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计数原理教材
电子课文·10．1分类计数原理与分步计数原理
看下面的问题．
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有
3＋2＝5
种不同的走法，如图10－1所示．
一般地，有如下原理：
分类计数原理①完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m1＋m2＋…＋mn
种不同的方法．
①它又称为加法原理．
再看下面的问题．
从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（图10－2）？
这个问题与前一问题不同．在前一问题中，采用乘火车或乘汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地．而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到达乙地．
这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有
3×2＝6
种不同的走法．
一般地，有如下原理：
分步计数原理①完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m1×m2×…×mn
种不同的方法．
①它又称为乘法原理．
例1书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
解：
（1）从书架上任取1本书，有3类办法：
第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类计数原理，不同取法的种数是
N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9．
答：
从书架上任取1本书，有9种不同的取法．
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：
第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是
N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24．
答：
从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法．
例2一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码？
解：
由于号码锁的每个拨号盘有从0到9这10个数字，每个拨号盘上的数字有10种取法．根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是
N＝10×10×10×10＝10000．
答：
可以组成10000个四位数字号码．
例3要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？
解：
从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成．先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法．根据分步计数原理，所求的不同的选法数是
N＝3×2＝6．
6种选法可以表示如下：
答：
从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有6种不同的选法．
注分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．区别在于：
分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．
练习
1．填空：
（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是______；
（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同走法的种数是______．
2．现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名．
（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
3．乘积（a1＋a2＋a3）（b1＋b2＋b3＋b4）（c1＋c2＋c3＋c4＋c5）展开后共有多少项？
4．一城市的某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位数字是统一的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么不同的电话号码最多有多少个？
5．从5位同学中产生1名组长、1名副组长，有多少种不同的选法？
电子课文·10．2排列
看下面的问题．
问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
这个问题，就是从甲、乙、丙3名同学中每次选出2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同排法的问题．
解决这一问题需分2个步骤．第1步，确定参加上午活动的同学．从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学．当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．
根据分步计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如下图所示．
我们把上面问题中被取的对象叫做元素．于是，所提出的问题就是从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法．所有不同排列是
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
这些排列的种数是3×2＝6．
问题2从a，b，c，d这4个字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？
解决这个问题需分3个步骤．
第1步，先确定左边的字母，在a，b，c，d这4个字母中任取1个，有4种方法；
第2步，确定中间的一个字母，当左边的字母确定后，中间的字母只能从余下的3个字母中去取，有3种方法；
第3步，确定右边的字母，当左边、中间的字母都确定后，右边的字母只能从余下的2个字母中去取，有2种方法．
根据分步计数原理，从4个不同的字母中，每次取出3个按顺序排成一列，共有
4×3×2＝24
种不同的排法，如图10－3所示．
由此可写出所有的排法：
abcbaccabdab
abdbadcaddac
acbbcacbadba
acdbcdcbddbc
adbbdacdadca
adcbdccdbdcb
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．例如在问题2中，abc与abd的元素不完全相同，它们是不同的排列；又如abc与acb，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n
①A是英文Arrangement（排列）的第一个字母．
上面的问题1，是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，它
上面的问题2，是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，它
从n个不同元素a1，a2，…，an中任意取2个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样
现在我们计算有多少种不同的填法．完成填空这件事可分为2个步骤：
第1步，先填第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选1个填空，有n种方法；
