直线上取笛氏坐标为2，0，3的三点作为射影坐标系的P*,P0,E，（i）求此直线上任一点P的笛氏坐标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？
4.（8分）求点列上的射影变换，它将参数为1,2,3的点分别变为参数为1,3,2的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
5.（6分）求由两个射影线束
，
，
所构成的二阶曲线的方程。
6.（8分）试求二次曲线Γ：
+2x1x3-4x2x3=0的中心与渐近线。
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
填空题（每小题4分，共20分）
1（4分）
如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线交于一点。
（4分）
2（4分）
射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）
（4分）
选择题（每小题2分，共10分）
1.（D）,2.（C）,3.（B）,4.（A）,5.（B）
判断题（每小题2分，共10分）
1.（×）,2.（√）,3.（×）,4.（√）,5.（√）
作图题（8分）
第
1
页
共
4
页
作法过程：
1、设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,（2分）
2、过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，（2分）
3、BD与EF交于G,4、AG即为所求的d。
（2分）
根据：
完全四点形的调和共轭性（2分）
证明题（10分）
证明：
在三点形BTS与三点形DQP中（4分）
对应顶点的连线BD,TQ,SP三线共点，（2分）
由德萨格定理的逆定理知，（2分）
对应边的交点BT与DQ的交点G，TS与QP的交点M以及BS与DP的交点H三点共线，即TS与QP的交点M在直线GH上。
（2分）
六、计算题（42分）
（6分）
解：
设P点的坐标为（x0，yo）
（分割比），（2分）
且P在直线x+3y-6=0上，
解得λ=1，（2分）
即P是AB中点，且（ABP）=－1（2分）
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
（6分）
（1）
（2分）
（2）（1，1/2，0）（2分）
（3）
（2分）
（8分）
解：
笛氏坐标023x
射影坐标：
P*P0Eλ
（i）由定义λ=（P*P0，EP）=（20，3x）=
（4分）
（ii）若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有
，即3x2－7x=0，
∴当x=0及x=
时两种坐标相等。
（4分）
（8分）
设射影变换的方程为：
（2分）
由题意知：
a+
6a+3b+2c+d=0
得到：
故射影变换方程为：
（4分）
二重元素满足：
得
=7/3或
=1（2分）
（6分）
解：
由题意：
（2分）
由上式得：
（2分）
故所求方程即为
（2分）
6.（8分）
解：
二次曲线的齐次方程为：
x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
∴二次曲线为常态的，
设中心
则中心为
（4分）
求渐近线方程：
a11X2+2a12XY+a22Y2=0，X=x－ξ，Y=y－η。
从X2+3XY－4Y2=0→（X+4Y）（X－Y）=0.
X+4Y=（x－
）+4（y+
）=0→5x+20y+18=0，（2分）
X－Y=（x－
）－（y+
）=0→5x－5y－8=0。
（2分）
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉
升级会员 