最新九年级数学上册 24圆周角 3课时圆的内接四边形同步练习新版苏科版.docx

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最新九年级数学上册24圆周角3课时圆的内接四边形同步练习新版苏科版

第2章对称图形——圆

2.4　第3课时　圆的内接四边形

知识点　圆内接四边形的性质

1．如图2－4－30所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BCD＝110°，则∠BAD的度数为（　　）

A．140°B．110°C．90°D．70°

图2－4－30

图2－4－31

2．如图2－4－31，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（　　）

A．115°B．105°C．100°D．95°

3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D的度数是（　　）

A．60°B．90°C．120°D．30°

4．如图2－4－32，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为（　　）

A．45°B．50°C．60°D．75°

图2－4－32

图2－4－33

.如图2－4－33，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且∠D＝130°，则∠BAC＝________°.

6．如图2－4－34，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠DCE＝________°.

图2－4－34

7．如图2－4－35，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝________°.

图2－4－35

图2－4－36

8．如图2－4－36，△ABC为⊙O的内接等边三角形，D为⊙O上一点，则∠ADB＝________°.

9．如图2－4－37，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：

△ADE是等腰三角形．

图2－4－37

10．已知：

如图2－4－38，四边形ABCD是圆的内接四边形，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.求证：

AB＝AC.

图2－4－38

11．[2016·淮安清河区二模]如图2－4－39，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，∠AED＝115°，则∠B的度数是（　　）

A．50°B．75°C．80°D．100°

图2－4－39

图2－4－40

12．如图2－4－40，⊙O是钝角三角形ABC的外接圆，连接OC.已知∠BAC＝y°，∠BCO＝x°，则y与x之间的函数表达式为______________（不必写出自变量的取值范围）．

13．教材练习第3题变式如图2－4－41，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝________．

14.[2016·南京高淳区一模]四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为________．

图2－4－41

图2－4－42

15．[2016·南京溧水区一模]如图2－4－42，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.点E在

上，则∠E＝________°.

16．如图2－4－43，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．

（1）求证：

DB＝DC；

（2）请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．

图2－4－43

17．如图2－4－44，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.

（1）若∠E＝∠F，求证：

∠ADC＝∠ABC；

（2）若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；

（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．

图2－4－44

详解详析

1．D　[解析]∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠BCD＋∠BAD＝180°（圆内接四边形的对角互补）．

又∵∠BCD＝110°，

∴∠BAD＝70°.故选D.

2．B　[解析]∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BAD＋∠BCD＝180°，

而∠BCD＋∠DCE＝180°，

∴∠DCE＝∠BAD.

而∠BAD＝105°，

∴∠DCE＝105°.

故选B.

3．B　[解析]∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，

∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x.

∵四边形ABCD为圆内接四边形，

∴∠A＋∠C＝180°，

即2x＋4x＝180°，解得x＝30°，

∴∠B＝3x＝90°，

∴∠D＝180°－∠B＝180°－90°＝90°.故选B.

4．C

5．40　[解析]∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠B＝180°－∠D＝50°，

∴∠BAC＝90°－∠B＝40°.

6．65　[解析]∵∠BOD＝130°，

∴∠A＝

∠BOD＝65°.

∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，

∴∠DCE＝∠A＝65°.

7．70　[解析]∵∠ABC＝100°，∠P＝30°，

∴∠PAB＝∠ABC－∠P＝70°.

∵四边形ABCD为圆的内接四边形，

∴∠C＋∠BAD＝180°.

∵∠BAD＋∠PAB＝180°，

∴∠C＝∠PAB＝70°.

8．120.

9．证明：

∵A，B，C，D是⊙O上的四点，

∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A＋∠DCB＝180°.

又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，

∴∠A＝∠BCE.

∵BC＝BE，

∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，

∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．

10．证明：

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠ABC＋∠ADC＝180°.

∵∠ADC＋∠CDE＝180°，

∴∠ABC＝∠CDE.

∵∠FDE＝∠ADB＝∠ACB，∠CDE＝∠FDE，∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC.

11．D　[解析]∵四边形ACDE是圆内接四边形，

∴∠AED＋∠ACD＝180°.

∵∠AED＝115°，

∴∠ACD＝65°.

∵∠CAD＝35°，

∴∠ADC＝80°.

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠B＋∠ADC＝180°，

∴∠B＝100°，故选D.

12．y＝x＋90

13．140°

14．130°或50°

15．125

16．

（1）证明：

∵∠DCB＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，

∴∠DCB＝∠DAE.