第2步，确定填在第2个位置的元素，可以从剩下的n－1个元素中任选1个填空，有n－1种方法．
于是，根据分步计数原理，2个空位的填法种数为
序的m个空位（图10－5），从n个不同元素a1，a2，…，an中任意取m个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个
填空可分为m个步骤：
第1步，第1位可以从n个元素中任选一个填上，共有n种填法；
第2步，第2位只能从余下的n－1个元素中任选一个填上，共有n－1种填法；
……
第3步，第3位只能从余下的n－2个元素中任选一个填上，共有n－2种填法；
第m步，当前面的m－1个空位都填上后，第m位只能从余下的n－（m－1）个元素中任选一个填上，共有n－m＋1种填法．
根据分步计数原理，全部填满m个空位共有
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）
种填法．
所以得到公式
这里n，m∈N*，并且m≤n．这个公式叫做排列数公式．其中，公式右边中第一个因数是n，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数为n－m＋1，共有m个因数相乘．
例如，
想一想：
如果=17×16×…×5×4，那么n等于什么？
m等于什么？
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．这时在排列数公式中，m=n，即有
就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！
表示．所以n个不同元素的全排列数公式可以写成
例1计算：
因此，排列数公式还可写成
们规定
0！
=1．
利用一般的科学计算器，可求出任意一个正整数的阶乘数，从而可简化排列数的计算．例如，用计算器算得
例2某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？
解：
任何2队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此总共进行的比赛场次是
答：
一共进行182场比赛．
例3
（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：
（1）从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是
答：
共有60种不同的送法．
（2）由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是
5×5×5=125．
答：
共有125种不同的送法．
注例3两道小题的区别在于：
第
（1）小题是从5本不同的书中选出3本分送3位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第
（2）小题中，给每人的书均可从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有影响，要用分步计数原理进行计算．
例4某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
解：
如果把3面旗看成3个元素，则从3个元素里每次取出1个、2个或3个元素的一个排列对应一种信号．
答：
一共可以表示15种不同的信号．
例5用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：
由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，可根据所带的这个附加条件将组成没有重复数字的三位数看作是分成两步完成：
先排百位上的数字，它可从1到9这9个数字中任选1个，有
是
解法2：
如图10－7，符合条件的三位数可以分成3类：
数的个数是
复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是
答：
可以组成648个没有重复数字的三位数．
注对于例5这类求排列数的问题，可用适当方法将问题分解．其中解法1是将组成没有重复数字的三位数这件事看作是分步完成，依据是分步计数原理．解法2是将做这件事看作是分类完成，依据是分类计数原理．而解法3则是一种逆向思考方法：
先求不是三位数的3个不重复数字的排列数，然后从所有不重复的3个数字的排列数中将它减去，就得到所求的三位数．
练习
1．写出：
（1）从4个元素a，b，c，d中任取2个元素的所有排列；
（2）从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列．
2．计算：
3．计算下表中的阶乘数，并填入表中：
4．选择题：
（1）18×17×16×…×9×8等于
[]
（2）下列各式中，不等于n！
的是
[]
5．求证：
7．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某一场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？
8．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
电子课文·10．3组合
1．组合
看下面的问题．
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
很明显，从3名同学中选出2名，不同的选法有3种：
甲、乙，乙、丙，丙、甲．
想一想：
这一问题与上节开始提出的问题有什么不同？
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，如果要求其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，由于“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是两种不同的选法，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，并按照一定的顺序排列，要求出有多少种不同的排列方法，这是上一节研究的排列问题．
本节的问题，是从3名同学中选出2名参加一项活动，所选出的2名之间并无顺序关系，因而它是从3个不同的元素中取出2个，不管怎样的顺序并成一组，求一共有多少个不同的组，这就是本节所要研究的组合问题．
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．例如ab与ba是两个不同的排列，但它们却是同一个组合．
上面，从3名同学中选出2名参加一项活动，求有多少种不同的选法，就是要求出从3个不同的元素中取出2个元素的所有组合的个数．
在4个不同元素a，b，c，d中取出2个，共有多少种不同的组合？
为了回答这个问题，可以先画出下图（图10－8）：
由此可以写出所有的组合：
ab，ac，ad，bc，bd，cd，
即共有6种不同的组合．
想一想：
下面的问题是排列问题，还是组合问题？
从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n
①C是英文Combination（组合）的第一个字母．组合数还可用符号（）表示．
从上面知道，从3个不同元素中取出2个元素的组合数是
从4个不同元素中取出2个元素的组合数是
与排列的关系如下：
从上面可以看出，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求
根据分步计数原理，得
因此，
下2步：
根据分步计数原理，得到
因此
这里n，m∈N*，并且m≤n．这个公式叫做组合数公式．
因为
所以，上面的组合数公式还可以写成
例1计算：
练习
1．甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况．
2．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出由其中每3个点为顶点的所有三角形．
3．写出：
（1）从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有组合；
（2）从5个元素a，b，c，d，e中任取3个元素的所有组合．
4．利用第3题的第
