平面三角形单元常应变单元matlab程序地编制.docx
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平面三角形单元常应变单元matlab程序地编制
三角形常应变单元程序的编制与使用
有限元法是求解微分方程边值问题的一种通用数值方法，该方法是一种基于变分法（或变分里兹法）而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。
有限元分析的基本步骤可归纳为三大步：
结构离散、单元分析和整体分析。
结束
对于平面问题，结构离散常用的网格形状有三角形、矩形、任意四边形，以三个顶点为节点的三角形单元是最简单的平面单元，它较矩形或四边形对曲边边界有更好的适应性，而矩形或四边形单元较三节点三角形有更高的计算精度。
Matlab语言是进行矩阵运算的强大工具，因此，用Matlab语言编写有限元中平面问题的程序有优越性。
本章将详细介绍如何利用Matlab语言编制三角形常应变单元的计算程序，程序流程图见图1。
有限元法中三节点三角形分析结构的步骤如下：
1）整理原始数据，如材料性质、荷载条件、约束条件等，离散结构并进行单元编码、结点编码、结点位移编码、选取坐标系。
2）单元分析，建立单元刚度矩阵。
3）整体分析，建立总刚矩阵。
4）建立整体结构的等效节点荷载和总荷载矩阵
5）边界条件处理。
6）解方程，求出节点位移。
7）求出各单元的单元应力。
8）计算结果整理。
计算结果整理包括位移和应力两个方面；位移计算结果一般不需要特别的处理，利用计算出的节点位移分量，就可画出结构任意方向的位移云图；而应力解的
图1程序流程图
误差表现在单元内部不满足平衡方程，单元
与单元边界处应力一般不连续，在边界上应
力解一般与力的边界条件不相符合。
1.1程序说明
%*******************************************************************
%三角形常应变单元求解结构主程序
%*******************************************************************
●功能：
运用有限元法中三角形常应变单元解平面问题的计算主程序。
●基本思想：
单元结点按右手法则顺序编号。
●荷载类型：
可计算结点荷载。
●说明：
主程序的作用是通过赋值语句、读取和写入文件、函数调用等完成算法的全过程，即实现程序流程图的程序表达。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
1程序准备
formatshorte%设定输出类型
clearall%清除所有已定义变量
clc%清屏
●说明：
formatshorte－设定计算过程中显示在屏幕上的数字类型为短格式、科学计数法；
clearall－清除所有已定义变量，目的是在本程序的运行过程中，不会发生变量名相同等可能使计算出错的情况；
clc－清屏，使屏幕在本程序运行开始时
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
2全局变量定义
globalNNODENPIONNELEMNVFIXNFORCECOORDLNODSYOUNGPOISSTHICK
globalFORCEFIXED
globalBMATXDMATXSMATXAREA
globalASTIFASLODASDISP
globalFP1
●说明：
NNODE—单元结点数，NPION—总结点数，NELEM—单元数，NVFIX—受约束边界点数，NFORCE—结点力数，COORD—结构结点坐标数组，LNODS—单元定义数组，YOUNG—弹性模量，POISS—泊松比，THICK—厚度
FORCE—节点力数组（n,3）n:
受力节点数目,（n,1）:
作用点,（n,2）:
x方向,（n,3）:
y方向；FIXED—约束信息数组（n,3）n:
受约束节点数目,（n,1）:
约束点（n,2）与（n,3）分别为约束点x方向和y方向的约束情况,受约束为1否则为0
BMATX—单元应变矩阵（3*6），DMATX—单元弹性矩阵（3*3），SMATX—单元应力矩阵（3*6），AREA—单元面积
ASTIF—总体刚度矩阵，ASLOD—总体荷载向量，ASDISP—结点位移向量
FP1—数据文件指针
3打开文件
FP1=fopen（'input.txt','rt'）;%打开输入数据文件存放初始数据
●说明：
FP1=fopen（'input.txt','rt'）;－打开已存在的输入数据文件input.txt，且设置其为只读格式，使程序在执行过程中不能改变输入文件中的数值，并用文件句柄FP1来执行
FP2=fopen（'output.txt','wt'）;－打开输出数据文件，该文件不存在时，通过此命令创建新文件，该文件存在时则将原有内容全部删除。
该文件设置为可写格式，可在程序执行过程中向输出文件写入数据。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
4读入程序控制信息
NPION=fscanf（FP1,'%d',1）%结点个数（结点编码总数）
NELEM=fscanf（FP1,'%d',1）%单元个数（单元编码总数）
NFORCE=fscanf（FP1,'%d',1）％结点荷载个数
NVFIX=fscanf（FP1,'%d',1）％
YOUNG=fscanf（FP1,'%e',1）％弹性模量
POISS=fscanf（FP1,'%f',1）％泊松比
THICK=fscanf（FP1,'%d',1）%厚度
LNODS=fscanf（FP1,'%d',[3,NELEM]）'%单元定义数组（单元结点号）
●说明：
建立LNODS矩阵，该矩阵指出了每一单元的连接信息。
矩阵的每一行针对每一单元，共计NELEM；每一列相应为单元结点号（编码）、按逆时针顺序输入。
命令中，[3,NELEM]’表示读取NELEM行3列数据赋值给LNODS矩阵。
显然，LNODS（i,1:
3）依次表示i单元的i，j，k结点号。
COORD=fscanf（FP1,'%f',[2,NPION]）'%结点坐标数组
●说明：
建立COORD矩阵，该矩阵用来存储各结点x，y方向的坐标值。
从FP1文件中读取全部结点个数NPOIN的坐标值，从1开始按顺序读取。
COORD（i，1：
2）表示第i个结点的x，y坐标。
FORCE=fscanf（FP1,'%f',[3,NFORCE]）'%结点力数组
●说明：
（n,3）n:
受力结点数目,（n,1）:
作用点,（n,2）:
x方向,（n,3）:
y方向
FIXED=fscanf（FP1,'%d',[3,inf]）'%约束信息数组
●说明：
（n,3）n:
受约束节点数目,（n,1）:
约束点（n,2）与（n,3）分别为约束点x方向和y
方向的约束情况,受约束为1否则为0
●总体说明：
从输入文件FP1中读入结点个数，单元个数，结点荷载个数，受约束边界点数，弹性模量，泊松比，厚度，单元定义数组，结点坐标数组，结点力数组，约束信息数组；
程序中弹性模量仅输入了一个值，表明本程序仅能求解一种材料构成的结构，如：
钢筋混凝土结构、钢结构，不能求解钢筋混凝土－钢组合结构。
infinite
采用了命令fscanf，其中：
’%d’表示读入整数格式，’%f'’表示读入浮点数；1表示读取1个数，[A,B]形式表示读A行B列数组，[A,B]’表示将[A,B]转置，inf表示正无穷。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
5调用子程生成单刚，组成总刚并加入约束信息
ASSEMBLE（）
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
6调用子程生成荷载向量
FORMLOAD（）
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
7计算结点位移向量
ASDISP=ASTIF\ASLOD'
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
8调用子程计算单元应力
WRITESTRESS（）
%*******************************************************************
9关闭输出数据文件
fclose（FP2）;
%*******************************************************************读取ASSEMBLE子程%*******************************************************************
functionASSEMBLE（）
%所引用的全局变量：
globalNPIONNELEMNVFIXLNODSASTIFTHICK
globalBMATXSMATXAREAFIXED
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%计算单刚并生成总刚
ASTIF（1:
2*NPION,1:
2*NPION）=0;%张成特定大小总刚矩阵并置0
●说明：
Arraystiffness
建立单元刚度矩阵ASTIF，该矩阵的行列数均为2*NPION，NPION表示结点数，每个结点有两个方向的力和位移。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NELEM
FORMSMATX（i）%调用应力子程序
ESTIF=BMATX'*SMATX*THICK*AREA;%求解单元刚度矩阵
a=LNODS（i,:
）;%临时向量,用来记录当前单元的节点编号
forj=1:
3
fork=1:
3
ASTIF（（a（j）*2-1）:
a（j）*2,（a（k）*2-1）:
a（k）*2）=ASTIF（（a（j）*2-1）:
a（j）*2,（a（k）*2-1）:
a（k）*2）+ESTIF（j*2-1:
j*2,k*2-1:
k*2）;
%跟据节点编号对应关系将单元刚度分块叠加到总刚矩阵中
end
end
end
●说明：
FORMSMATX（i）调用应力子程序，提取i单元的应力矩阵SMATX；
a=LNODS（i,:
）记录i单元的三个结点编号；
for…end循环语句表示行从1到3循环，列从1到3循环，将单刚中的元素叠加至总刚中：
ASTIF（（a（j）*2-1）:
a（j）*2,（a（k）*2-1）:
a（k）*2）表示总刚中第a（j）*2-1到:
a（j）*2行，第a（k）*2-1到a（k）*2列的元素由单刚中第j*2-1到j*2行，第k*2-1到k*2列的元素叠加而得，a（j）*2即将单元中的位移编码对应到整体的位移编码。
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%将约束信息加入总刚（置0置1法）
NUM=1;%计数器（当前已分析的节点数）
NVFIX：
受约束边界点数
i=0;%计数器（当前已处理的约束数）
tmp（NVFIX）=0;%临时存被约束的序号
whileiforj=-1:
0
ifFIXED（NUM,j+3）==1%若发现约束
temporary
i=i+1;%计数器自增
tmp（i）=FIXED（NUM）*2+j;%求约束序号
end
end
NUM=NUM+1;
end
●说明：
tmp（NVFIX）=0，形成一个元素值均为0的一行，NVFIX列的行向量，
执行while语句，首先判断i是否小于控制数据NVFIX，若小于则往下进行，若不小于则退出。
执行for语句，FIXED（NUM,j+3）表示约束信息数组中第NUM行，第j+3列的元素，j从-1到0，即j+3表示2到3列，即约束信息数组中描述结点x和y方向受约束的情况，判断FIXED（NUM,j+3）若等于1，则约束数自增，若不等于1则跳出。
FIXED（NUM）表示FIXED（NUM，1），tmp（i）=FIXED（NUM）*2+j计算整体约束序号，将序号放入tmp行向量中的i列。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NVFIX
ASTIF（1:
2*NPION,tmp（i））=0;%将一约束序号处的总刚列向量清0
ASTIF（tmp（i）,1:
2*NPION）=0;%.将一约束序号处的总刚行向量清0
ASTIF（tmp（i）,tmp（i））=1;%将行列交叉处的元素置为1
end
●说明：
后处理法中置0置1法，设
（包括
），则将总刚中的主元素
Kjj换为1，j行和j列的其他元素均改为零。
%*******************************************************************
%读取FORMSMATX子程
%*******************************************************************