∵∠DBC＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，

∴∠DBC＝∠CAD＝∠DAE＝∠DCB，

∴DB＝DC.

（2）答案不唯一，如：

若F为BC的中点，则DF经过圆心．

理由：

∵△DBC是等腰三角形，F是BC的中点，

∴DF是底边BC的垂直平分线．

∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点，

∴DF必过圆心．

17．

（1）证明：

∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，

∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，

即∠ADC＝∠ABC.

（2）∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECD＋∠BCD＝180°，

∴∠A＝∠ECD.

∵∠EDC＝∠A＋∠F，

∠EDC＋∠E＋∠ECD＝180°，

∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°.

又∵∠E＝∠F＝42°，∴∠A＝48°.

（3）由

（2）中的结论可知2∠A＋∠E＋∠F＝180°，

∴2∠A＋α＋β＝180°，解得∠A＝90°－

（α＋β）．

第2章对称图形——圆

图2－Y－1

1．[2017·徐州]如图2－Y－1，点A，B，C均在⊙O上，∠AOB＝72°，则∠ACB＝（　　）

A．28°　　B．54°

C．18°　　D．36°

2．[2017·宿迁]若将半径为12cm的半圆形纸片拼成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（　　）

A．2cmB．3cmC．4cmD．6cm

3．[2016·南京]已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　）

A．1B.

C．2D．2

图2－Y－2

4．[2017·苏州]如图2－Y－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°.以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是⊙O上一点，且

＝

，连接OE，过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（　　）

A．92°B．108°C．112°D．124°

5．[2017·南京]过三点A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圆的圆心坐标为（　　）

A．（4，

）B．（4，3）C．（5，

）D．（5，3）

6．[2017·连云港]如图2－Y－3所示，一动点从半径为2的⊙O上的点A0出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从点A2出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处……按此规律运动到点A2017处，则点A2017与点A0之间的距离是（　　）

A．4B．2

C．2D．0

图2－Y－3

图2－Y－4

7．[2017·扬州]如图2－Y－4，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO.若∠B＝40°，则∠OAC＝________°.

8．[2016·南京]如图2－Y－5，扇形OAB的圆心角为122°，C是AB上一点，则∠ACB＝________°.

图2－Y－5

图2－Y－6

9．[2017·镇江]如图2－Y－6，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________°.

10．[2016·泰州]如图2－Y－7，⊙O的半径为2，点A，C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝

，则图中阴影部分的面积为________．

图2－Y－7

图2－Y－8

11．[2017·盐城]如图2－Y－8，将⊙O沿弦AB折叠，点C在

上，点D在

上．若∠ACB＝70°，则∠ADB＝________°.

12.[2016·南通]已知：

如图2－Y－9，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB.

（1）求∠AOB的度数；

（2）若⊙O的半径为2cm，求线段CD的长．

图2－Y－9

13．[2017·淮安]如图2－Y－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF＝BF，EF与AC交于点C.

（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若OA＝2，∠A＝30°，求图中阴影部分的面积．

图2－Y－10

14．[2016·宿迁]如图2－Y－11①，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，⊙O是△ABD的外接圆．

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）当BD是⊙O的直径时（如图②），求∠CAD的度数．

图2－Y－11

15．[2017·盐城]如图2－Y－12，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A，D，E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G.

（1）求证：

BC是⊙F的切线；

（2）若点A，D的坐标分别为（0，－1），（2，0），求⊙F的半径；

（3）试探究线段AG，AD，CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

图2－Y－12

详解详析

1．D　[解析]根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得∠ACB＝

∠AOB＝

×72°＝36°.故选D.

2．D　3.B

4．C　[解析]连接OD.∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠B＝34°.在⊙O中，∵

＝

，

∴∠COE＝∠COD＝2∠B＝68°.又∵OE⊥EF，∠OCF＝∠ACB＝90°，∴∠F＝112°.故选C.

5．A　[解析]根据题意，可知线段AB的垂直平分线为直线x＝4，所以圆心的横坐标为4，然后设圆的半径为r，则根据勾股定理可知r2＝22＋（5－2－r）2，解得r＝

，因此圆心的纵坐标为5－

＝

，因此圆心的坐标为（4，

）．

6．A　[解析]如图所示，当动点运动到点A6处时，与点A0重合，2017÷6＝336……1，即点A2017与点A1重合，点A2017与点A0之间的距离即A0A1的长度，为⊙O的直径，故点A2017与点A0之间的距离是4，因此选A.