（1）小题的结果写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列．
5．计算：
2．组合数的两个性质
在例1中，我们算得
即
怎样对这一结果进行解释呢？
事实上，从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素．就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10－7）个元素的组合是一一对应的．因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10－7）个元素的组合数是相等的，即有
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n－m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数，即
证明：
根据组合数的公式有
注为了使上面的公式在m=n时也能成立，我们规定
例3
（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
解：
（1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即
答：
以10个点中每2个点为端点的线段共有45条．
（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即
答：
以10个点中每2个点为端点的有向线段共有90条．
注在例3中，第
（1）小题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题；第
（2）小题要考虑线段两个端点的顺序，是排列问题．
例4一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
解：
（1）从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是
答：
从口袋内取出3个球，共有56种取法．
（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是
答：
取出含有1个黑球的3个球，共有21种取法．
（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是
答：
取出不含黑球的3个球，共有35种取法．
从上面我们发现：
你能对上面的等式作出解释吗？
实际上，从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：
一类含1个黑球，一类不含黑球．因此根据分类计数原理，上面的等式成立．
一般地，从a1，a2，…，an+1这n＋1个不同的元素中取出m个的
a1的组合是从a2，a3，…，an+1这n个元素中取出m－1个元素与a1
证明：
根据组合数公式有
这个关系式是组合数的另一重要性质，在下一小节将会看到它的重要应用．
例5在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？
（1）解：
所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数
答：
共有161700种抽法．
法的种数是
答：
3件中恰好有1件是次品的抽法有9506种．
（3）解法1：
从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品这两种情况．在第
（2）小题中已求得其中1件是次品
法的种数是
解法2：
抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法的种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
答：
3件中至少有1件是次品的抽法有9604种．
现在，我们可以回答本章“引言”里提出的第1个问题．根据题意，有：
第3阶段的比赛场次为2＋2=4．
它们的和为148，即整个赛程一共有148场比赛．
练习
1．计算：
[]
3．求证：
4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手多少次？
5．学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？
6．从3，5，7，11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的积？
电子课文·10．4二项式定理
1．二项式定理
我们知道，
又容易得到
（a＋b）3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3
那么，将
（a＋b）4=（a＋b）（a＋b）（a＋b）（a＋b）
展开后，它的各项是什么呢？
容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：
a4，a3b，a2b2，ab3，b4．
现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么．
在上面4个括号中：
因此，
一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也是成立的，即有
①这个公式可以证明，但本书略去不证．
在二项式定理中，如果设a=1，b=x，则得到公式：
解：
先将原式化简，再展开．
例3求（x＋a）12的展开式中的倒数第4项．
解：
（x＋a）12的展开式共有13项，所以倒数第4项是它的第10项．展开式的第10项是
=220x3a9．
例4
（1）求（1＋2x）7的展开式的第4项的系数；
解：
（1）（1＋2x）7的展开式的第4项是
=35×8x3
=280x3，
所以展开式第4项的系数是280．
个二项展开式的某一项的二项式系数与系数是两个不同的概念．
根据题意，得9－2r=3，
r=3．
因此，x3的系数是
练习
1．写出（p＋q）7的展开式．
2．求（2a＋3b）6的展开式的第3项．
3．求（3b＋2a）6的展开式的第3项．
5．填空：
（x3＋2x）7的展开式的第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．
6．选择题：
（x－1）10的展开式的第6项的系数是
[]
2．二项式系数的性质
（a＋b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3…时，如下表所示：
（a＋b）1……………………11
（a十b）2…………………121
（a＋b）3………………1331
（a＋b）4……………14641
（a＋b）5…………15101051
（a＋b）6………1615201561
…………………………
上面的表叫做二项式系数表，它有这样的规律：
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．事实上，设表中任
的性质2知道
应特别指出的是，类似这样的表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了．在这本书里，记载着类似下面的表（图10－9）：
这个表称为杨辉三角．在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》①算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它．这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal，1623年～1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．
①《释锁》是书名，释锁一词是我国宋元数学家开方或解数字方程的代用名词．
（a＋b）n展开式的二项式系数是
{0，1，2，…，n}，
当n=6时，其图象是图10－10中的7个孤立点．
下面结合“杨辉三角”和图10－10，来研究二项式系数的一些性质．
（1）对称性．与
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