functionFORMSMATX（ELEMENT）%计算应力矩阵
%引用所需的全局变量
globalNPIONNELEMCOORDLNODSYOUNGPOISS
globalBMATXDMATXSMATXAREA
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
%生成弹性矩阵D
a=YOUNG/（1-POISS^2）;
DMATX（1,1）=1*a;
DMATX（1,2）=POISS*a;
DMATX（2,1）=POISS*a;
DMATX（2,2）=1*a;
DMATX（3,3）=（1-POISS）*a/2;
●说明：
平面应力问题的弹性矩阵
其中，E为弹性模量，
为泊松比。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
i=ELEMENT;%i为当前所计算的单元号
%计算当前单元的面积
AREA=det（[1COORD（LNODS（i,1）,1）COORD（LNODS（i,1）,2）;...
1COORD（LNODS（i,2）,1）COORD（LNODS（i,2）,2）;...
1COORD（LNODS（i,3）,1）COORD（LNODS（i,3）,2）;]）/2;
●说明：
det表示求矩阵行列式的值，
，其中
分别表示一个三角形单元的三个节点坐标。
MATLAB中若一行中无法写下一个完整的命令，则可以在行尾加入3个连续的英文句号，表示命令余下的部分在下一行出现。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------%生成应变矩阵B
forj=0:
2
b（j+1）=、COORD（LNODS（i,（rem（（j+1）,3））+1）,2）-COORD（LNODS（i,（rem（（j+2）,3））+1）,2）;
c（j+1）=
-COORD（LNODS（i,（rem（（j+1）,3））+1）,1）+COORD（LNODS（i,（rem（（j+2）,3））+1）,1）;
end
BMATX=[b
（1）0b
（2）0b（3）0;...
0c
（1）0c
（2）0c（3）;...
c
（1）b
（1）c
（2）b
（2）c（3）b（3）]/（2*AREA）;
●说明：
应变矩阵
rem表示求余函数，rem（x，y）命令返回的是x-n.*y，当y
0时，n=fix（x./y），其中fix为最近的整数取整。
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
SMATX=DMATX*BMATX;%求应力矩阵S=D*B
%*******************************************************************
%读取FORMLOAD子程
%*******************************************************************
functionFORMLOAD（）%本子程生成荷载向量
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%所需引用的全局变量
globalASLODNPIONNFORCEFORCE
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
ASLOD（1:
2*NPION）=0;%张成特定大小的0向量
●说明：
ASLOD为总体荷载向量，每个结点有x，y两个方向的结点力。
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NFORCE
ASLOD（（FORCE（i,1）*2-1）:
FORCE（i,1）*2）=FORCE（i,2:
3）;
end
●说明：
FORCE（i,1）为作用点,FORCE（i,2:
3）为x,y方向的结点力。
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%将有约束处的荷载置为0
NUM=1;
i=0;
tmp（NVFIX）=0;
whileiforj=-1:
0
ifFIXED（NUM,j+3）==1
i=i+1;
tmp（i）=FIXED（NUM）*2+j;
end
end
NUM=NUM+1;
end
fori=1:
NVFIX
ASLOD（tmp（i））=0;
end
●说明：
置0置1法，同上。
%*******************************************************************
ASDISP=ASTIF\ASLOD'%计算结点位移向量
%*******************************************************************
%读取WRITESTRESS子程
%*******************************************************************
functionWRITESTRESS（）
%求解内力，即两个方向的正应力与一个剪应力（
）
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%所引用的全局变量
globalNELEMNPIONSMATXASDISPLNODS
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
ELEDISP（1:
6）=0;%当前单元的结点位移向量
●说明：
ELEDIS为单元的结点位移
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
fori=1:
NELEM
forj=1:
3
ELEDISP（j*2-1:
j*2）=ASDISP（LNODS（i,j）*2-1:
LNODS（i,j）*2）;
end
FORMSMATX（i）%%%调用子程求应力矩阵
i
STRESS=SMATX*ELEDISP'%求内力
end
●说明：
通过循环，依次从结构位移列阵中对号，赋值给第i个单元的单元位移向量ELEDISP。
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
1.2程序应用举例
【例1】利用三角形
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