7．50　[解析]根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC，便有∠AOC＝2∠B＝80°，再由OA＝OC，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC＝50°.

8．119

9．120　[解析]∵AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，∴AC⊥AO，即∠CAO＝90°.∵∠CAD＝30°，∴∠DAO＝60°，∴∠BOD＝2∠DAO＝120°.故答案为120.

10.

　[解析]如图，连接AO，CO，则AO＝CO＝2.∵∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝

，∴OD＝1，BO＝

，∴S△ABO＝S△ODC，∠AOB＝30°，∠COD＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＋30°＝150°，∴S阴影部分＝S扇形OAC＝

＝

.故答案为

.

11．110　[解析]如图，设点D′是点D折叠前的位置，连接AD′，BD′，则∠ADB＝∠D′.在圆内接四边形ACBD′中，∠ACB＋∠D′＝180°，所以∠D′＝180°－70°＝110°，所以∠ADB＝110°.

12．解：

（1）∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC＝∠COB.

∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AM.

又BD⊥AM，

∴OA∥BD，∴∠AOC＝∠OCB.

又∵OC＝OB,

∴∠OCB＝∠B，

∴∠B＝∠OCB＝∠COB＝60°，

∴∠AOB＝120°.

（2）过点O作OE⊥BC于点E，由

（1）得△OBC为等边三角形．

∵⊙O的半径为2cm，

∴BC＝2cm，∴CE＝

BC＝1cm.

由已知易得四边形AOED为矩形，

∴ED＝OA＝2cm，

则CD＝ED－CE＝1cm.

13．解：

（1）直线EF与⊙O相切．

理由：

如图所示，连接OE.

∵EF＝BF，∴∠B＝∠BEF.

∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO.

∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.

∴∠AEO＋∠BEF＝90°，

∴∠OEG＝90°，∴OE⊥EF，

∴直线EF与⊙O相切．

（2）如图所示，连接ED.

∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°.

∵∠A＝30°，∴∠ADE＝60°.

又∵OE＝OD，∴△ODE是等边三角形．

∴∠DOE＝60°.

由

（1）知∠OEG＝90°，

∴∠OGE＝30°.

在Rt△OEG中，OG＝2OE＝2OA＝4，

∴EG＝

＝2

，

∴S△OEG＝

OE·EG＝

×2×2

＝2

，S扇形OED＝

×π×22＝

π，

∴S阴影＝S△OEG－S扇形OED＝2

－

π.

14．解：

（1）证明：

如图，连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE.

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，∠ADB＝∠ACB＋∠CAD，

∴∠ABC＝∠CAD.

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠EAD＝90°－∠AED.

∵∠AED＝∠ABD，

∴∠AED＝∠ABC＝∠CAD，

∴∠EAD＝90°－∠CAD，

即∠EAD＋∠CAD＝90°，

∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

（2）∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD＝90°，

∴∠ABC＋∠ADB＝90°.

∵∠ABC∶∠ACB∶∠ADB＝1∶2∶3，

∴4∠ABC＝90°，

∴∠ABC＝22.5°，

由

（1）知∠ABC＝∠CAD，

∴∠CAD＝22.5°.

15．解：

（1）证明：

如图，连接EF.

∵AE平分∠BAC，∴∠FAE＝∠EAC.

∵EF＝AF，∴∠FAE＝∠FEA，

∴∠EAC＝∠FEA，∴EF∥AC，

∴∠BEF＝∠C.

∵AB是Rt△ABC的斜边，∴∠C＝90°，

∴∠BEF＝90°，即EF⊥BC.

又∵EF是⊙F的半径，∴BC是⊙F的切线．

（2）如图，连接DF.

∵A（0，－1），D（2，0），

∴OA＝1，OD＝2.

设⊙F的半径是r，则FD＝r，OF＝r－1.

∵OD⊥OF，

∴OF2＋OD2＝FD2，

即（r－1）2＋22＝r2，解得r＝2.5，

∴⊙F的半径是2.5.

（3）2CD＋AD＝AG.

证明：

如图，过点F作FH⊥AC于点H.

∵F是圆心，FH⊥AC，

∴AH＝DH＝

AD，∠FHD＝90°.

∵∠BEF＝∠C＝90°，∴∠CEF＝90°，

∴四边形CEFH是矩形，∴CH＝EF.

∵AG是⊙F的直径，∴EF＝

AG，

∴CH＝

AG.

∵AD＋CD＝AC＝AH＋CH，

∴AD＋CD＝

AD＋

AG，

∴2CD＋AD＝AG.